Nakahara 第 3 章：Homology Groups · 机器入库陈述

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本页陈述由语义核糖体整章读取后自动入库。引文逐字取自冻结的 OCR 原子；摘要、角色、概念归属与依赖为模型判断。运行 e2e-v20-05--run；模型 deepseek-v4.1-flash；协议 candidate-batch-recovery-20.3；入库 2026-10-19T14:07:03+00:00。

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本章术语

术语选择 500 条 · 本章新定临时译名 46 个 · 术语报警 30 条（陈述记录 28，单元记录 2）。

术语报警（单元记录）

• subgroup → 子群：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；单元：nakahara-3:u0066
• union → 并集：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；单元：nakahara-3:u0333

模子群的等价

引入 · 设 $H$ 为 $G$ 的子群。若 $x,y\in G$ 满足 $x-y\in H$，则称 $x,y$ 等价。

概念：模子群的等价（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $H$  be a subgroup of  $G$ . We say  $x, y \in G$  are equivalent if

PDF 文件页：113；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0011；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

设 $H$ 为 $G$ 的一个子群。若 $x,y\in G$ 满足

$$x-y\in H\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

并记作 $x\sim y$。显然 $\sim$ 是一个等价关系。$x$ 所属的等价类记作 $[x]$。设 $G/H$ 为商集。$G$ 中的群运算 $+$ 自然地通过下式诱导出 $G/H$ 中的群运算 $+$：

$$[x]+[y]=[x+y].\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

注意，左端的 $+$ 是 $G/H$ 中的运算，而右端的 $+$ 是 $G$ 中的运算。$G/H$ 中的运算应当与代表元的选取无关。事实上，若 $[x^{\prime }]=[x]$、$[y^{\prime }]=[y]$，则对某个 $h,g\in H$ 有 $x-x^{\prime }=h$、$y-y^{\prime }=g$，并且我们发现

术语选择

• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）
• group operation → 群运算 · 帧条目：群运算（term:16a041b83c561ab49f6a） · 来自同一单元
• equivalence relation → 等价关系 · 帧条目：等价关系（lib:e4dc698e-be80-42e3-aa14-c8df668fb00b） · 来自同一单元
• equivalence class → 等价类 · 帧条目：等价类（lib:fe80fb2d-f836-47e5-9297-3c634d6df6af） · 来自同一单元
• quotient space → 商集 · 帧条目：商空间（lib:ce472884-6d77-4065-8052-02106bdf8345） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• equivalent → 等价：译名选择未通过检查

后文使用：模子群的等价。

模子群的等价

回指 · 设 $H$ 为 $G$ 的子群。若 $x,y\in G$ 满足 $x-y\in H$，则称 $x,y$ 等价，记作 $x\sim y$；$\sim$ 是等价关系，$x$ 的等价类记作 $[x]$。

概念：模子群的等价（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

and write  $x \sim y$ . Clearly  $\sim$  is an equivalence relation. The equivalence class to which  $x$  belongs is denoted by  $[x]$ .

PDF 文件页：113；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0023；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

设 $H$ 为 $G$ 的一个子群。若 $x,y\in G$ 满足

$$x-y\in H\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

并记作 $x\sim y$。显然 $\sim$ 是一个等价关系。$x$ 所属的等价类记作 $[x]$。设 $G/H$ 为商集。$G$ 中的群运算 $+$ 自然地通过下式诱导出 $G/H$ 中的群运算 $+$：

$$[x]+[y]=[x+y].\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

注意，左端的 $+$ 是 $G/H$ 中的运算，而右端的 $+$ 是 $G$ 中的运算。$G/H$ 中的运算应当与代表元的选取无关。事实上，若 $[x^{\prime }]=[x]$、$[y^{\prime }]=[y]$，则对某个 $h,g\in H$ 有 $x-x^{\prime }=h$、$y-y^{\prime }=g$，并且我们发现

$$x^{\prime }+y^{\prime }=x+y-(h+g)\in [x+y]$$

此外，$G/H$ 在此运算下成为一个群，因为 $H$ 总是 $G$ 的正规子群；见例 2.6。$G/H$ 的单位元是 $[0]=[h]$，

术语选择

• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6） · 来自同一单元
• group operation → 群运算 · 帧条目：群运算（term:16a041b83c561ab49f6a）
• unit element → 单位元 · 帧条目：单位元（term:76da70b733d268e5062b） · 来自同一单元
• equivalence relation → 等价关系 · 帧条目：等价关系（lib:e4dc698e-be80-42e3-aa14-c8df668fb00b）
• equivalence class → 等价类 · 帧条目：等价类（lib:fe80fb2d-f836-47e5-9297-3c634d6df6af）
• normal subgroup → 正规子群 · 帧条目：正规子群（lib:092b1d87-e948-49ed-b814-4d97167d0db4） · 来自同一单元
• quotient space → 商集 · 帧条目：商空间（lib:ce472884-6d77-4065-8052-02106bdf8345）

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• equivalent → 等价：译名选择未通过检查

使用前文：模子群的等价。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：The equivalence class to which $x$ belongs is denoted by $[x]$ .

后文使用：商群。

商群

引入 · 设 $H$ 为 $G$ 的正规子群。$G$ 中的群运算 $+$ 通过 $[x]+[y]=[x+y]$ 诱导出 $G/H$ 中的群运算，使 $G/H$ 成为一个群，其单位元为 $[0]=[h]$。

概念：商群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The group operation  $+$  in  $G$  naturally induces the group operation  $+$  in  $G / H$  by

Furthermore,  $G / H$  becomes a group with this operation, since  $H$  is always a normal subgroup of  $G$ ; see example 2.6. The unit element of  $G / H$  is  $[0] = [h]$ ,

PDF 文件页：113；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0023；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $H$ 为 $G$ 的一个子群。若 $x,y\in G$ 满足

$$x-y\in H\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

并记作 $x\sim y$。显然 $\sim$ 是一个等价关系。$x$ 所属的等价类记作 $[x]$。设 $G/H$ 为商集。$G$ 中的群运算 $+$ 自然地通过下式诱导出 $G/H$ 中的群运算 $+$：

$$[x]+[y]=[x+y].\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

注意，左端的 $+$ 是 $G/H$ 中的运算，而右端的 $+$ 是 $G$ 中的运算。$G/H$ 中的运算应当与代表元的选取无关。事实上，若 $[x^{\prime }]=[x]$、$[y^{\prime }]=[y]$，则对某个 $h,g\in H$ 有 $x-x^{\prime }=h$、$y-y^{\prime }=g$，并且我们发现

$$x^{\prime }+y^{\prime }=x+y-(h+g)\in [x+y]$$

此外，$G/H$ 在此运算下成为一个群，因为 $H$ 总是 $G$ 的正规子群；见例 2.6。$G/H$ 的单位元是 $[0]=[h]$，$h\in H$。若 $H=G$，则对任意 $x\in G$ 有 $0-x\in G$，并且 $G/G$ 只有一个元素 [0]。若 $H=\{0\}$，则 $G/H$ 就是 $G$ 本身，因为 $x-y=0$ 当且仅当 $x=y$。

术语选择

• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6） · 来自同一单元
• group operation → 群运算 · 帧条目：群运算（term:16a041b83c561ab49f6a）
• unit element → 单位元 · 帧条目：单位元（term:76da70b733d268e5062b）
• equivalence relation → 等价关系 · 帧条目：等价关系（lib:e4dc698e-be80-42e3-aa14-c8df668fb00b）
• equivalence class → 等价类 · 帧条目：等价类（lib:fe80fb2d-f836-47e5-9297-3c634d6df6af）
• normal subgroup → 正规子群 · 帧条目：正规子群（lib:092b1d87-e948-49ed-b814-4d97167d0db4）
• quotient space → 商集 · 帧条目：商空间（lib:ce472884-6d77-4065-8052-02106bdf8345）

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• equivalent → 等价：译名选择未通过检查

使用前文：模子群的等价。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：The equivalence class to which $x$ belongs is denoted by $[x]$ .

像

引入 · 设 $f:G_1\to G_2$ 为同态。$f$ 的像定义为 $\mathrm{im}f=\{x|x\in f(G_1)\subset G_2\}$，它是 $G_2$ 的子群。

概念：像（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$\operatorname {im}f = \{x|x\in f(G_1)\subset G_2\}$  is a subgroup of  $G_{2}$

PDF 文件页：114；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0033；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：句末边界（sentence-closed）。

$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{[0],[1]\}.\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

若我们通过 $\phi ([0])=0$ 和 $\phi ([1])=1$ 定义一个同构 $\phi :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2$，则发现 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_2$。对于一般的 $k\in \mathbb{N}$，我们有

$$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_k.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

引理 3.1. 设 $f:G_1\to G_2$ 是一个同态。则(a) $\ker f=\{x|x\in G_1,f(x)=0\}$ 是 $G_1$ 的一个子群 (b) $\mathrm{im}f=\{x|x\in f(G_1)\subset G_2\}$ 是 $G_2$ 的一个子群证明。(a) 设 $x,y\in \ker f$。则 $x+y\in \ker f$，因为 $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$。注意 $0\in \ker f$，因为 $f(0)=f(0)+f(0)$。我们还有 $-x\in \ker f$，因为 $f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0$。

术语选择

• isomorphism → 同构 · 帧条目：群同构（lib:a21851fd-d421-4e32-9a3b-46fc03a5df9a） · 来自同一单元
• homomorphism → 同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00） · 来自同一单元
• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

后文使用：同态基本定理。

核

引入 · 设 $f:G_1\to G_2$ 为同态。$f$ 的核定义为 $\ker f=\{x|x\in G_1,f(x)=0\}$，它是 $G_1$ 的子群。

概念：核（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$\ker f = \{x|x\in G_1,f(x) = 0\}$  is a subgroup of  $G_{1}$

PDF 文件页：114；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0033；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：句末边界（sentence-closed）。

$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{[0],[1]\}.\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

若我们通过 $\phi ([0])=0$ 和 $\phi ([1])=1$ 定义一个同构 $\phi :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2$，则发现 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_2$。对于一般的 $k\in \mathbb{N}$，我们有

$$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_k.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

引理 3.1. 设 $f:G_1\to G_2$ 是一个同态。则(a) $\ker f=\{x|x\in G_1,f(x)=0\}$ 是 $G_1$ 的一个子群 (b) $\mathrm{im}f=\{x|x\in f(G_1)\subset G_2\}$ 是 $G_2$ 的一个子群证明。(a) 设 $x,y\in \ker f$。则 $x+y\in \ker f$，因为 $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$。注意 $0\in \ker f$，因为 $f(0)=f(0)+f(0)$。我们还有 $-x\in \ker f$，因为 $f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0$。

术语选择

• isomorphism → 同构 · 帧条目：群同构（lib:a21851fd-d421-4e32-9a3b-46fc03a5df9a） · 来自同一单元
• homomorphism → 同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00） · 来自同一单元
• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

后文使用：核。

同态基本定理

引入 · 设 $f:G_1\to G_2$ 为同态。则 $G_1/\ker f\cong \mathrm{im}f$。

概念：同态基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.1. (Fundamental theorem of homomorphism) Let  $f: G_1 \to G_2$  be a homomorphism. Then

PDF 文件页：114；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0033；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：句末边界（sentence-closed）。

定理 3.1. (同态基本定理) 设 $f:G_1\to G_2$ 是一个同态。则

$$G_1/\ker f\cong \mathrm{im}f.\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

证明。根据引理 3.1，两边都是群。通过 $\phi ([x])=f(x)$ 定义一个映射 $\phi :G_1/\ker f\to \mathrm{im}f$。这个映射是良定义的，因为对于 $x^{\prime }\in [x]$，存在 $h\in \ker f$ 使得 $x^{\prime }=x+h$ 且 $f(x^{\prime })=f(x+h)=f(x)+f(h)=f(x)$。现在我们证明 $\phi$ 是一个同构。首先，$\phi$ 是一个同态，

$$\begin{array}{l}\phi ([x]+[y])=\phi ([x+y])=f(x+y)\\ =f(x)+f(y)=\phi ([x])+\phi ([y]).\end{array}$$

其次，$\phi$ 是一对一的：若 $\phi ([x])=\phi ([y])$，则 $f(x)=f(y)$ 或 $f(x)-f(y)=f(x-y)=0$。这表明 $x-y\in \ker f$ 且 $[x]=[y]$。最后，$\phi$ 是满射：若 $y\in \mathrm{im}f$，存在 $x\in G_1$ 使得 $f(x)=y=\phi ([x])$。

术语选择

• homomorphism → 同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00）
• isomorphism → 同构 · 帧条目：群同构（lib:a21851fd-d421-4e32-9a3b-46fc03a5df9a） · 来自同一单元
• groups → 群 · 帧条目：群（lib:2f3aced7-6c7e-48e2-b0c1-4950a8da9857） · 来自同一单元
• Fundamental theorem of homomorphism → 同态基本定理 · 本章新定（临时）

后文使用：同态基本定理。

后文使用：同态基本定理。

后文使用：圆周三角剖分的 $H_0$。

有限生成阿贝尔群

引入 · 若群 $G$ 本身由有限个元素 $x_1,\dots ,x_r$ 生成，则称 $G$ 是有限生成的。

概念：有限生成阿贝尔群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If  $G$  itself is generated by finite elements  $x_{1},\ldots ,x_{r}$ ,  $G$  is said to be finitely generated.

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0042；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

以及

$$\underset{|n|}{\underbrace{(-x)+\cdots +(-x)}}(\text{i f}n<0).$$

若 $n=0$，我们置 $0x=0$。取 $G$ 的 $r$ 个元素 $x_1,\dots ,x_r$。$G$ 中形如

$$n_1{x}_1+\cdots +n_r{x}_r(n_i\in \mathbb{Z},1\le i\le r)\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

的元素构成 $G$ 的一个子群，我们记作 $H$。$H$ 称为由生成元 $x_1,\dots ,x_r$ 生成的 $G$ 的子群。若 $G$ 本身由有限个元素 $x_1,\dots ,x_r$ 生成，则称 $G$ 是有限生成的。若 $n_1{x}_1+\cdots +n_r{x}_r=0$ 仅当 $n_1=\cdots =n_r=0$ 时成立，则称 $x_1,\dots ,x_r$ 线性无关。

术语选择

• linearly independent → 线性无关 · 帧条目：线性无关（lib:400f1610-1eba-4c3c-830b-e21ea6965065）
• generators → 生成元 · 帧条目：生成元（lib:6eff4cba-09bf-4c84-8892-38a06c0c6495）
• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

线性无关

引入 · 若 $n_1{x}_1+\cdots +n_r{x}_r=0$ 仅当 $n_1=\cdots =n_r=0$ 时成立，则称 $x_1,\dots ,x_r$ 线性无关。

概念：线性无关（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If  $n_1x_1 + \dots +n_rx_r = 0$  is satisfied only when  $n_1 = \dots = n_r = 0$ ,  $x_{1},\ldots ,x_{r}$  are said to be linearly independent.

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0042；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

以及

$$\underset{|n|}{\underbrace{(-x)+\cdots +(-x)}}(\text{i f}n<0).$$

若 $n=0$，我们置 $0x=0$。取 $G$ 的 $r$ 个元素 $x_1,\dots ,x_r$。$G$ 中形如

$$n_1{x}_1+\cdots +n_r{x}_r(n_i\in \mathbb{Z},1\le i\le r)\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

的元素构成 $G$ 的一个子群，我们记作 $H$。$H$ 称为由生成元 $x_1,\dots ,x_r$ 生成的 $G$ 的子群。若 $G$ 本身由有限个元素 $x_1,\dots ,x_r$ 生成，则称 $G$ 是有限生成的。若 $n_1{x}_1+\cdots +n_r{x}_r=0$ 仅当 $n_1=\cdots =n_r=0$ 时成立，则称 $x_1,\dots ,x_r$ 线性无关。

术语选择

• linearly independent → 线性无关 · 帧条目：线性无关（lib:400f1610-1eba-4c3c-830b-e21ea6965065）
• generators → 生成元 · 帧条目：生成元（lib:6eff4cba-09bf-4c84-8892-38a06c0c6495）
• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

自由阿贝尔群

引入 · 若 $G$ 由 $r$ 个线性无关的元素有限生成，则称 $G$ 为秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。

概念：自由阿贝尔群

原文（OCR，未逐页核实）

If  $G$  is finitely generated by  $r$  linearly independent elements,  $G$  is called a free Abelian group of rank  $r$ .

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0042；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.1。若 $G$ 由 $r$ 个线性无关的元素有限生成，则称 $G$ 为秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。

术语选择

• rank → 秩 · 本章新定（临时）
• linearly independent → 线性无关 · 帧条目：线性无关（lib:400f1610-1eba-4c3c-830b-e21ea6965065）
• group → 群 · 帧条目：群（lib:2f3aced7-6c7e-48e2-b0c1-4950a8da9857）

自由阿贝尔群

回指 · 群 ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ 由 1 有限生成，但不是自由的，因为 1 不是线性无关的（注意 $1+1=0$）。

概念：自由阿贝尔群

原文（OCR，未逐页核实）

is a free Abelian group of rank  $r$ . The group  $\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$  is finitely generated by 1 but is not free since 1 is not linearly independent (note  $1 + 1 = 0$ ).

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0054；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.3。$\mathbb{Z}$ 是由 1（或 $-1$）有限生成的秩为 1 的自由阿贝尔群。设 $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ 为对 $\{(i,j)|i,j\in \mathbb{Z}\}$ 的集合。它是由生成元 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 有限生成的秩为 2 的自由阿贝尔群。更一般地

$$\underset{r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$$

是秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。群 ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ 由 1 有限生成，但不是自由的，因为 1 不是线性无关的（注意 $1+1=0$）。

术语选择

• rank → 秩 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• generators → 生成元 · 帧条目：生成元（lib:6eff4cba-09bf-4c84-8892-38a06c0c6495） · 来自同一单元
• group → 群 · 帧条目：群（lib:2f3aced7-6c7e-48e2-b0c1-4950a8da9857） · 来自同一单元
• rank → 秩 · 帧条目：秩（term:e18adcc0c9c69d1615e4）

后文使用：$r$-链群。

后文使用：$r$-链群。

后文使用：自由阿贝尔群。

循环群

引入 · 若 $G$ 由一个元素 $x$ 生成，$G=\{0,\pm x,\pm 2x,\dots \}$，则称 $G$ 为循环群。若对任意 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 都有 $nx\ne 0$，则它是无限循环群；而若对某个 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 有 $nx=0$，则它是有限循环群。

概念：循环群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If  $G$  is generated by one element  $x$ ,  $G = \{0, \pm x, \pm 2x, \ldots\}$ ,  $G$  is called a cyclic group. If  $nx \neq 0$  for any  $n \in \mathbb{Z} - \{0\}$ , it is an infinite cyclic group while if  $nx = 0$  for some  $n \in \mathbb{Z} - \{0\}$ , a finite cyclic group.

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0054；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：句末边界（sentence-closed）。

若 $G$ 由一个元素 $x$ 生成，$G=\{0,\pm x,\pm 2x,\dots \}$，则称 $G$ 为循环群。若对任意 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 都有 $nx\ne 0$，则它是无限循环群；而若对某个 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 有 $nx=0$，则它是有限循环群。设 $G$ 是由 $x$ 生成的循环群，并设 $f:\mathbb{Z}\to G$ 是由 $f(n)=nx$ 定义的同态。$f$ 将 $\mathbb{Z}$ 映满 $G$，但不一定是一一的。由定理 3.1，我们有 $G=\mathrm{im}f\cong \mathbb{Z}/\ker f$。设 $N$ 是使得 $Nx=0$ 的最小正整数。显然

$$\ker f=\{0,\pm N,\pm 2N,\dots \}=N\mathbb{Z}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

并且我们有

$$G\cong \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_N.\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

若 $G$ 是无限循环群，则 $\ker f=\{0\}$ 且 $G\cong \mathbb{Z}$。任何无限循环群都同构于 $\mathbb{Z}$，而有限循环群同构于某个 ${\mathbb{Z}}_N$。

术语选择

• cyclic group → 循环群 · 帧条目：循环群（lib:ff7730a6-70b3-41c7-82df-49ecbed5b2ad）
• infinite cyclic group → 无限循环群 · 本章新定（临时）
• finite cyclic group → 有限循环群 · 本章新定（临时）
• homomorphism → 同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00）

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

有限生成阿贝尔群基本定理

引入 · 设 $G$ 是具有 $m$ 个生成元的有限生成阿贝尔群（不一定是自由的）。则 $G$ 同构于循环群的直和，其中 $m=r+p$。数 $r$ 称为 $G$ 的秩。

概念：有限生成阿贝尔群基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.2. (Fundamental theorem of finitely generated Abelian groups) Let  $G$  be a finitely generated Abelian group (not necessarily free) with  $m$  generators. Then  $G$  is isomorphic to the direct sum of cyclic groups,

where  $m = r + p$ . The number  $r$  is called the rank of  $G$ .

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0054；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.2。（有限生成阿贝尔群基本定理）设 $G$ 是具有 $m$ 个生成元的有限生成阿贝尔群（不一定是自由的）。则 $G$ 同构于循环群的直和，

$$G\cong \underset{r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

其中 $m=r+p$。数 $r$ 称为 $G$ 的秩。

术语选择

• Fundamental theorem of finitely generated Abelian groups → 有限生成阿贝尔群基本定理 · 本章新定（临时）
• direct sum → 直和 · 本章新定（临时）
• rank → 秩 · 帧条目：秩（term:e18adcc0c9c69d1615e4）
• generators → 生成元 · 帧条目：生成元（lib:6eff4cba-09bf-4c84-8892-38a06c0c6495）

使用前文：有限生成阿贝尔群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Let $G$ be a finitely generated Abelian group (not necessarily free) with $m$ generators.

使用前文：循环群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Then $G$ is isomorphic to the direct sum of cyclic groups,

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

同态基本定理

回指 · 定理 3.1 指出，对于满同态 $f$，有 $\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G$。

概念：同态基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.1 states that

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0066；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

证明。设 $G$ 由 $m$ 个元素 $x_1,\dots ,x_m$ 生成，并设

$$f:\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\to G$$

是一个满同态，

$$f(n_1,\dots ,n_m)=n_1{x}_1+\cdots +n_m{x}_m.$$

定理 3.1 指出

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G.$$

由于 $\ker f$ 是

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$$

引理 3.2 断言，若我们适当地选取生成元，则有

术语选择

• surjective homomorphism → 满同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• generated by → 由……生成：译名选择未通过检查；帧条目：生成元（lib:6eff4cba-09bf-4c84-8892-38a06c0c6495）
• subgroup → 子群：译名选择未通过检查；帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）
• subgroup → 子群：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

使用前文：同态基本定理。模型判断为使用，按原文编号定位（Theorem 3.1）；原文：Theorem 3.1 states that

核

回指 · $\ker f$ 是 $\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$ 的子群。

概念：核（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $\ker f$  is a subgroup of

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0066；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

是一个满同态，

$$f(n_1,\dots ,n_m)=n_1{x}_1+\cdots +n_m{x}_m.$$

定理 3.1 指出

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G.$$

由于 $\ker f$ 是

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$$

引理 3.2 断言，若我们适当地选取生成元，则有

$$\ker f\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}.$$

我们最终得到

术语选择

• surjective homomorphism → 满同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• subgroup → 子群：译名选择未通过检查；帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）
• subgroup → 子群：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

使用前文：核。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Since $\ker f$ is a subgroup of

后文使用：$r$-闭链群。

后文使用：同态基本定理。

后文使用：核。

后文使用：连通单纯复形的 $H_0$。

引理 3.2

回指 · 引理 3.2 断言，若适当选取生成元，则 $\ker f\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}$。

概念：引理 3.2（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

lemma 3.2 claims that if we choose the generators properly, we have

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0066；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：标题边界（heading）。

定理 3.1 指出

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G.$$

由于 $\ker f$ 是

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$$

引理 3.2 断言，若我们适当地选取生成元，则有

$$\ker f\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}.$$

我们最终得到

$$\begin{array}{l}G\cong \underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong \underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/(k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z})\\ \cong \underset{m-p}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}.\end{array}$$

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• subgroup → 子群：译名选择未通过检查；帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）
• subgroup → 子群：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

单形

引入 · 单形是多面体的构建块。0-单形是一个点或顶点，1-单形是一条线或棱，2-单形是包含内部的三角形，3-单形是实心四面体；可继续到任意 r-单形。为使 r-单形表示 r 维对象，其顶点必须几何独立。

概念：单纯形

原文（OCR，未逐页核实）

Simplexes are building blocks of a polyhedron. A 0-simplex  $\langle p_0\rangle$  is a point, or a vertex, and a 1-simplex  $\langle p_0p_1\rangle$  is a line, or an edge.

PDF 文件页：117；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0078；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

单形是多面体的构建块。0-单形 $⟨p_0⟩$ 是一个点，或一个顶点，而 1-单形 $⟨p_0{p}_1⟩$ 是一条线，或一条棱。2-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 定义为包含其内部的三角形，而 3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 是一个实心四面体（图 3.2）。通常将 0-单形不加括号地表示；$⟨p_0⟩$ 也可以写作 $p_0$。很容易将这一构造继续到任意 $r$-单形 $⟨p_0{p}_1\dots p_r⟩$。注意，要使一个 $r$-单形表示一个 $r$ 维对象，顶点 $p_i$ 必须在几何上独立，即没有 $(r-1)$ 维超平面包含全部 $r+1$ 个点。设 $p_0,\dots ,p_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中几何独立的点，其中 $m\ge r$。$r$-单形 ${\sigma }_r=⟨p_0,\dots ,p_r⟩$ 表示为

$${\sigma }^r=\left\{x\in {\mathbb{R}}^m\mid x=\sum _{i=0}^r{c}_i{p}_i,c_i\ge 0,\sum _{i=0}^r{c}_i=1\right\}.\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

$(c_0,\dots ,c_r)$ 称为 $x$ 的重心坐标。由于 ${\sigma }_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的有界闭子集，它是紧致的。

术语选择

• interior → 内部 · 帧条目：内部（lib:ca484c0c-e258-4cd3-8802-13fd736f4a07）
• bounded → 有界 · 帧条目：有界的（lib:2cc2ae75-e460-4c7d-9b9f-acc867bbc0fb） · 来自同一单元
• closed → 闭 · 帧条目：闭的（lib:8da45318-5944-4aa7-afd5-245f6894ccb2） · 来自同一单元
• subset → 子集 · 帧条目：子集（lib:98a72c65-8dcc-43d1-b199-ee3daa22cb2c） · 来自同一单元
• simplex → 单形 · 本章新定（临时）
• barycentric coordinate → 重心坐标 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• geometrically independent → 几何独立 · 本章新定（临时）
• compact → 紧致的 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

后文使用：三角剖分。

后文使用：单形。

重心坐标

引入 · $(c_0,\dots ,c_r)$ 称为 $x$ 的重心坐标。

概念：重心坐标（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$(c_0, \ldots, c_r)$  is called the barycentric coordinate of  $x$ .

PDF 文件页：117；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0078；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

单形是多面体的构建块。0-单形 $⟨p_0⟩$ 是一个点，或一个顶点，而 1-单形 $⟨p_0{p}_1⟩$ 是一条线，或一条棱。2-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 定义为包含其内部的三角形，而 3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 是一个实心四面体（图 3.2）。通常将 0-单形不加括号地表示；$⟨p_0⟩$ 也可以写作 $p_0$。很容易将这一构造继续到任意 $r$-单形 $⟨p_0{p}_1\dots p_r⟩$。注意，要使一个 $r$-单形表示一个 $r$ 维对象，顶点 $p_i$ 必须在几何上独立，即没有 $(r-1)$ 维超平面包含全部 $r+1$ 个点。设 $p_0,\dots ,p_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中几何独立的点，其中 $m\ge r$。$r$-单形 ${\sigma }_r=⟨p_0,\dots ,p_r⟩$ 表示为

$${\sigma }^r=\left\{x\in {\mathbb{R}}^m\mid x=\sum _{i=0}^r{c}_i{p}_i,c_i\ge 0,\sum _{i=0}^r{c}_i=1\right\}.\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

$(c_0,\dots ,c_r)$ 称为 $x$ 的重心坐标。由于 ${\sigma }_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的有界闭子集，它是紧致的。

术语选择

• interior → 内部 · 帧条目：内部（lib:ca484c0c-e258-4cd3-8802-13fd736f4a07） · 来自同一单元
• bounded → 有界 · 帧条目：有界的（lib:2cc2ae75-e460-4c7d-9b9f-acc867bbc0fb）
• closed → 闭 · 帧条目：闭的（lib:8da45318-5944-4aa7-afd5-245f6894ccb2）
• subset → 子集 · 帧条目：子集（lib:98a72c65-8dcc-43d1-b199-ee3daa22cb2c）
• simplex → 单形 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• barycentric coordinate → 重心坐标 · 本章新定（临时）
• geometrically independent → 几何独立 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• compact → 紧致的 · 本章新定（临时）

面

引入 · 从 $p_0,\dots ,p_r$ 中选取 $q+1$ 个点定义的 $q$-单形称为 ${\sigma }_r$ 的 $q$-面；若 ${\sigma }_q\ne {\sigma }_r$，则称 ${\sigma }_q$ 是 ${\sigma }_r$ 的真面。0-单形定义为没有真面。

概念：面（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

which is called a  $q$ -face of  $\sigma_r$ . We write  $\sigma_q \leq \sigma_r$  if  $\sigma_q$  is a face of

PDF 文件页：117；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0078；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $q$ 是满足 $0\le q\le r$ 的整数。如果我们从 $p_0,\dots ,p_r$ 中选取 $q+1$ 个点 $p_{i_0},\dots ,p_{i_q}$，这 $q+1$ 个点定义一个 $q$-单形 ${\sigma }_q=⟨p_{i_0},\dots ,p_{i_q}⟩$，称为 ${\sigma }_r$ 的一个 $q$-面。若 ${\sigma }_q$ 是 ${\sigma }_r$ 的一个面，我们记作 ${\sigma }_q\le {\sigma }_r$。若 ${\sigma }_q\ne {\sigma }_r$，我们说 ${\sigma }_q$ 是 ${\sigma }_r$ 的一个真面，记作 ${\sigma }_q<{\sigma }_r$。图 3.3 显示了 3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 的一个 0-面 $p_0$ 和一个 2-面 $⟨p_1{p}_2{p}_3⟩$。有 1 个 3-面、4 个 2-面、6 个 1-面和 4 个 0-面。读者应验证 $r$-单形中 $q$-面的数目为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{q+1}\right)$。0-单形定义为没有真面。

术语选择

• face → 面 · 帧条目：面（lib:83c6cbb2-d720-4dd5-8186-1ceb458dfe53）
• simplex → 单形 · 本章新定（临时）
• proper face → 真面 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

单纯复形

引入 · 设 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中有限个单形构成的集合。若这些单形很好地拼合在一起，即满足：(i) $K$ 中任一单形的任意面都属于 $K$；(ii) $K$ 中两个单形的交集要么为空，要么是它们的公共面，则称 $K$ 为单纯复形。

概念：单纯复形

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $K$  be a set of finite number of simplexes in  $\mathbb{R}^m$ . If these simplexes are nicely fitted together,  $K$  is called a simplicial complex.

(i) an arbitrary face of a simplex of  $K$  belongs to  $K$ , that is, if  $\sigma \in K$  and  $\sigma' \leq \sigma$  then  $\sigma' \in K$ ; and
(ii) if  $\sigma$  and  $\sigma'$  are two simplexes of  $K$ , the intersection  $\sigma \cap \sigma'$  is either empty or a common face of  $\sigma$  and  $\sigma'$

PDF 文件页：118；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0090；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中有限个单形构成的集合。如果这些单形很好地拼合在一起，则称 $K$ 为一个单纯复形。所谓“很好地”是指：(i) $K$ 中任一单形的任意一个面都属于 $K$，即若 $\sigma \in K$ 且 ${\sigma }^{\prime }\le \sigma$，则 ${\sigma }^{\prime }\in K$；以及 (ii) 若 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 是 $K$ 的两个单形，则交集 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }$ 要么为空，要么是 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 的公共面，即若 $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in K$，则要么 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }=\varnothing$，要么 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }\le \sigma$ 且 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }\le {\sigma }^{\prime }$。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 本章新定（临时）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• intersection → 交集 · 帧条目：交集（lib:8055f095-5721-452c-a01e-c66adc0bb879）
• face → 面 · 帧条目：面（lib:83c6cbb2-d720-4dd5-8186-1ceb458dfe53）
• set → 集合 · 帧条目：集合（lib:93057b90-f764-44c7-b119-a2c29c5e144e）

后文使用：链复形。

后文使用：正方形多面体的单纯复形。

多面体

引入 · 单纯复形 $K$ 是一个集合，其元素是单形。若将每个单形视为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集（$m\ge \dim K$），则所有单形的并集成为 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个子集，称为单纯复形 $K$ 的多面体 $|K|$。$|K|$ 作为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集的维数与 $K$ 的维数相同，即 $\dim |K|=\dim K$。

概念：多面体（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This subset is called the polyhedron  $|K|$  of a simplicial complex  $K$ . The dimension of  $|K|$  as a subset of  $\mathbb{R}^m$  is the same as that of  $K$ ;  $\dim |K| = \dim K$ .

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0090；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.4。设 ${\sigma }_r$ 是一个 $r$-单形，$K=\{{\sigma }^{\prime }|{\sigma }^{\prime }\le {\sigma }_r\}$ 是 ${\sigma }_r$ 的面的集合。$K$ 是一个 $r$ 维单纯复形。例如，取 ${\sigma }_3=⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$（图 3.3）。则

$$\begin{array}{l}K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,⟨p_0{p}_1⟩,⟨p_0{p}_2⟩,⟨p_0{p}_3⟩,\\ ⟨p_1{p}_2⟩,⟨p_1{p}_3⟩,⟨p_2{p}_3⟩,⟨p_0{p}_1{p}_2⟩,⟨p_0{p}_1{p}_3⟩,\\ ⟨p_0{p}_2{p}_3⟩,⟨p_1{p}_2{p}_3⟩,⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

单纯复形 $K$ 是一个集合，其元素是单形。若将每个单形视为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集（$m\ge \dim K$），则所有单形的并集成为 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个子集。这个子集称为单纯复形 $K$ 的多面体 $|K|$。$|K|$ 作为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集的维数与 $K$ 的维数相同；$\dim |K|=\dim K$。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 本章新定（临时）
• polyhedron → 多面体 · 本章新定（临时）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• dimension → 维数 · 帧条目：维数（lib:4d8daf81-914a-426c-9cc7-534fc6eed006）
• subset → 子集 · 帧条目：子集（lib:98a72c65-8dcc-43d1-b199-ee3daa22cb2c）
• union → 并集 · 帧条目：并集（lib:815f9a8a-fbeb-4518-ae7a-cde1b6dc1631）
• set → 集合 · 帧条目：集合（lib:93057b90-f764-44c7-b119-a2c29c5e144e）

可三角剖分

引入 · 设 $X$ 是拓扑空间。若存在单纯复形 $K$ 和同胚 $f:|K|\to X$，则称 $X$ 为可三角剖分的，并称对 $(K,f)$ 为 $X$ 的一个三角剖分。给定拓扑空间 $X$，其三角剖分远非唯一。

概念：可三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If there exists a simplicial complex  $K$  and a homeomorphism  $f: |K| \to X$ ,  $X$  is said to be triangulable and the pair  $(K, f)$  is called a triangulation of  $X$ .

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0090；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $X$ 是一个拓扑空间。若存在一个单纯复形 $K$ 和一个同胚 $f:|K|\to X$，则称 $X$ 是可三角剖分的，并称对 $(K,f)$ 为 $X$ 的一个三角剖分。给定一个拓扑空间 $X$，它的三角剖分远非唯一。我们将只关注可三角剖分的空间。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 本章新定（临时）
• triangulable → 可三角剖分 · 本章新定（临时）
• triangulation → 三角剖分 · 本章新定（临时）
• topological space → 拓扑空间 · 帧条目：拓扑空间（lib:45a8647a-b930-455d-8207-7edbb089a132）
• homeomorphism → 同胚 · 帧条目：同胚（lib:8205a1b2-9f2c-420f-852b-e8664f601938）

后文使用：三角剖分。

后文使用：单形。

单形

回指 · 在例 3.5 中，${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$ 既不是空集也不是一个单形，因此图 3.5(b) 不是三角剖分。

概念：单纯形

原文（OCR，未逐页核实）

which is neither empty nor a simplex.

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0102；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.5。图 $3.5(a)$ 是柱面 $S^1\times [0,1]$ 的一个三角剖分。读者可能会认为存在更简单的选择，例如图 $3.5(b)$。然而，这不是一个三角剖分，因为对于 ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 和 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$，我们得到 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$，它既不是空集也不是一个单形。

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）

使用前文：可三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Figure $3.5(a)$ is a triangulation of a cylinder $S^1 \times [0,1]$ .

使用前文：单形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：which is neither empty nor a simplex.

三角剖分

回指 · 图 3.5(a) 是柱面 $S^1\times [0,1]$ 的一个三角剖分；图 3.5(b) 不是三角剖分，因为对于 ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 和 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$，有 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$，它既不是空集也不是一个单形。

概念：可三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Figure  $3.5(a)$  is a triangulation of a cylinder  $S^1 \times [0,1]$ .

This is, however, not a triangulation since, for  $\sigma_2 = \langle p_0p_1p_2\rangle$  and  $\sigma_2' = \langle p_2p_3p_0\rangle$ , we find  $\sigma_2 \cap \sigma_2' = \langle p_0\rangle \cup \langle p_2\rangle$ , which is neither empty nor a simplex.

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0102；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.5。图 $3.5(a)$ 是柱面 $S^1\times [0,1]$ 的一个三角剖分。读者可能会认为存在更简单的选择，例如图 $3.5(b)$。然而，这不是一个三角剖分，因为对于 ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 和 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$，我们得到 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$，它既不是空集也不是一个单形。

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）

使用前文：可三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Figure $3.5(a)$ is a triangulation of a cylinder $S^1 \times [0,1]$ .

使用前文：单形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：which is neither empty nor a simplex.

后文使用：同调群是拓扑不变量。

后文使用：三角剖分。

定向单形

引入 · 对于 $r\ge 1$，可以给 $r$ 维单形指定定向；用 $(...)$ 表示定向单形，而 $⟨...⟩$ 表示无定向单形；符号 ${\sigma }_r$ 同时表示这两种类型。定向 1-单形 ${\sigma }_1=(p_0{p}_1)$ 是沿方向 $p_0\to p_1$ 行进的有向线段。

概念：定向单纯形

原文（OCR，未逐页核实）

We may assign orientations to an  $r$ -simplex for  $r \geq 1$ . Instead of  $\langle . . . \rangle$  for an unoriented simplex, we will use  $(. . .)$  to denote an oriented simplex. The symbol  $\sigma_r$  is used to denote both types of simplex. An oriented 1-simplex  $\sigma_1 = (p_0 p_1)$  is a directed line segment traversed in the direction  $p_0 \to p_1$

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0103；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于 $r\ge 1$，我们可以给 $r$ 维单形指定定向。对于无定向单形，我们不用 $⟨...⟩$，而将用 $(...)$ 表示定向单形。符号 ${\sigma }_r$ 用来表示这两种类型的单形。一个定向 1-单形 ${\sigma }_1=(p_0{p}_1)$ 是沿方向 $p_0\to p_1$ 行进的有向线段（图 3.6(a)）。现在 $(p_0{p}_1)$ 应当与 $(p_1{p}_0)$ 区分开。我们要求

$$(p_0{p}_1)=-(p_1{p}_0).\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

这里 $(p_1{p}_0)$ 前面的 $-$ 应当在有限生成阿贝尔群的意义下理解。事实上，$(p_1{p}_0)$ 被视为 $(p_0{p}_1)$ 的逆元。从 $p_0$ 到 $p_1$ 接着从 $p_1$ 到 $p_0$ 意味着哪里都没有去，$(p_0{p}_1)+(p_1{p}_0)=0$，因此 $-(p_1{p}_0)=(p_0{p}_1)$。

术语选择

• oriented simplex → 定向单形 · 本章新定（临时）
• oriented 1-simplex → 定向 1-单形 · 本章新定（临时）
• unoriented simplex → 无定向单形 · 本章新定（临时）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• Abelian group → 阿贝尔群 · 帧条目：阿贝尔群（lib:f7a3ed41-d4ca-42c5-91ea-dfc1a0dc4b7b） · 来自同一单元
• inverse → 逆元 · 帧条目：群元素的逆元（lib:1eb6bc94-07d7-48f3-b03b-60b1c2dbb415） · 来自同一单元

后文使用：定向 $r$-单形。

定向 2-单形

引入 · 定向 2-单形 ${\sigma }_2=(p_0{p}_1{p}_2)$ 是三角形区域 $p_0{p}_1{p}_2$，其边缘上指定了定向；由 $p_0{p}_1{p}_2$ 给出的定向与 $p_2{p}_0{p}_1$ 或 $p_1{p}_2{p}_0$ 相同，但与 $p_0{p}_2{p}_1$、$p_2{p}_1{p}_0$ 或 $p_1{p}_0{p}_2$ 相反。

概念：定向 2-单纯形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Similarly, an oriented 2-simplex  $\sigma_{2} = (p_{0}p_{1}p_{2})$  is a triangular region  $p_0p_1p_2$  with a prescribed orientation along the edges (figure 3.6(b)). Observe that the orientation given by  $p_0p_1p_2$  is the same as that given by  $p_2p_0p_1$  or  $p_1p_2p_0$  but opposite to  $p_0p_2p_1$ ,  $p_2p_1p_0$  or  $p_1p_0p_2$ .

PDF 文件页：120；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0103；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

类似地，一个定向 2-单形 ${\sigma }_2=(p_0{p}_1{p}_2)$ 是一个三角形区域 $p_0{p}_1{p}_2$，其边缘上指定了定向（图 3.6(b)）。注意，由 $p_0{p}_1{p}_2$ 给出的定向与由 $p_2{p}_0{p}_1$ 或 $p_1{p}_2{p}_0$ 给出的定向相同，但与 $p_0{p}_2{p}_1$、$p_2{p}_1{p}_0$ 或 $p_1{p}_0{p}_2$ 给出的定向相反。我们要求

$$\begin{array}{l}(p_0{p}_1{p}_2)=(p_2{p}_0{p}_1)=(p_1{p}_2{p}_0)\\ =-\left(p_0{p}_2{p}_1\right)=-\left(p_2{p}_1{p}_0\right)=-\left(p_1{p}_0{p}_2\right).\end{array}$$

设 $P$ 是 0, 1, 2 的一个置换

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ i& j& k\end{array}\right).$$

这些关系总结为

术语选择

• oriented 2-simplex → 定向 2-单形 · 本章新定（临时）
• orientation → 定向 · 帧条目：定向（lib:036e9782-c5c9-47d4-90c7-f64cdc08cbed）
• permutation → 置换 · 帧条目：置换（lib:26cfbcfb-a481-41ee-a74f-cd41f06ecb0f） · 来自同一单元

后文使用：三角剖分球面的 $H_1$。

定向 3-单形

引入 · 定向 3-单形 ${\sigma }_3=(p_0{p}_1{p}_2{p}_3)$ 是四面体四个顶点的一个有序序列。

概念：定向 3-单纯形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

An oriented 3-simplex  $\sigma_3 = (p_0p_1p_2p_3)$  is an ordered sequence of four vertices of a tetrahedron.

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0103；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

一个定向 3-单形 ${\sigma }_3=(p_0{p}_1{p}_2{p}_3)$ 是四面体四个顶点的一个有序序列。设

$$P=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ i& j& k& l\end{array}\right)$$

是一个置换。我们定义

$$\left(p_i{p}_j{p}_k{p}_l\right)=\mathrm{sgn}(P)\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right).$$

现在很容易对任意 $r\ge 1$ 构造一个定向 $r$-单形。形式定义如下。取 ${\mathbb{R}}^m$ 中 $r+1$ 个几何独立的点 $p_0,p_1,\dots ,p_r$。设 $\{p_{i_0},p_{i_1},\dots ,p_{i_r}\}$ 是由点 $p_0,\dots ,p_r$ 的一个置换得到的点序列。若上述置换是偶置换，我们就定义 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 与 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 等价。显然这是一个等价关系，其等价类称为定向 $r$-单形。共有两个等价类，一个由 $p_0,\dots ,p_r$ 的偶置换组成，另一个由奇置换组成。包含 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 的等价类（定向 $r$-单形）记作 ${\sigma }_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，而另一个记作 $-{\sigma }_r=-(p_0{p}_1\dots p_r)$。换言之，

术语选择

• oriented 3-simplex → 定向 3-单形 · 本章新定（临时）
• permutation → 置换 · 帧条目：置换（lib:26cfbcfb-a481-41ee-a74f-cd41f06ecb0f） · 来自同一单元
• geometrically independent → 几何独立 · 帧条目：几何独立（term:3e12b0edbbf3b3546136） · 来自同一单元
• equivalence relation → 等价关系 · 帧条目：等价关系（lib:e4dc698e-be80-42e3-aa14-c8df668fb00b） · 来自同一单元
• equivalence class → 等价类 · 帧条目：等价类（lib:fe80fb2d-f836-47e5-9297-3c634d6df6af） · 来自同一单元

定向 $r$-单形

引入 · 对任意 $r\ge 1$，取 ${\mathbb{R}}^m$ 中 $r+1$ 个几何独立的点 $p_0,\dots ,p_r$；若由 $p_0,\dots ,p_r$ 到 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 的置换 $P$ 是偶置换，则称 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 与 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 等价。该等价关系的等价类称为定向 $r$-单形；包含 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 的类记作 ${\sigma }_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，另一个记作 $-{\sigma }_r=-(p_0{p}_1\dots p_r)$。

概念：定向单纯形

原文（OCR，未逐页核实）

It is now easy to construct an oriented  $r$ -simplex for any  $r \geq 1$ . The formal definition goes as follows. Take  $r + 1$  geometrically independent points  $p_0, p_1, \ldots, p_r$  in  $\mathbb{R}^m$ . Let  $\{p_{i_0}, p_{i_1}, \ldots, p_{i_r}\}$  be a sequence of points obtained by a permutation of the points  $p_0, \ldots, p_r$ . We define  $\{p_0, \ldots, p_r\}$  and  $\{p_{i_0}, \ldots, p_{i_r}\}$  to be equivalent if

is an even permutation. Clearly this is an equivalence relation, the equivalence class of which is called an oriented  $r$ -simplex. There are two equivalence classes, one consists of even permutations of  $p_0, \ldots, p_r$ , the other of odd permutations. The equivalence class (oriented  $r$ -simplex) which contains  $\{p_0, \ldots, p_r\}$  is denoted by  $\sigma_r = (p_0 p_1 \ldots p_r)$ , while the other is denoted by  $-\sigma_r = -(p_0 p_1 \ldots p_r)$ .

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0126；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）。

一个定向 3-单形 ${\sigma }_3=(p_0{p}_1{p}_2{p}_3)$ 是四面体四个顶点的一个有序序列。设

$$P=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ i& j& k& l\end{array}\right)$$

是一个置换。我们定义

$$\left(p_i{p}_j{p}_k{p}_l\right)=\mathrm{sgn}(P)\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right).$$

现在很容易对任意 $r\ge 1$ 构造一个定向 $r$-单形。形式定义如下。取 ${\mathbb{R}}^m$ 中 $r+1$ 个几何独立的点 $p_0,p_1,\dots ,p_r$。设 $\{p_{i_0},p_{i_1},\dots ,p_{i_r}\}$ 是由点 $p_0,\dots ,p_r$ 的一个置换得到的点序列。若上述置换是偶置换，我们就定义 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 与 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 等价。显然这是一个等价关系，其等价类称为定向 $r$-单形。共有两个等价类，一个由 $p_0,\dots ,p_r$ 的偶置换组成，另一个由奇置换组成。包含 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 的等价类（定向 $r$-单形）记作 ${\sigma }_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，而另一个记作 $-{\sigma }_r=-(p_0{p}_1\dots p_r)$。换言之，

$$P=\left(\begin{array}{llll}0& 1& \dots & r\\ i_0& i_1& \dots & i_r\end{array}\right)$$ $$\left(p_{i_0}{p}_{i_1}\dots p_{i_r}\right)=\mathrm{sgn}(P)\left(p_0{p}_1\dots p_r\right).\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

对于 $r=0$，我们形式地定义定向 0-单形就是一个点 ${\sigma }_0=p_0$。

术语选择

• oriented 3-simplex → 定向 3-单形 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• permutation → 置换 · 帧条目：置换（lib:26cfbcfb-a481-41ee-a74f-cd41f06ecb0f）
• geometrically independent → 几何独立 · 帧条目：几何独立（term:3e12b0edbbf3b3546136）
• equivalence relation → 等价关系 · 帧条目：等价关系（lib:e4dc698e-be80-42e3-aa14-c8df668fb00b）
• equivalence class → 等价类 · 帧条目：等价类（lib:fe80fb2d-f836-47e5-9297-3c634d6df6af）

使用前文：定向单形。模型判断为细化，按最近的同概念前文推断；原文：It is now easy to construct an oriented $r$ -simplex for any $r \geq 1$ .

后文使用：$r$-链群。

后文使用：定向 $r$-单形。

定向 0-单形

引入 · 对于 $r=0$，形式地定义定向 0-单形就是一个点 ${\sigma }_0=p_0$。

概念：定向 0-单纯形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For  $r = 0$ , we formally define an oriented 0-simplex to be just a point  $\sigma_0 = p_0$ .

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0126；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

$$\left(p_i{p}_j{p}_k{p}_l\right)=\mathrm{sgn}(P)\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right).$$

现在很容易对任意 $r\ge 1$ 构造一个定向 $r$-单形。形式定义如下。取 ${\mathbb{R}}^m$ 中 $r+1$ 个几何独立的点 $p_0,p_1,\dots ,p_r$。设 $\{p_{i_0},p_{i_1},\dots ,p_{i_r}\}$ 是由点 $p_0,\dots ,p_r$ 的一个置换得到的点序列。若上述置换是偶置换，我们就定义 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 与 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 等价。显然这是一个等价关系，其等价类称为定向 $r$-单形。共有两个等价类，一个由 $p_0,\dots ,p_r$ 的偶置换组成，另一个由奇置换组成。包含 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 的等价类（定向 $r$-单形）记作 ${\sigma }_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，而另一个记作 $-{\sigma }_r=-(p_0{p}_1\dots p_r)$。换言之，

$$P=\left(\begin{array}{llll}0& 1& \dots & r\\ i_0& i_1& \dots & i_r\end{array}\right)$$ $$\left(p_{i_0}{p}_{i_1}\dots p_{i_r}\right)=\mathrm{sgn}(P)\left(p_0{p}_1\dots p_r\right).\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

对于 $r=0$，我们形式地定义定向 0-单形就是一个点 ${\sigma }_0=p_0$。

术语选择

• permutation → 置换 · 帧条目：置换（lib:26cfbcfb-a481-41ee-a74f-cd41f06ecb0f） · 来自同一单元
• geometrically independent → 几何独立 · 帧条目：几何独立（term:3e12b0edbbf3b3546136） · 来自同一单元
• equivalence relation → 等价关系 · 帧条目：等价关系（lib:e4dc698e-be80-42e3-aa14-c8df668fb00b） · 来自同一单元
• equivalence class → 等价类 · 帧条目：等价类（lib:fe80fb2d-f836-47e5-9297-3c634d6df6af） · 来自同一单元

$r$-链群

引入 · 单纯复形 $K$ 的 $r$-链群 $C_r(K)$ 是由 $K$ 的定向 $r$-单形生成的自由阿贝尔群；若 $r>\dim K$，则定义 $C_r(K)$ 为 0；$C_r(K)$ 的元素称为 $r$-链。

概念：链群

原文（OCR，未逐页核实）

Definition 3.2. The  $r$ -chain group  $C_r(K)$  of a simplicial complex  $K$  is a free Abelian group generated by the oriented  $r$ -simplexes of  $K$ . If  $r > \dim K$ ,  $C_r(K)$  is defined to be 0. An element of  $C_r(K)$  is called an  $r$ -chain.

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0126；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.2。单纯复形 $K$ 的 $r$-链群 $C_r(K)$ 是由 $K$ 的定向 $r$-单形生成的自由阿贝尔群。若 $r>\dim K$，则定义 $C_r(K)$ 为 0。$C_r(K)$ 的元素称为 $r$-链。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• free Abelian group → 自由阿贝尔群 · 本章新定（临时）
• chain group → 链群 · 本章新定（临时）
• chain → 链 · 帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07）

使用前文：自由阿贝尔群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：is a free Abelian group generated by the oriented $r$ -simplexes of $K$

使用前文：定向 $r$-单形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：generated by the oriented $r$ -simplexes of $K$

$r$-链群

回指 · $C_r(K)$ 是一个秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群。

概念：链群

原文（OCR，未逐页核实）

Thus,  $C_r(K)$  is a free Abelian group of rank  $I_r$ ,

PDF 文件页：122；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0138；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

设 $K$ 中有 $I_r$ 个 $r$-单形。我们把它们中的每一个记作 ${\sigma }_{r,i}$（$1\le i\le I_r$）。则 $c\in C_r(K)$ 表示为

$$c=\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}{c}_i\in \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.15)}$$

整数 $c_i$ 称为 $c$ 的系数。群结构如下给出。两个 $r$-链 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 与 $c^{\prime }={\sum }_i{c}_i^{\prime }{\sigma }_{r,i}$ 的加法为

$$c+c^{\prime }=\sum _i\left(c_i+c_i^{\prime }\right){\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

单位元是 $0={\sum }_{i}0\cdot {\sigma }_{r,i}$，而 $c$ 的逆元是 $-c={\sum }_i(-c_i){\sigma }_{r,i}$。[注：反向定向的 $r$-单形 $-{\sigma }_r$ 与 $(-1){\sigma }_r\in C_r(K)$ 等同。] 因此，$C_r(K)$ 是一个秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群，

$$C_r(K)\cong \underset{I_r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

在我们定义闭链群和边缘群之前，需要先引入边缘算子。让我们把 $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边缘记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$。${\partial }_r$ 应被理解为一个作用在 ${\sigma }_r$ 上以产生其边缘的算子。这一观点将在后面详细阐述。让我们看看低维单形的边缘。由于 0-单形没有边缘，我们定义

$${\partial }_0{p}_0=0.\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

对于 1-单形 $(p_0{p}_1)$，我们定义

术语选择

• free Abelian group → 自由阿贝尔群 · 帧条目：自由阿贝尔群（term:21918e606c2ace80ea29）
• rank → 秩 · 帧条目：秩（term:e18adcc0c9c69d1615e4）
• unit element → 单位元 · 帧条目：单位元（term:76da70b733d268e5062b）
• inverse element → 逆元 · 帧条目：群元素的逆元（lib:1eb6bc94-07d7-48f3-b03b-60b1c2dbb415）
• cycle group → 闭链群 · 帧条目：闭链群（lib:908f0abd-5194-447e-8401-aca500fcdbf6） · 来自同一单元
• boundary group → 边缘群 · 帧条目：边缘群（lib:b997f55f-72cd-41dd-a707-f2a61744a707） · 来自同一单元
• boundary operator → 边缘算子 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• boundary → 边缘 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• coefficients → 系数 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

使用前文：自由阿贝尔群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：is a free Abelian group of rank $I_r$ ,

后文使用：边缘算子。

后文使用：$r$-链群。

自由阿贝尔群

回指 · $C_r(K)$ 是一个秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群。

概念：自由阿贝尔群

原文（OCR，未逐页核实）

is a free Abelian group of rank  $I_r$ ,

PDF 文件页：122；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0138；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

设 $K$ 中有 $I_r$ 个 $r$-单形。我们把它们中的每一个记作 ${\sigma }_{r,i}$（$1\le i\le I_r$）。则 $c\in C_r(K)$ 表示为

$$c=\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}{c}_i\in \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.15)}$$

整数 $c_i$ 称为 $c$ 的系数。群结构如下给出。两个 $r$-链 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 与 $c^{\prime }={\sum }_i{c}_i^{\prime }{\sigma }_{r,i}$ 的加法为

$$c+c^{\prime }=\sum _i\left(c_i+c_i^{\prime }\right){\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

单位元是 $0={\sum }_{i}0\cdot {\sigma }_{r,i}$，而 $c$ 的逆元是 $-c={\sum }_i(-c_i){\sigma }_{r,i}$。[注：反向定向的 $r$-单形 $-{\sigma }_r$ 与 $(-1){\sigma }_r\in C_r(K)$ 等同。] 因此，$C_r(K)$ 是一个秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群，

$$C_r(K)\cong \underset{I_r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

在我们定义闭链群和边缘群之前，需要先引入边缘算子。让我们把 $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边缘记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$。${\partial }_r$ 应被理解为一个作用在 ${\sigma }_r$ 上以产生其边缘的算子。这一观点将在后面详细阐述。让我们看看低维单形的边缘。由于 0-单形没有边缘，我们定义

$${\partial }_0{p}_0=0.\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

对于 1-单形 $(p_0{p}_1)$，我们定义

术语选择

• free Abelian group → 自由阿贝尔群 · 帧条目：自由阿贝尔群（term:21918e606c2ace80ea29）
• rank → 秩 · 帧条目：秩（term:e18adcc0c9c69d1615e4）
• unit element → 单位元 · 帧条目：单位元（term:76da70b733d268e5062b）
• inverse element → 逆元 · 帧条目：群元素的逆元（lib:1eb6bc94-07d7-48f3-b03b-60b1c2dbb415）
• cycle group → 闭链群 · 帧条目：闭链群（lib:908f0abd-5194-447e-8401-aca500fcdbf6） · 来自同一单元
• boundary group → 边缘群 · 帧条目：边缘群（lib:b997f55f-72cd-41dd-a707-f2a61744a707） · 来自同一单元
• boundary operator → 边缘算子 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• boundary → 边缘 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• coefficients → 系数 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

使用前文：自由阿贝尔群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：is a free Abelian group of rank $I_r$ ,

后文使用：链复形。

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

边缘算子

引入 · $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边缘记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$；${\partial }_r$ 应被理解为一个作用在 ${\sigma }_r$ 上以产生其边缘的算子。

概念：边缘算子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let us denote the boundary of an  $r$ -simplex  $\sigma_r$  by  $\partial_r\sigma_r$ .  $\partial_r$  should be understood as an operator acting on  $\sigma_r$  to produce its boundary.

PDF 文件页：122；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0138；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

整数 $c_i$ 称为 $c$ 的系数。群结构如下给出。两个 $r$-链 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 与 $c^{\prime }={\sum }_i{c}_i^{\prime }{\sigma }_{r,i}$ 的加法为

$$c+c^{\prime }=\sum _i\left(c_i+c_i^{\prime }\right){\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

单位元是 $0={\sum }_{i}0\cdot {\sigma }_{r,i}$，而 $c$ 的逆元是 $-c={\sum }_i(-c_i){\sigma }_{r,i}$。[注：反向定向的 $r$-单形 $-{\sigma }_r$ 与 $(-1){\sigma }_r\in C_r(K)$ 等同。] 因此，$C_r(K)$ 是一个秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群，

$$C_r(K)\cong \underset{I_r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

在我们定义闭链群和边缘群之前，需要先引入边缘算子。让我们把 $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边缘记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$。${\partial }_r$ 应被理解为一个作用在 ${\sigma }_r$ 上以产生其边缘的算子。这一观点将在后面详细阐述。让我们看看低维单形的边缘。由于 0-单形没有边缘，我们定义

$${\partial }_0{p}_0=0.\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

对于 1-单形 $(p_0{p}_1)$，我们定义

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=p_1-p_0.\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

读者可能会疑惑 $p_0$ 前为何出现负号。这同样与定向有关。下面的例子将阐明这一点。在图 3.7(a) 中，一个定向 1-单形 $(p_0{p}_2)$ 被分成两个，$(p_0{p}_1)$ 和 $(p_1{p}_2)$。我们约定 $(p_0{p}_2)$ 的边界是 $\{p_0\}\cup \{p_2\}$，因此 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)$ 的边界也应当如此。如果 ${\partial }_1(p_0{p}_2)$ 被定义为 $p_0+p_2$，我们就会有 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_0+p_1+p_1+p_2$。这是不可取的，因为 $p_1$ 是一个虚构的边界。相反，如果我们取 ${\partial }_1(p_0{p}_2)=p_2-p_0$，我们就会如预期地得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_1-p_0+p_2-p_1=p_2-p_0$。下一个例子是图 3.7(b) 中的三角形。它是三个定向 1-单形之和，

术语选择

• free Abelian group → 自由阿贝尔群 · 帧条目：自由阿贝尔群（term:21918e606c2ace80ea29） · 来自同一单元
• rank → 秩 · 帧条目：秩（term:e18adcc0c9c69d1615e4） · 来自同一单元
• unit element → 单位元 · 帧条目：单位元（term:76da70b733d268e5062b） · 来自同一单元
• inverse element → 逆元 · 帧条目：群元素的逆元（lib:1eb6bc94-07d7-48f3-b03b-60b1c2dbb415） · 来自同一单元
• cycle group → 闭链群 · 帧条目：闭链群（lib:908f0abd-5194-447e-8401-aca500fcdbf6）
• boundary group → 边缘群 · 帧条目：边缘群（lib:b997f55f-72cd-41dd-a707-f2a61744a707）
• boundary operator → 边缘算子 · 本章新定（临时）
• boundary → 边缘 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• coefficients → 系数 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• oriented 1-simplex → 定向 1-单形 · 帧条目：定向 1-单形（term:1f3eff9ffe8938341e79） · 来自同一单元
• orientation → 定向 · 帧条目：定向（lib:036e9782-c5c9-47d4-90c7-f64cdc08cbed） · 来自同一单元
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元

后文使用：边缘算子。

定向 $r$-单形

回指 · 设 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）为一个定向 $r$-单形。

概念：定向单纯形

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$  ( $r > 0$ ) be an oriented  $r$ -simplex.

PDF 文件页：123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0149；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：句末边界（sentence-closed）。

设 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）为一个定向 $r$-单形。${\sigma }_r$ 的边界 ${\partial }_r{\sigma }_r$ 是由下式定义的一个 $(r-1)$-链：

$${\partial }_r{\sigma }_r\equiv \sum _{i=0}^r(-1{)}^i\left(p_0{p}_1\dots {\hat{p}}_i\dots p_r\right)\text{\hspace{1em}(3.20)}$$

其中 $\hat{\mu }$ 下方的点 $p_i$ 被省略。例如，

$$\begin{array}{l}{\partial }_2\left(p_0{p}_1{p}_2\right)=\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\\ {\partial }_3\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right)=\left(p_1{p}_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+\left(p_0{p}_1{p}_3\right)-\left(p_0{p}_1{p}_2\right).\end{array}$$

对于 $r=0$，我们形式地定义 ${\partial }_0{\sigma }_0=0$。

术语选择

• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• chain → 链 · 帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07）

使用前文：定向 $r$-单形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Let $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$ ( $r > 0$ ) be an oriented $r$ -simplex.

后文使用：边缘算子。

边缘算子

推导 · 通过低维例子说明，为使 $(p_0{p}_2)$ 的边界与 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)$ 的边界一致，应取 ${\partial }_1(p_0{p}_2)=p_2-p_0$；由此对一般 $r$-单形 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）定义其边界 ${\partial }_r{\sigma }_r$ 为 $(r-1)$-链，并形式地定义 ${\partial }_0{\sigma }_0=0$。

概念：边缘算子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If, instead, we take  $\partial_1(p_0p_2) = p_2 - p_0$ , we will have  $\partial_1(p_0p_1) + \partial_1(p_1p_2) = p_1 - p_0 + p_2 - p_1 = p_2 - p_0$  as expected.

Let  $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$  ( $r > 0$ ) be an oriented  $r$ -simplex. The boundary  $\partial_r\sigma_r$  of  $\sigma_r$  is an  $(r - 1)$ -chain defined by

We formally define  $\partial_0\sigma_0 = 0$  for  $r = 0$ .

PDF 文件页：122, 123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0149；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

在我们定义闭链群和边缘群之前，需要先引入边缘算子。让我们把 $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边缘记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$。${\partial }_r$ 应被理解为一个作用在 ${\sigma }_r$ 上以产生其边缘的算子。这一观点将在后面详细阐述。让我们看看低维单形的边缘。由于 0-单形没有边缘，我们定义

$${\partial }_0{p}_0=0.\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

对于 1-单形 $(p_0{p}_1)$，我们定义

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=p_1-p_0.\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

读者可能会疑惑 $p_0$ 前为何出现负号。这同样与定向有关。下面的例子将阐明这一点。在图 3.7(a) 中，一个定向 1-单形 $(p_0{p}_2)$ 被分成两个，$(p_0{p}_1)$ 和 $(p_1{p}_2)$。我们约定 $(p_0{p}_2)$ 的边界是 $\{p_0\}\cup \{p_2\}$，因此 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)$ 的边界也应当如此。如果 ${\partial }_1(p_0{p}_2)$ 被定义为 $p_0+p_2$，我们就会有 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_0+p_1+p_1+p_2$。这是不可取的，因为 $p_1$ 是一个虚构的边界。相反，如果我们取 ${\partial }_1(p_0{p}_2)=p_2-p_0$，我们就会如预期地得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_1-p_0+p_2-p_1=p_2-p_0$。下一个例子是图 3.7(b) 中的三角形。它是三个定向 1-单形之和，$(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。我们约定它没有边界。如果我们坚持规则 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_0+p_1$，我们就会有

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_0+p_1+p_1+p_2+p_2+p_0$$

这与我们的直觉相矛盾。另一方面，如果我们取 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_1-p_0$，我们就有

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_1-p_0+p_2-p_1+p_0-p_2=0$$

如预期的那样。因此，如果省略第一个顶点，我们就放一个正号；如果省略第二个顶点，就放一个负号。我们利用这一事实来定义一般 $r$-单形的边界。

设 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）为一个定向 $r$-单形。${\sigma }_r$ 的边界 ${\partial }_r{\sigma }_r$ 是由下式定义的一个 $(r-1)$-链：

$${\partial }_r{\sigma }_r\equiv \sum _{i=0}^r(-1{)}^i\left(p_0{p}_1\dots {\hat{p}}_i\dots p_r\right)\text{\hspace{1em}(3.20)}$$

其中 $\hat{\mu }$ 下方的点 $p_i$ 被省略。例如，

$$\begin{array}{l}{\partial }_2\left(p_0{p}_1{p}_2\right)=\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\\ {\partial }_3\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right)=\left(p_1{p}_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+\left(p_0{p}_1{p}_3\right)-\left(p_0{p}_1{p}_2\right).\end{array}$$

对于 $r=0$，我们形式地定义 ${\partial }_0{\sigma }_0=0$。

术语选择

• cycle group → 闭链群 · 帧条目：闭链群（lib:908f0abd-5194-447e-8401-aca500fcdbf6） · 来自同一单元
• boundary group → 边缘群 · 帧条目：边缘群（lib:b997f55f-72cd-41dd-a707-f2a61744a707） · 来自同一单元
• boundary operator → 边缘算子 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• boundary → 边缘 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• oriented 1-simplex → 定向 1-单形 · 帧条目：定向 1-单形（term:1f3eff9ffe8938341e79）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• orientation → 定向 · 帧条目：定向（lib:036e9782-c5c9-47d4-90c7-f64cdc08cbed）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• chain → 链 · 帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07）

使用前文：边缘算子。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：an oriented 1-simplex $(p_0p_2)$ is divided into two, $(p_0p_1)$ and $(p_1p_2)$

使用前文：定向 $r$-单形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Let $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$ ( $r > 0$ ) be an oriented $r$ -simplex.

后文使用：边缘算子。

边缘算子

回指 · 算子 ${\partial }_r$ 线性地作用于 $C_r(K)$ 的元素 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 上，其右端是 $C_{r-1}(K)$ 的元素，因此 ${\partial }_r$ 定义了映射 ${\partial }_r:C_r(K)\to C_{r-1}(K)$；${\partial }_r$ 称为边缘算子，且是一个同态。

概念：边缘算子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The operator  $\partial_r$  acts linearly on an element  $c = \sum_{i} c_i \sigma_{r,i}$  of  $C_r(K)$ ,

The RHS of (3.21) is an element of  $C_{r-1}(K)$ . Accordingly,  $\partial_r$  defines a map

$\partial_r$  is called the boundary operator. It is easy to see that the boundary operator is a homomorphism.

PDF 文件页：123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0160；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

算子 ${\partial }_r$ 线性地作用于 $C_r(K)$ 的元素 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 上，

$${\partial }_{r}c=\sum _i{c}_i{\partial }_r{\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.21)}$$

(3.21) 的右端是 $C_{r-1}(K)$ 的元素。因此，${\partial }_r$ 定义了一个映射

$${\partial }_r:C_r(K)\to C_{r-1}(K).\text{\hspace{1em}(3.22)}$$

${\partial }_r$ 称为边缘算子。容易看出，边缘算子是一个同态。

术语选择

• boundary operator → 边缘算子 · 帧条目：边缘算子（term:106679a0bc4670ff1109）
• homomorphism → 同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00）

使用前文：边缘算子。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：The operator $\partial_r$ acts linearly on an element $c = \sum_{i} c_i \sigma_{r,i}$ of $C_r(K)$ ,

使用前文：$r$-链群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：of $C_r(K)$ ,

链复形

引入 · 设 $K$ 是 $n$ 维单纯复形，则存在自由阿贝尔群与同态的序列 $0\stackrel{i}{\to }{C}_n(K)\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}(K)\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0(K)\stackrel{{\partial }_0}{\to }0$，其中 $i:0\hookrightarrow C_n(K)$ 是包含映射（0 视为 $C_n(K)$ 的单位元）；该序列称为与 $K$ 相伴的链复形，记作 $C(K)$。

概念：链复形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $K$  be an  $n$ -dimensional simplicial complex. There exists a sequence of free Abelian groups and homomorphisms,

where  $i: 0 \hookrightarrow C_n(K)$  is an inclusion map (0 is regarded as the unit element of  $C_n(K)$ ). This sequence is called the chain complex associated with  $K$  and is denoted by  $C(K)$ .

PDF 文件页：123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0160；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形。存在一个自由阿贝尔群与同态的序列，

$$0\stackrel{i}{\to }{C}_n(K)\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}(K)\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{{\partial }_2}{\to }{C}_1(K)\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0(K)\stackrel{{\partial }_0}{\to }0\text{\hspace{1em}(3.23)}$$

其中 $i:0\hookrightarrow C_n(K)$ 是包含映射（0 视为 $C_n(K)$ 的单位元）。这个序列称为与 $K$ 相伴的链复形，记作 $C(K)$。研究同态 ${\partial }_r$ 的像与核是很有意义的。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• free Abelian groups → 自由阿贝尔群 · 帧条目：自由阿贝尔群（term:56fa55144bd8a1744ba1）
• unit element → 单位元 · 帧条目：单位元（term:76da70b733d268e5062b）
• kernel → 核 · 帧条目：群同态的核（lib:5f7e4cb8-69a7-4933-854b-6e7bbc93a0f1）
• image → 像 · 帧条目：线性映射的像（lib:593dc0f6-cda0-4a27-a905-4d9a84968af1）
• chain complex → 链复形 · 本章新定（临时）
• inclusion map → 包含映射 · 本章新定（临时）

使用前文：单纯复形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Let $K$ be an $n$ -dimensional simplicial complex.

使用前文：自由阿贝尔群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：There exists a sequence of free Abelian groups and homomorphisms,

后文使用：连通单纯复形的 $H_0$。

$r$-闭链群

引入 · 若 $c\in C_r(K)$ 满足 ${\partial }_{r}c=0$，则 $c$ 称为 $r$-闭链；$r$-闭链的集合 $Z_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的子群，称为 $r$-闭链群，且 $Z_r(K)=\ker {\partial }_r$。若 $r=0$，${\partial }_{0}c$ 恒为零且 $Z_0(K)=C_0(K)$。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Definition 3.3. If  $c \in C_r(K)$  satisfies

$c$  is called an  $r$ -cycle. The set of  $r$ -cycles  $Z_{r}(K)$  is a subgroup of  $C_{r}(K)$  and is called the  $r$ -cycle group. Note that  $Z_{r}(K) = \ker \partial_{r}$ . [Remark: If  $r = 0$ ,  $\partial_0 c$  vanishes identically and  $Z_{0}(K) = C_{0}(K)$ , see (3.23).]

PDF 文件页：124；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0160；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.3。若 $c\in C_r(K)$ 满足

$${\partial }_{r}c=0\text{\hspace{1em}(3.24)}$$

$c$ 称为一个 $r$-闭链。$r$-闭链的集合 $Z_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的一个子群，称为 $r$-闭链群。注意 $Z_r(K)=\ker {\partial }_r$。[注：若 $r=0$，${\partial }_{0}c$ 恒为零且 $Z_0(K)=C_0(K)$，见 (3.23)。]

术语选择

• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）
• cycle group → 闭链群 · 帧条目：闭链群（lib:908f0abd-5194-447e-8401-aca500fcdbf6）
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c）

使用前文：核。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Note that $Z_{r}(K) = \ker \partial_{r}$ .

$r$-边缘群

引入 · 若 $c\in C_r(K)$ 且存在 $d\in C_{r+1}(K)$ 使 $c={\partial }_{r+1}d$，则 $c$ 称为 $r$-边缘；$r$-边缘的集合 $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的子群，称为 $r$-边缘群，且 $B_r(K)=\mathrm{im}{\partial }_{r+1}$。$B_n(K)$ 定义为 0。

概念：$r$-边缘群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If there exists an element  $d \in C_{r + 1}(K)$  such that

then  $c$  is called an  $r$ -boundary. The set of  $r$ -boundaries  $B_r(K)$  is a subgroup of  $C_r(K)$  and is called the  $r$ -boundary group. Note that  $B_r(K) = \operatorname{im} \partial_{r+1}$ . [Remark:  $B_n(K)$  is defined to be 0.]

PDF 文件页：124；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0171；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.4。设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，并设 $c\in C_r(K)$。若存在一个元素 $d\in C_{r+1}(K)$ 使得

$$c={\partial }_{r+1}d\text{\hspace{1em}(3.25)}$$

则 $c$ 称为一个 $r$-边缘。$r$-边缘的集合 $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的一个子群，称为 $r$-边缘群。注意 $B_r(K)=\mathrm{im}{\partial }_{r+1}$。[注：$B_n(K)$ 定义为 0。]

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）

$r$-闭链群

回指 · $Z_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的子群，称为 $r$-闭链群。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$  are subgroups of  $C_{r}(K)$

PDF 文件页：124；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0171；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

由引理 3.1 可知，$Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的子群。我们现在证明 $Z_r(K)$ 与 $B_r(K)$ 之间的一个重要关系，它在同调群的定义中至关重要。

术语选择

• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）

边缘的边缘为零

推导 · 复合映射 ${\partial }_r\circ {\partial }_{r+1}:C_{r+1}(K)\to C_{r-1}(K)$ 是零映射；即对任意 $c\in C_{r+1}(K)$，${\partial }_r({\partial }_{r+1}c)=0$。

概念：边缘的边缘为零（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The composite map  $\partial_r\circ \partial_{r + 1}:C_{r + 1}(K)\to C_{r - 1}(K)$  is a zero map; that is,  $\partial_r(\partial_{r + 1}c) = 0$  for any  $c\in C_{r + 1}(K)$ .

PDF 文件页：124；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0171；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

引理 3.3。复合映射 ${\partial }_r\circ {\partial }_{r+1}:C_{r+1}(K)\to C_{r-1}(K)$ 是一个零映射；即对任意 $c\in C_{r+1}(K)$，${\partial }_r({\partial }_{r+1}c)=0$。

术语选择

• zero map → 零映射 · 本章新定（临时）
• composite map → 复合映射 · 本章新定（临时）

$r$-边缘群

回指 · $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的子群，称为 $r$-边缘群。

概念：$r$-边缘群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$B_r(K)$

PDF 文件页：125；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0183；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：句末边界（sentence-closed）。

到目前为止，我们已经定义了与单纯复形 $K$ 相伴的三个群 $C_r(K),Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$。它们与 $K$ 的拓扑性质，或者与以 $K$ 为三角剖分的拓扑空间，有什么关系？$C_r(K)$ 是否可能表达任何在同胚下保持不变的性质？我们都知道，三角形的边与正方形的边彼此同胚。它们的链群又如何呢？例如，与一个三角形相伴的 1-链群是

$$\begin{array}{l}{C}_1\left(K_1\right)=\left\{i\left(p_0{p}_1\right)+j\left(p_1{p}_2\right)+k\left(p_2{p}_0\right)|i,j,k\in \mathbb{Z}\right\}\\ \cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\end{array}$$

而与一个正方形相伴的则是

$$C_1(K_2)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.$$

显然 $C_1(K_1)$ 不同构于 $C_1(K_2)$，因此 $C_r(K)$ 不能作为拓扑不变量的候选。对 $Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 也是如此。事实证明，下面定义的同调群提供了所需的拓扑不变量。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• chain group → 链群 · 帧条目：链群（term:c89e2e6d3d04646cfab3）
• topological invariant → 拓扑不变量 · 帧条目：拓扑不变量（lib:5838084a-ffaf-428a-80a9-26e5da5f38c4） · 来自同一单元
• topological space → 拓扑空间 · 帧条目：拓扑空间（lib:45a8647a-b930-455d-8207-7edbb089a132）
• homeomorphic → 同胚 · 帧条目：lib:93c1d325-7d4a-436d-83b1-bce5bbeb4016
• homeomorphism → 同胚 · 帧条目：同胚（lib:8205a1b2-9f2c-420f-852b-e8664f601938）

后文使用：$r$-边缘群。

$r$-闭链群

回指 · $Z_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的子群，称为 $r$-闭链群。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$C_r(K), Z_r(K)$

PDF 文件页：125；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0183；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：句末边界（sentence-closed）。

到目前为止，我们已经定义了与单纯复形 $K$ 相伴的三个群 $C_r(K),Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$。它们与 $K$ 的拓扑性质，或者与以 $K$ 为三角剖分的拓扑空间，有什么关系？$C_r(K)$ 是否可能表达任何在同胚下保持不变的性质？我们都知道，三角形的边与正方形的边彼此同胚。它们的链群又如何呢？例如，与一个三角形相伴的 1-链群是

$$\begin{array}{l}{C}_1\left(K_1\right)=\left\{i\left(p_0{p}_1\right)+j\left(p_1{p}_2\right)+k\left(p_2{p}_0\right)|i,j,k\in \mathbb{Z}\right\}\\ \cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\end{array}$$

而与一个正方形相伴的则是

$$C_1(K_2)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.$$

显然 $C_1(K_1)$ 不同构于 $C_1(K_2)$，因此 $C_r(K)$ 不能作为拓扑不变量的候选。对 $Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 也是如此。事实证明，下面定义的同调群提供了所需的拓扑不变量。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• chain group → 链群 · 帧条目：链群（term:c89e2e6d3d04646cfab3）
• topological invariant → 拓扑不变量 · 帧条目：拓扑不变量（lib:5838084a-ffaf-428a-80a9-26e5da5f38c4） · 来自同一单元
• topological space → 拓扑空间 · 帧条目：拓扑空间（lib:45a8647a-b930-455d-8207-7edbb089a132）
• homeomorphic → 同胚 · 帧条目：lib:93c1d325-7d4a-436d-83b1-bce5bbeb4016
• homeomorphism → 同胚 · 帧条目：同胚（lib:8205a1b2-9f2c-420f-852b-e8664f601938）

后文使用：$r$-闭链群。

同调群

引入 · 设 $K$ 是 $n$ 维单纯复形。与 $K$ 相伴的第 $r$ 个同调群 $H_r(K)$，$0\le r\le n$，定义为 $H_r(K)\equiv Z_r(K)/B_r(K)$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The  $r$ th homology group  $H_{r}(K)$ ,  $0 \leq r \leq n$ , associated with  $K$  is defined by

H _ {r} (K) \equiv Z _ {r} (K) / B _ {r} (K).

PDF 文件页：125；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0183；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.5。设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形。与 $K$ 相伴的第 $r$ 个同调群 $H_r(K)$，$0\le r\le n$，定义为

$$H_r(K)\equiv Z_r(K)/B_r(K).\text{\hspace{1em}(3.28)}$$

[注：如有必要，我们对 $r>n$ 或 $r<0$ 定义 $H_r(K)=0$。如果我们想强调群结构是用整数系数定义的，我们写作 $H_r(K;\mathbb{Z})$。我们也可以定义具有 $\mathbb{R}$-系数的同调群 $H_r(K;\mathbb{R})$，或具有 ${\mathbb{Z}}_2$-系数的同调群 $H_r(K;{\mathbb{Z}}_2)$。]

术语选择

• homology group → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• coefficients → 系数 · 帧条目：系数（term:7c22d8e50f758ebedd29） · 来自同一单元

后文使用：同调类。

同调类

引入 · 每个等价类 $[z]$ 称为一个同调类；两个 $r$-闭链 $z$ 与 $z^{\prime }$ 属于同一个等价类当且仅当 $z-z^{\prime }\in B_r(K)$，此时称 $z$ 与 $z^{\prime }$ 同调，并记作 $z\sim z^{\prime }$ 或 $[z]=[z^{\prime }]$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where each equivalence class  $[z]$  is called a homology class.

Two  $r$ -cycles  $z$  and  $z'$  are in the same equivalence class if and only if  $z - z' \in B_r(K)$ , in which case  $z$  is said to be homologous to  $z'$  and denoted by  $z \sim z'$  or  $[z] = [z']$ .

PDF 文件页：126；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0195；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

由于 $B_r(K)$ 是 $Z_r(K)$ 的子群，$H_r(K)$ 是良定义的。群 $H_r(K)$ 是 $r$-闭链的等价类的集合，

$$H_r(K)\equiv \{[z]|z\in Z_r(K)\}\text{\hspace{1em}(3.29)}$$

其中每个等价类 $[z]$ 称为一个同调类。两个 $r$-闭链 $z$ 与 $z^{\prime }$ 属于同一个等价类，当且仅当 $z-z^{\prime }\in B_r(K)$，此时称 $z$ 与 $z^{\prime }$ 同调，并记作 $z\sim z^{\prime }$ 或 $[z]=[z^{\prime }]$。几何上，$z-z^{\prime }$ 是某个空间的边界。按定义，任何边界 $b\in B_r(K)$ 都与 0 同调，因为 $b-0\in B_r(K)$。我们不加证明地接受以下定理。

术语选择

• subgroup → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6） · 来自同一单元
• cycles → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• homology class → 同调类 · 本章新定（临时）
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）

使用前文：同调群。模型判断为细化，按最近的同概念前文推断；原文：where each equivalence class $[z]$ is called a homology class.

同调群是拓扑不变量

引入 · 定理 3.4：同调群是拓扑不变量。设 $X$ 同胚于 $Y$，$(K,f)$ 与 $(L,g)$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的三角剖分，则 $H_r(K)\cong H_r(L)$，$r=0,1,2,\dots$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.4. Homology groups are topological invariants.

Let  $X$  be homeomorphic to  $Y$  and let  $(K, f)$  and  $(L, g)$  be triangulations of  $X$  and  $Y$  respectively.

PDF 文件页：126；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0195；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

定理 3.4。同调群是拓扑不变量。设 $X$ 同胚于 $Y$，并设 $(K,f)$ 与 $(L,g)$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的三角剖分。则我们有

$$H_r(K)\cong H_r(L)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.30)}$$

特别地，若 $(K,f)$ 与 $(L,g)$ 是 $X$ 的两个三角剖分，则

$$H_r(K)\cong H_r(L)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.31)}$$

因此，谈论一个未必是多面体但可三角剖分的拓扑空间 $X$ 的同调群是有意义的。对于任意三角剖分 $(K,f)$，$H_r(X)$ 定义为

术语选择

• topological invariants → 拓扑不变量 · 帧条目：拓扑不变量（lib:5838084a-ffaf-428a-80a9-26e5da5f38c4）
• homeomorphic → 同胚 · 帧条目：lib:93c1d325-7d4a-436d-83b1-bce5bbeb4016
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d） · 来自同一单元
• triangulable → 可三角剖分 · 帧条目：可三角剖分（term:3cae136d012c2bf09f06） · 来自同一单元
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3） · 来自同一单元
• topological space → 拓扑空间 · 帧条目：拓扑空间（lib:45a8647a-b930-455d-8207-7edbb089a132） · 来自同一单元
• Homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）

使用前文：三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：let $(K, f)$ and $(L, g)$ be triangulations of $X$ and $Y$ respectively

可三角剖分空间的同调群

引入 · 对于未必是多面体但可三角剖分的拓扑空间 $X$，对任意三角剖分 $(K,f)$，定义 $H_r(X)\equiv H_r(K)$，$r=0,1,2,\dots$；由定理 3.4，这不依赖于三角剖分 $(K,f)$ 的选择。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Accordingly, it makes sense to talk of homology groups of a topological space  $X$  which is not necessarily a polyhedron but which is triangulable.

For an arbitrary triangulation  $(K, f)$ ,  $H_r(X)$  is defined to be

PDF 文件页：126；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0195；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）。

定理 3.4。同调群是拓扑不变量。设 $X$ 同胚于 $Y$，并设 $(K,f)$ 与 $(L,g)$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的三角剖分。则我们有

$$H_r(K)\cong H_r(L)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.30)}$$

特别地，若 $(K,f)$ 与 $(L,g)$ 是 $X$ 的两个三角剖分，则

$$H_r(K)\cong H_r(L)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.31)}$$

因此，谈论一个未必是多面体但可三角剖分的拓扑空间 $X$ 的同调群是有意义的。对于任意三角剖分 $(K,f)$，$H_r(X)$ 定义为

$$H_r(X)\equiv H_r(K)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.32)}$$

定理 3.4 告诉我们，这不依赖于三角剖分 $(K,f)$ 的选择。

术语选择

• topological invariants → 拓扑不变量 · 帧条目：拓扑不变量（lib:5838084a-ffaf-428a-80a9-26e5da5f38c4） · 来自同一单元
• homeomorphic → 同胚 · 帧条目：lib:93c1d325-7d4a-436d-83b1-bce5bbeb4016 · 来自同一单元
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• triangulable → 可三角剖分 · 帧条目：可三角剖分（term:3cae136d012c2bf09f06）
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3）
• topological space → 拓扑空间 · 帧条目：拓扑空间（lib:45a8647a-b930-455d-8207-7edbb089a132）
• Homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元

后文使用：可三角剖分空间的同调群。

$r$-边缘群

回指 · $B_1(K)=\{0\}$，因为 $(p_0{p}_1)$ 不是 $K$ 中任何单形的边界。

概念：$r$-边缘群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $(p_0p_1)$  is not a boundary of any simplex in  $K$ ,  $B_{1}(K) = \{0\}$

PDF 文件页：127；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0207；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

$$H_r(K)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}& (r=0)\\ \{0\}& (r\ne 0).\end{array}\text{\hspace{1em}(3.34)}$$

例 3.7。设 $K=\{p_0,p_1,(p_0{p}_1)\}$。我们有

$$C_0(K)=\{i{p}_0+j{p}_1|i,j\in \mathbb{Z}\}$$ $$C_1(K)=\{k(p_0{p}_1)|k\in \mathbb{Z}\}.$$

由于 $(p_0{p}_1)$ 不是 $K$ 中任何单形的边界，$B_1(K)=\{0\}$，并且

$$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K).$$

若 $z=m(p_0{p}_1)\in Z_1(K)$，则它满足

$${\partial }_{1}z=m{\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=m\left\{p_1-p_0\right\}=m{p}_1-m{p}_0=0.$$

因此，$m$ 必须为零，且 $Z_1(K)=0$，从而

术语选择

• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）

使用前文：$r$-边缘群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$B_{1}(K) = \{0\}$

后文使用：$B_2(K)$ 为零。

$r$-闭链群

回指 · 若 $z=m(p_0{p}_1)\in Z_1(K)$，则 ${\partial }_{1}z=0$ 迫使 $m=0$，故 $Z_1(K)=0$。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If  $z = m(p_0p_1) \in Z_1(K)$ , it satisfies

Thus,  $m$  has to vanish and  $Z_{1}(K) = 0$

PDF 文件页：127；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0207；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

$$C_0(K)=\{i{p}_0+j{p}_1|i,j\in \mathbb{Z}\}$$ $$C_1(K)=\{k(p_0{p}_1)|k\in \mathbb{Z}\}.$$

由于 $(p_0{p}_1)$ 不是 $K$ 中任何单形的边界，$B_1(K)=\{0\}$，并且

$$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K).$$

若 $z=m(p_0{p}_1)\in Z_1(K)$，则它满足

$${\partial }_{1}z=m{\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=m\left\{p_1-p_0\right\}=m{p}_1-m{p}_0=0.$$

因此，$m$ 必须为零，且 $Z_1(K)=0$，从而

$$H_1(K)=0.\text{\hspace{1em}(3.35)}$$

至于 $H_0(K)$，我们有 $Z_0(K)=C_0(K)=\{i{p}_0+j{p}_1\}$，并且

$$B_0(K)=\mathrm{im}{\partial }_1=\left\{{\partial }_{1}i\left(p_0{p}_1\right)|i\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{i\left(p_0-p_1\right)|i\in \mathbb{Z}\right\}.$$

定义一个满（到上）同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

术语选择

• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• surjective (onto) homomorphism → 满（到上）同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00） · 来自同一单元

使用前文：$r$-闭链群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$z = m(p_0p_1) \in Z_1(K)$

可三角剖分空间的同调群

推导 · 对于 $K=\{p_0,p_1,(p_0{p}_1)\}$，$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K)=0$；至于 $H_0(K)$，有 $Z_0(K)=C_0(K)=\{i{p}_0+j{p}_1\}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

H _ {1} (K) = Z _ {1} (K) / B _ {1} (K) = Z _ {1} (K).

As for  $H_0(K)$ , we have  $Z_{0}(K) = C_{0}(K) = \{ip_{0} + jp_{1}\}$

PDF 文件页：127；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0207；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

例 3.7。设 $K=\{p_0,p_1,(p_0{p}_1)\}$。我们有

$$C_0(K)=\{i{p}_0+j{p}_1|i,j\in \mathbb{Z}\}$$ $$C_1(K)=\{k(p_0{p}_1)|k\in \mathbb{Z}\}.$$

由于 $(p_0{p}_1)$ 不是 $K$ 中任何单形的边界，$B_1(K)=\{0\}$，并且

$$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K).$$

若 $z=m(p_0{p}_1)\in Z_1(K)$，则它满足

$${\partial }_{1}z=m{\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=m\left\{p_1-p_0\right\}=m{p}_1-m{p}_0=0.$$

因此，$m$ 必须为零，且 $Z_1(K)=0$，从而

$$H_1(K)=0.\text{\hspace{1em}(3.35)}$$

至于 $H_0(K)$，我们有 $Z_0(K)=C_0(K)=\{i{p}_0+j{p}_1\}$，并且

$$B_0(K)=\mathrm{im}{\partial }_1=\left\{{\partial }_{1}i\left(p_0{p}_1\right)|i\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{i\left(p_0-p_1\right)|i\in \mathbb{Z}\right\}.$$

定义一个满（到上）同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

$$f(i{p}_0+j{p}_1)=i+j.$$

于是我们得到

术语选择

• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• surjective (onto) homomorphism → 满（到上）同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00） · 来自同一单元

使用前文：可三角剖分空间的同调群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：H _ {1} (K) = Z _ {1} (K) / B _ {1} (K) = Z _ {1} (K).

同态基本定理

回指 · 定理 3.1 指出 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$。

概念：同态基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.1 states that  $Z_0(K) / \ker f \cong \operatorname{im} f = \mathbb{Z}$

PDF 文件页：127；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0218；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

定义一个满（到上）同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

$$f(i{p}_0+j{p}_1)=i+j.$$

于是我们得到

$$\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K).$$

定理 3.1 指出 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，或

$$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.36)}$$

例 3.8。设 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0)\}$，见图 3.7(b)。这是 $S^1$ 的一个三角剖分。由于 $K$ 中没有 2-单形，我们有 $B_1(K)=0$ 和 $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K)$。设 $z=i(p_0{p}_1)+j(p_1{p}_2)+k(p_2{p}_0)\in Z_1(K)$，其中 $i,j,k\in \mathbb{Z}$。我们要求

$$\begin{array}{l}{\partial }_{1}z=i\left(p_1-p_0\right)+j\left(p_2-p_1\right)+k\left(p_0-p_2\right)\\ =(k-i)p_0+(i-j)p_1+(j-k)p_2=0.\end{array}$$

这仅当 $i=j=k$ 时得到满足。因此，我们发现

术语选择

• surjective (onto) homomorphism → 满（到上）同态 · 帧条目：群同态（lib:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00） · 来自同一单元
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d） · 来自同一单元
• 2-simplexes → 2-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

使用前文：同态基本定理。模型判断为使用，按原文编号定位（Theorem 3.1）；原文：Theorem 3.1 states that $Z_0(K) / \ker f \cong \operatorname{im} f = \mathbb{Z}$

使用前文：核。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$Z_0(K) / \ker f \cong \operatorname{im} f = \mathbb{Z}$

使用前文：像。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$Z_0(K) / \ker f \cong \operatorname{im} f = \mathbb{Z}$

三角剖分

回指 · $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0)\}$ 是 $S^1$ 的一个三角剖分。

概念：可三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is a triangulation of  $S^1$

PDF 文件页：127；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0218；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

于是我们得到

$$\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K).$$

定理 3.1 指出 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，或

$$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.36)}$$

例 3.8。设 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0)\}$，见图 3.7(b)。这是 $S^1$ 的一个三角剖分。由于 $K$ 中没有 2-单形，我们有 $B_1(K)=0$ 和 $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K)$。设 $z=i(p_0{p}_1)+j(p_1{p}_2)+k(p_2{p}_0)\in Z_1(K)$，其中 $i,j,k\in \mathbb{Z}$。我们要求

$$\begin{array}{l}{\partial }_{1}z=i\left(p_1-p_0\right)+j\left(p_2-p_1\right)+k\left(p_0-p_2\right)\\ =(k-i)p_0+(i-j)p_1+(j-k)p_2=0.\end{array}$$

这仅当 $i=j=k$ 时得到满足。因此，我们发现

$$Z_1(K)=\{i\{(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)\}|i\in \mathbb{Z}\}.$$

这表明 $Z_1(K)$ 同构于 $\mathbb{Z}$，并且

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• 2-simplexes → 2-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）

使用前文：三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This is a triangulation of $S^1$

后文使用：圆周三角剖分的 $H_1$。

圆周三角剖分的 $H_1$

推导 · 对于 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0)\}$，由于 $K$ 中没有 2-单形，$B_1(K)=0$ 且 $H_1(K)=Z_1(K)$；由 ${\partial }_{1}z=0$ 推出 $i=j=k$，故 $Z_1(K)\cong \mathbb{Z}$，从而 $H_1(K)=Z_1(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：圆周三角剖分的 $H_1$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since there are no 2-simplexes in  $K$ , we have  $B_{1}(K) = 0$  and  $H_{1}(K) = Z_{1}(K) / B_{1}(K) = Z_{1}(K)$

This is satisfied only when  $i = j = k$

This shows that  $Z_{1}(K)$  is isomorphic to  $\mathbb{Z}$

PDF 文件页：127；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0218；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

于是我们得到

$$\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K).$$

定理 3.1 指出 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，或

$$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.36)}$$

例 3.8。设 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0)\}$，见图 3.7(b)。这是 $S^1$ 的一个三角剖分。由于 $K$ 中没有 2-单形，我们有 $B_1(K)=0$ 和 $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K)$。设 $z=i(p_0{p}_1)+j(p_1{p}_2)+k(p_2{p}_0)\in Z_1(K)$，其中 $i,j,k\in \mathbb{Z}$。我们要求

$$\begin{array}{l}{\partial }_{1}z=i\left(p_1-p_0\right)+j\left(p_2-p_1\right)+k\left(p_0-p_2\right)\\ =(k-i)p_0+(i-j)p_1+(j-k)p_2=0.\end{array}$$

这仅当 $i=j=k$ 时得到满足。因此，我们发现

$$Z_1(K)=\{i\{(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)\}|i\in \mathbb{Z}\}.$$

这表明 $Z_1(K)$ 同构于 $\mathbb{Z}$，并且

$$H_1(K)=Z_1(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.37)}$$

让我们计算 $H_0(K)$。我们有 $Z_0(K)=C_0(K)$，并且

$$\begin{array}{l}{B}_0(K)=\left\{{\partial }_1\left[l\left(p_0{p}_1\right)+m\left(p_1{p}_2\right)+n\left(p_2{p}_0\right)\right]|l,m,n\in \mathbb{Z}\right\}\\ =\{(n-l)p_0+(l-m)p_1+(m-n)p_2\mid l,m,n\in \mathbb{Z}\}.\end{array}$$

定义一个满同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$，由

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• 2-simplexes → 2-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• surjective homomorphism → 满同态 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

使用前文：三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This is a triangulation of $S^1$

后文使用：三角剖分球面的 $H_1$。

后文使用：完整回路同调于 $z$ 的倍数。

后文使用：莫比乌斯带三角剖分的 $H_1$。

圆周三角剖分的 $H_0$

推导 · 对于 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0)\}$，$Z_0(K)=C_0(K)$，$B_0(K)$ 由 ${\partial }_1$ 的像给出；定义满同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为 $f(i{p}_0+j{p}_1+k{p}_2)=i+j+k$，验证 $\ker f=B_0(K)$；由定理 3.1 得 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，故 $H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let us compute  $H_0(K)$ . We have  $Z_0(K) = C_0(K)$  and

Define a surjective homomorphism  $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$  by

From theorem 3.1 we find  $Z_0(K) / \ker f \cong \operatorname{im} f = \mathbb{Z}$ , or

PDF 文件页：128；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0230；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

这仅当 $i=j=k$ 时得到满足。因此，我们发现

$$Z_1(K)=\{i\{(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)\}|i\in \mathbb{Z}\}.$$

这表明 $Z_1(K)$ 同构于 $\mathbb{Z}$，并且

$$H_1(K)=Z_1(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.37)}$$

让我们计算 $H_0(K)$。我们有 $Z_0(K)=C_0(K)$，并且

$$\begin{array}{l}{B}_0(K)=\left\{{\partial }_1\left[l\left(p_0{p}_1\right)+m\left(p_1{p}_2\right)+n\left(p_2{p}_0\right)\right]|l,m,n\in \mathbb{Z}\right\}\\ =\{(n-l)p_0+(l-m)p_1+(m-n)p_2\mid l,m,n\in \mathbb{Z}\}.\end{array}$$

定义一个满同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$，由

$$f(i{p}_0+j{p}_1+k{p}_2)=i+j+k.$$

我们验证

$$\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K).$$

由定理 3.1 我们得到 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，或

$$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.38)}$$

$K$ 是圆周 $S^1$ 的一个三角剖分，而 (3.37) 和 (3.38) 是 $S^1$ 的同调群。

术语选择

• surjective homomorphism → 满同态 · 本章新定（临时）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d） · 来自同一单元
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元

使用前文：同态基本定理。模型判断为回指，按原文编号定位（theorem 3.1）；原文：From theorem 3.1 we find $Z_0(K) / \ker f \cong \operatorname{im} f = \mathbb{Z}$ , or

后文使用：三角剖分球面的 $H_1$。

圆周的三角剖分

回指 · $K$ 是圆周 $S^1$ 的一个三角剖分，且 (3.37) 和 (3.38) 是 $S^1$ 的同调群。

概念：可三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$K$  is a triangulation of a circle  $S^1$ , and (3.37) and (3.38) are the homology groups of  $S^1$ .

PDF 文件页：128；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0230；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

我们验证

$$\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K).$$

由定理 3.1 我们得到 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，或

$$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.38)}$$

$K$ 是圆周 $S^1$ 的一个三角剖分，而 (3.37) 和 (3.38) 是 $S^1$ 的同调群。

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）

正方形多面体的单纯复形

回指 · 设 $K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_3),(p_3{p}_0)\}$ 是一个多面体为正方形的单纯复形。

概念：单纯复形

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $K = \{p_0, p_1, p_2, p_3, (p_0p_1), (p_1p_2), (p_2p_3), (p_3p_0)\}$  be a simplicial complex whose polyhedron is a square.

PDF 文件页：128；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0230；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

练习 3.2。设 $K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_3),(p_3{p}_0)\}$ 是一个多面体为正方形的单纯复形。验证其同调群与上面例 3.8 的同调群相同。

术语选择

• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3）
• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）

使用前文：单纯复形。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：Let $K = \{p_0, p_1, p_2, p_3, (p_0p_1), (p_1p_2), (p_2p_3), (p_3p_0)\}$ be a simplicial complex whose polyhedron is a square.

后文使用：四面体表面的单纯复形。

三角剖分球面的 $H_1$

推导 · 对于 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0),(p_0{p}_1{p}_2)\}$，由前面的例子有 $Z_1(K)=\{i\{(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)\}\mid i\in \mathbb{Z}\}$；设 $c=m(p_0{p}_1{p}_2)\in C_2(K)$，若 $b={\partial }_{2}c\in B_1(K)$，则 $b=m\{(p_1{p}_2)-(p_0{p}_2)+(p_0{p}_1)\}=m\{(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)\}$，$m\in \mathbb{Z}$；这表明 $Z_1(K)\cong B_1(K)$，因此 $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)\cong \{0\}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let us compute  $H_{1}(K) = Z_{1}(K) / B_{1}(K)$ . From the previous example, we have

Let  $c = m(p_0p_1p_2)\in C_2(K)$  . If  $b = \partial_{2}c\in B_{1}(K)$  , we have

This shows that  $Z_{1}(K)\cong B_{1}(K)$  , hence

PDF 文件页：128；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0242；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

例 3.9。设 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0),(p_0{p}_1{p}_2)\}$；见图 3.6(b)。由于 0-单形和 1-单形的结构与例 3.8 的相同，我们有

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.39)}$$

让我们计算 $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)$。由前面的例子，我们有

$$Z_1(K)=\{i\{(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)\}|i\in \mathbb{Z}\}.$$

设 $c=m(p_0{p}_1{p}_2)\in C_2(K)$。若 $b={\partial }_{2}c\in B_1(K)$，我们有

$$\begin{array}{l}b=m\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ =m\left\{\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_2\right)+\left(p_2{p}_0\right)\right\}m\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

这表明 $Z_1(K)\cong B_1(K)$，因此

$$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.40)}$$

由于 $K$ 中没有 3-单形，我们有 $B_2(K)=\{0\}$。于是 $H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)=Z_2(K)$。设 $z=m(p_0{p}_1{p}_2)\in Z_2(K)$。由于 ${\partial }_{2}z=m\{(p_1{p}_2)-(p_0{p}_2)+(p_0{p}_1)\}=0$，$m$ 必须为零。因此，$Z_1(K)=\{0\}$，并且我们有

$$H_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.41)}$$

习题 3.3。设

术语选择

• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

使用前文：圆周三角剖分的 $H_0$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Let us compute $H_{1}(K) = Z_{1}(K) / B_{1}(K)$ . From the previous example, we have

使用前文：圆周三角剖分的 $H_1$。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：From the previous example, we have

使用前文：定向 2-单形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Let $c = m(p_0p_1p_2)\in C_2(K)$

三角剖分球面的 $H_2$

推导 · 对于 $K=\{p_0,p_1,p_2,(p_0{p}_1),(p_1{p}_2),(p_2{p}_0),(p_0{p}_1{p}_2)\}$，由于 $K$ 中没有 3-单形，$B_2(K)=\{0\}$，于是 $H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)=Z_2(K)$；设 $z=m(p_0{p}_1{p}_2)\in Z_2(K)$，由 ${\partial }_{2}z=m\{(p_1{p}_2)-(p_0{p}_2)+(p_0{p}_1)\}=0$ 推出 $m$ 必须为零，因此 $Z_2(K)=\{0\}$，从而 $H_2(K)\cong \{0\}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since there are no 3-simplexes in  $K$ , we have  $B_{2}(K) = \{0\}$ . Then  $H_{2}(K) = Z_{2}(K) / B_{2}(K) = Z_{2}(K)$ . Let  $z = m(p_{0}p_{1}p_{2}) \in Z_{2}(K)$ . Since  $\partial_{2}z = m\{(p_{1}p_{2}) - (p_{0}p_{2}) + (p_{0}p_{1})\} = 0$ ,  $m$  must vanish. Hence,  $Z_{1}(K) = \{0\}$  and we have

PDF 文件页：128；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0242；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

设 $c=m(p_0{p}_1{p}_2)\in C_2(K)$。若 $b={\partial }_{2}c\in B_1(K)$，我们有

$$\begin{array}{l}b=m\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ =m\left\{\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_2\right)+\left(p_2{p}_0\right)\right\}m\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

这表明 $Z_1(K)\cong B_1(K)$，因此

$$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.40)}$$

由于 $K$ 中没有 3-单形，我们有 $B_2(K)=\{0\}$。于是 $H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)=Z_2(K)$。设 $z=m(p_0{p}_1{p}_2)\in Z_2(K)$。由于 ${\partial }_{2}z=m\{(p_1{p}_2)-(p_0{p}_2)+(p_0{p}_1)\}=0$，$m$ 必须为零。因此，$Z_1(K)=\{0\}$，并且我们有

$$H_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.41)}$$

习题 3.3。设

$$\begin{array}{l}K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,\left(p_0{p}_1\right),\left(p_0{p}_2\right),\left(p_0{p}_3\right),\left(p_1{p}_2\right),\left(p_1{p}_3\right),\left(p_2{p}_3\right),\\ (p_0{p}_1{p}_2),(p_0{p}_1{p}_3),(p_0{p}_2{p}_3),(p_1{p}_2{p}_3)\}\end{array}$$

是一个单纯复形，其多面体为四面体的表面。验证

术语选择

• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b） · 来自同一单元
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3） · 来自同一单元

后文使用：连通单纯复形的 $H_0$。

四面体表面的单纯复形

回指 · 设 $K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,(p_0{p}_1),(p_0{p}_2),(p_0{p}_3),(p_1{p}_2),(p_1{p}_3),(p_2{p}_3),(p_0{p}_1{p}_2),(p_0{p}_1{p}_3),(p_0{p}_2{p}_3),(p_1{p}_2{p}_3)\}$ 是一个单纯复形，其多面体为四面体的表面。

概念：单纯复形

原文（OCR，未逐页核实）

Exercise 3.3. Let

be a simplicial complex whose polyhedron is the surface of a tetrahedron. Verify that

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0250；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

这表明 $Z_1(K)\cong B_1(K)$，因此

$$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.40)}$$

由于 $K$ 中没有 3-单形，我们有 $B_2(K)=\{0\}$。于是 $H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)=Z_2(K)$。设 $z=m(p_0{p}_1{p}_2)\in Z_2(K)$。由于 ${\partial }_{2}z=m\{(p_1{p}_2)-(p_0{p}_2)+(p_0{p}_1)\}=0$，$m$ 必须为零。因此，$Z_1(K)=\{0\}$，并且我们有

$$H_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.41)}$$

习题 3.3。设

$$\begin{array}{l}K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,\left(p_0{p}_1\right),\left(p_0{p}_2\right),\left(p_0{p}_3\right),\left(p_1{p}_2\right),\left(p_1{p}_3\right),\left(p_2{p}_3\right),\\ (p_0{p}_1{p}_2),(p_0{p}_1{p}_3),(p_0{p}_2{p}_3),(p_1{p}_2{p}_3)\}\end{array}$$

是一个单纯复形，其多面体为四面体的表面。验证

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}{H}_1(K)\cong \{0\}{H}_2(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.42)}$$

$K$ 是球面 $S^2$ 的一个三角剖分，且 (3.42) 给出 $S^2$ 的同调群。

术语选择

• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d） · 来自同一单元
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3）

使用前文：正方形多面体的单纯复形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Exercise 3.3. Let / be a simplicial complex whose polyhedron is the surface of a tetrahedron. Verify that

球面的三角剖分

回指 · $K$ 是球面 $S^2$ 的一个三角剖分，且 (3.42) 给出 $S^2$ 的同调群。

概念：可三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$K$  is a triangulation of the sphere  $S^2$  and (3.42) gives the homology groups of  $S^2$ .

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0250；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

习题 3.3。设

$$\begin{array}{l}K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,\left(p_0{p}_1\right),\left(p_0{p}_2\right),\left(p_0{p}_3\right),\left(p_1{p}_2\right),\left(p_1{p}_3\right),\left(p_2{p}_3\right),\\ (p_0{p}_1{p}_2),(p_0{p}_1{p}_3),(p_0{p}_2{p}_3),(p_1{p}_2{p}_3)\}\end{array}$$

是一个单纯复形，其多面体为四面体的表面。验证

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}{H}_1(K)\cong \{0\}{H}_2(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.42)}$$

$K$ 是球面 $S^2$ 的一个三角剖分，且 (3.42) 给出 $S^2$ 的同调群。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b） · 来自同一单元
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3） · 来自同一单元

后文使用：欧拉示性数。

后文使用：贝蒂数。

后文使用：三角剖分。

连通单纯复形的 $H_0$

推导 · 设 $K$ 是一个连通的单纯复形，则 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.5. Let  $K$  be a connected simplicial complex. Then

H _ {0} (K) \cong \mathbb {Z}. \tag {3.43}

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0250；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

定理 3.5。设 $K$ 是一个连通的单纯复形。则

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.43)}$$

证明。由于 $K$ 连通，对任意一对 0-单形 $p_i$ 和 $p_j$，存在一列 1-单形 $(p_i{p}_k),(p_k{p}_l),\dots ,(p_m{p}_j)$，使得 ${\partial }_1((p_i{p}_k)+(p_k{p}_l)+\cdots +(p_m{p}_j))=p_j-p_i$。于是可知 $p_i$ 与 $p_j$ 同调，即 $[p_i]=[p_j]$。因此，$K$ 中任意 0-单形都与 $p_1$ 同调，比如说。假设

$$z=\sum _{i=1}^{I_0}{n}_i{p}_i\in Z_0(K)$$

其中 $I_0$ 是 $K$ 中 0-单形的个数。则同调类 $[z]$ 由单个点生成，

$$[z]=\left[\sum _i{n}_i{p}_i\right]=\sum _i{n}_i[p_i]=\sum _i{n}_i[p_1].$$

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 本章新定（临时）
• homology class → 同调类 · 帧条目：同调类（term:7246ffbab6d248231319） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

使用前文：三角剖分球面的 $H_2$。模型判断为细化，按最近的同概念前文推断；原文：Theorem 3.5. Let $K$ be a connected simplicial complex. Then / H _ {0} (K) \cong \mathbb {Z}. \tag {3.43}

后文使用：连通单纯复形的 $H_0$。

同调类由单个点生成

推导 · 同调类 $[z]$ 由单个点生成，$[z]={\sum }_i{n}_i[p_1]$。

概念：同调类由单个点生成（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Then the homology class  $[z]$  is generated by a single point,

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0261；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）。

定理 3.5。设 $K$ 是一个连通的单纯复形。则

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.43)}$$

证明。由于 $K$ 连通，对任意一对 0-单形 $p_i$ 和 $p_j$，存在一列 1-单形 $(p_i{p}_k),(p_k{p}_l),\dots ,(p_m{p}_j)$，使得 ${\partial }_1((p_i{p}_k)+(p_k{p}_l)+\cdots +(p_m{p}_j))=p_j-p_i$。于是可知 $p_i$ 与 $p_j$ 同调，即 $[p_i]=[p_j]$。因此，$K$ 中任意 0-单形都与 $p_1$ 同调，比如说。假设

$$z=\sum _{i=1}^{I_0}{n}_i{p}_i\in Z_0(K)$$

其中 $I_0$ 是 $K$ 中 0-单形的个数。则同调类 $[z]$ 由单个点生成，

$$[z]=\left[\sum _i{n}_i{p}_i\right]=\sum _i{n}_i[p_i]=\sum _i{n}_i[p_1].$$

显然，若 $\sum n_i=0$，则 $[z]=0$，即 $z\in B_0(K)$。

术语选择

• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b） · 来自同一单元
• simplex → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• homology class → 同调类 · 帧条目：同调类（term:7246ffbab6d248231319）
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）

$B_0(K)$ 中系数成对出现

推导 · $n_j$（$1\le j\le I_1$）在 $B_0(K)$ 的元素中总是以 $+n_j$ 和 $-n_j$ 成对出现。

概念：$B_0(K)$ 中系数成对出现（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Note that  $n_j$  ( $1 \leq j \leq I_1$ ) always appears as a pair  $+n_j$  and  $-n_j$  in an element of  $B_0(K)$ .

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0261；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 ${\sigma }_j=(p_{j,1}{p}_{j,2})$（$1\le j\le I_1$）是 $K$ 中的 1-单形，$I_1$ 是 $K$ 中 1-单形的个数，则

$$\begin{array}{l}{B}_0(K)=\mathrm{im}{\partial }_1\\ =\left\{{\partial }_1\left(n_1{\sigma }_1+\cdots +n_{I_1}{\sigma }_{I_1}\right)|n_1,\dots ,n_{I_1}\in \mathbb{Z}\right\}\\ =\left\{n_1\left(p_{1,2}-p_{1,1}\right)+\cdots +n_{I_1}\left(p_{I_1,2}-p_{I_1,1}\right)\mid n_1,\dots ,n_{I_1}\in \mathbb{Z}\right\}.\end{array}$$

注意 $n_j$（$1\le j\le I_1$）在 $B_0(K)$ 的元素中总是以 $+n_j$ 和 $-n_j$ 成对出现。因此，若

$$z=\sum _j{n}_j{p}_j\in B_0(K)\text{t h e n}\sum _j{n}_j=0.$$

现在我们已经证明，对于连通复形 $K$，$z=\sum n_i{p}_i\in B_0(K)$ 当且仅当 $\sum n_i=0$。

术语选择

• connected → 连通 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

连通单纯复形的 $H_0$

推导 · 对于连通复形 $K$，$z=\sum n_i{p}_i\in B_0(K)$ 当且仅当 $\sum n_i=0$；由此定义满同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$，$f(n_1{p}_1+\cdots +n_{I_0}{p}_{I_0})={\sum }_{i=1}^{I_0}{n}_i$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now we have proved for a connected complex  $K$  that  $z = \sum n_i p_i \in B_0(K)$  if and only if  $\sum n_i = 0$ .

Define a surjective homomorphism  $f: Z_0(K) \to \mathbb{Z}$  by

PDF 文件页：130；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0261；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）。

设 ${\sigma }_j=(p_{j,1}{p}_{j,2})$（$1\le j\le I_1$）是 $K$ 中的 1-单形，$I_1$ 是 $K$ 中 1-单形的个数，则

$$\begin{array}{l}{B}_0(K)=\mathrm{im}{\partial }_1\\ =\left\{{\partial }_1\left(n_1{\sigma }_1+\cdots +n_{I_1}{\sigma }_{I_1}\right)|n_1,\dots ,n_{I_1}\in \mathbb{Z}\right\}\\ =\left\{n_1\left(p_{1,2}-p_{1,1}\right)+\cdots +n_{I_1}\left(p_{I_1,2}-p_{I_1,1}\right)\mid n_1,\dots ,n_{I_1}\in \mathbb{Z}\right\}.\end{array}$$

注意 $n_j$（$1\le j\le I_1$）在 $B_0(K)$ 的元素中总是以 $+n_j$ 和 $-n_j$ 成对出现。因此，若

$$z=\sum _j{n}_j{p}_j\in B_0(K)\text{t h e n}\sum _j{n}_j=0.$$

现在我们已经证明，对于连通复形 $K$，$z=\sum n_i{p}_i\in B_0(K)$ 当且仅当 $\sum n_i=0$。

定义满同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

$$f\left(n_1{p}_1+\cdots +n_{I_0}{p}_{I_0}\right)=\sum _{i=1}^{I_0}{n}_i.$$

于是我们有 $\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K)$。由定理 3.1 可得 $H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)=Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$。

术语选择

• surjective homomorphism → 满同态 · 帧条目：满同态（term:18e72e43b7ab79616fa0）
• connected → 连通 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af）
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

使用前文：连通单纯复形的 $H_0$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Now we have proved for a connected complex $K$ that $z = \sum n_i p_i \in B_0(K)$ if and only if $\sum n_i = 0$ .

使用前文：链复形。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Define a surjective homomorphism $f: Z_0(K) \to \mathbb{Z}$ by

核

回指 · $\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K)$。

概念：核（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$\ker f = f^{-1}(0) = B_0(K)$

PDF 文件页：130；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0273；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义满同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

$$f\left(n_1{p}_1+\cdots +n_{I_0}{p}_{I_0}\right)=\sum _{i=1}^{I_0}{n}_i.$$

于是我们有 $\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K)$。由定理 3.1 可得 $H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)=Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$。

术语选择

• surjective homomorphism → 满同态 · 帧条目：满同态（term:18e72e43b7ab79616fa0） · 来自同一单元

使用前文：核。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$\ker f = f^{-1}(0) = B_0(K)$

连通单纯复形的 $H_0$

推导 · 由定理 3.1 可得 $H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)=Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

It follows from theorem 3.1 that  $H_0(K) = Z_0(K) / B_0(K) = Z_0(K) / \ker f \cong \operatorname{im} f = \mathbb{Z}$

PDF 文件页：130；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0273；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义满同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

$$f\left(n_1{p}_1+\cdots +n_{I_0}{p}_{I_0}\right)=\sum _{i=1}^{I_0}{n}_i.$$

于是我们有 $\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K)$。由定理 3.1 可得 $H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)=Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$。

术语选择

• surjective homomorphism → 满同态 · 帧条目：满同态（term:18e72e43b7ab79616fa0） · 来自同一单元

使用前文：核。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$\ker f = f^{-1}(0) = B_0(K)$

后文使用：莫比乌斯带三角剖分的 $H_2$。

$Z_2(K)$ 为零

推导 · 在莫比乌斯带的三角剖分中，${\partial }_{2}z=0$ 迫使所有系数为零，因此 $Z_2(K)=\{0\}$。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

all the coefficients must vanish,  $i = j = k = l = m = n =$

Thus,  $Z_{2}(K) = \{0\}$  and

PDF 文件页：130, 131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0274；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：标题边界（heading）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

例 3.10。本例题与下一例题讨论不可定向空间的同调群。图 3.8 是莫比乌斯带的三角剖分。显然 $B_2(K)=0$。让我们取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=i\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+j\left(p_2{p}_1{p}_4\right)+k\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +l\left(p_3{p}_4{p}_5\right)+m\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+n\left(p_1{p}_5{p}_0\right).\end{array}$$

$z$ 满足

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=i\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +j\left\{\left(p_1{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +k\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +l\left\{\left(p_4{p}_5\right)-\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_3{p}_4\right)\right\}\\ +m\left\{\left(p_5{p}_1\right)-\left(p_3{p}_1\right)+\left(p_3{p}_5\right)\right\}\\ +n\left\{\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_1{p}_0\right)+\left(p_1{p}_5\right)\right\}=0.\end{array}$$

由于 $(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_4)$、$(p_2{p}_3)$、$(p_4{p}_5)$、$(p_3{p}_1)$ 和 $(p_5{p}_0)$ 中的每一个在 ${\partial }_{2}z$ 中都出现一次且仅出现一次，所有系数都必须为零，$i=j=k=l=m=n=$0。因此，$Z_2(K)=\{0\}$ 且

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.44)}$$

为了求 $H_1(K)$，我们凭借直觉而不是进行繁琐的计算。让我们找出构成完整回路的环路。一个这样的环路是

$$z=\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right).$$

那么所有其他完整回路都与 $z$ 的倍数同调。例如，让我们取

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d） · 来自同一单元
• coefficients → 系数 · 帧条目：系数（term:7c22d8e50f758ebedd29）
• loop → 环路 · 帧条目：环路（term:eb09de30462ffe0e882b） · 来自同一单元
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• complete circuits → 完整回路 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

后文使用：莫比乌斯带三角剖分的 $H_2$。

后文使用：射影平面三角剖分的 $H_2$。

后文使用：$Z_2(K)$ 为零。

莫比乌斯带三角剖分的 $H_2$

推导 · 对于图 3.8 中莫比乌斯带的三角剖分 $K$，$B_2(K)=0$；取任意闭链 $z\in Z_2(K)$，由 ${\partial }_{2}z=0$ 推出所有系数为零，故 $Z_2(K)=\{0\}$，从而 $H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Clearly  $B_{2}(K) = 0$ .

Thus,  $Z_{2}(K) = \{0\}$  and

H _ {2} (K) = Z _ {2} (K) / B _ {2} (K) \cong \{0 \}. \tag {3.44}

PDF 文件页：130, 131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0274；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

例 3.10。本例题与下一例题讨论不可定向空间的同调群。图 3.8 是莫比乌斯带的三角剖分。显然 $B_2(K)=0$。让我们取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=i\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+j\left(p_2{p}_1{p}_4\right)+k\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +l\left(p_3{p}_4{p}_5\right)+m\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+n\left(p_1{p}_5{p}_0\right).\end{array}$$

$z$ 满足

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=i\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +j\left\{\left(p_1{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +k\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +l\left\{\left(p_4{p}_5\right)-\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_3{p}_4\right)\right\}\\ +m\left\{\left(p_5{p}_1\right)-\left(p_3{p}_1\right)+\left(p_3{p}_5\right)\right\}\\ +n\left\{\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_1{p}_0\right)+\left(p_1{p}_5\right)\right\}=0.\end{array}$$

由于 $(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_4)$、$(p_2{p}_3)$、$(p_4{p}_5)$、$(p_3{p}_1)$ 和 $(p_5{p}_0)$ 中的每一个在 ${\partial }_{2}z$ 中都出现一次且仅出现一次，所有系数都必须为零，$i=j=k=l=m=n=$0。因此，$Z_2(K)=\{0\}$ 且

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.44)}$$

为了求 $H_1(K)$，我们凭借直觉而不是进行繁琐的计算。让我们找出构成完整回路的环路。一个这样的环路是

$$z=\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right).$$

那么所有其他完整回路都与 $z$ 的倍数同调。例如，让我们取

$$z^{\prime }=\left(p_1{p}_2\right)+\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_1\right).$$

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• coefficients → 系数 · 帧条目：系数（term:7c22d8e50f758ebedd29） · 来自同一单元
• loop → 环路 · 帧条目：环路（term:eb09de30462ffe0e882b） · 来自同一单元
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c）
• complete circuits → 完整回路 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

使用前文：连通单纯复形的 $H_0$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：H _ {2} (K) = Z _ {2} (K) / B _ {2} (K) \cong \{0 \}. \tag {3.44}

使用前文：$Z_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Let us take a cycle $z \in Z_{2}(K)$ ,

后文使用：射影平面三角剖分的 $H_2$。

后文使用：$Z_2(K)$ 为零。

完整回路同调于 $z$ 的倍数

推导 · 在莫比乌斯带的三角剖分中，所有其他完整回路都与 $z$ 的倍数同调。

概念：完整回路同调于 $z$ 的倍数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Then all the other complete circuits are homologous to multiples of  $z$ .

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0274；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

0。因此，$Z_2(K)=\{0\}$ 且

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.44)}$$

为了求 $H_1(K)$，我们凭借直觉而不是进行繁琐的计算。让我们找出构成完整回路的环路。一个这样的环路是

$$z=\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right).$$

那么所有其他完整回路都与 $z$ 的倍数同调。例如，让我们取

$$z^{\prime }=\left(p_1{p}_2\right)+\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_1\right).$$

我们发现 $z\sim z^{\prime }$，因为

$$z-z^{\prime }={\partial }_2\left\{\left(p_2{p}_1{p}_4\right)+\left(p_2{p}_4{p}_3\right)+\left(p_3{p}_4{p}_5\right)+\left(p_1{p}_5{p}_0\right)\right\}.$$

然而，如果我们取

术语选择

• loop → 环路 · 帧条目：环路（term:eb09de30462ffe0e882b） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• complete circuits → 完整回路 · 本章新定（临时）

后文使用：完整回路同调于 $z$ 的倍数。

后文使用：莫比乌斯带三角剖分的 $H_1$。

莫比乌斯带三角剖分的 $H_1$

推导 · 对于莫比乌斯带的三角剖分 $K$，$H_1(K)$ 仅由一个元素 $[z]$ 生成，且 $H_1(K)=\{i[z]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}$。

概念：圆周三角剖分的 $H_1$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$H_{1}(K)$  is generated by just one element  $[z]$ ,

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0286；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

然而，如果我们取

$$z^{\prime \prime }=\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)+\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_3{p}_1\right)$$

我们发现 $z^{\prime \prime }\sim 2z$，因为

$$\begin{array}{l}2z-z^{\prime \prime }=2\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_0{p}_2\right)\\ -\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_3{p}_1\right)\\ ={\partial }_2\{\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+\left(p_1{p}_4{p}_2\right)+\left(p_2{p}_4{p}_3\right)+\left(p_3{p}_4{p}_5\right)\\ +\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+\left(p_0{p}_1{p}_5\right)\}.\end{array}$$

我们容易验证，所有闭回路都同调于 $nz$，$n\in \mathbb{Z}$。$H_1(K)$ 仅由一个元素 $[z]$ 生成，

$$H_1(K)=\{i[z]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.45)}$$

由于 $K$ 是连通的，由定理 3.5 可知 $H_0(K)=\{i[p_a]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}$，其中 $p_a$ 是 $K$ 的任意 0-单形。

术语选择

• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元
• 0-simplex → 0-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• closed circuits → 闭回路：译名选择未通过检查；帧条目：闭的（lib:8da45318-5944-4aa7-afd5-245f6894ccb2）

使用前文：完整回路同调于 $z$ 的倍数。模型判断为细化，按最近的同概念前文推断；原文：We easily verify that all the closed circuits are homologous to $nz$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

使用前文：圆周三角剖分的 $H_1$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$H_{1}(K)$ is generated by just one element $[z]$ ,

完整回路同调于 $z$ 的倍数

推导 · 在莫比乌斯带的三角剖分中，所有闭回路都同调于 $nz$，其中 $n\in \mathbb{Z}$。

概念：完整回路同调于 $z$ 的倍数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We easily verify that all the closed circuits are homologous to  $nz$ ,  $n \in \mathbb{Z}$ .

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0286；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

然而，如果我们取

$$z^{\prime \prime }=\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)+\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_3{p}_1\right)$$

我们发现 $z^{\prime \prime }\sim 2z$，因为

$$\begin{array}{l}2z-z^{\prime \prime }=2\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_0{p}_2\right)\\ -\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_3{p}_1\right)\\ ={\partial }_2\{\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+\left(p_1{p}_4{p}_2\right)+\left(p_2{p}_4{p}_3\right)+\left(p_3{p}_4{p}_5\right)\\ +\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+\left(p_0{p}_1{p}_5\right)\}.\end{array}$$

我们容易验证，所有闭回路都同调于 $nz$，$n\in \mathbb{Z}$。$H_1(K)$ 仅由一个元素 $[z]$ 生成，

$$H_1(K)=\{i[z]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.45)}$$

由于 $K$ 是连通的，由定理 3.5 可知 $H_0(K)=\{i[p_a]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}$，其中 $p_a$ 是 $K$ 的任意 0-单形。

术语选择

• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元
• 0-simplex → 0-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• closed circuits → 闭回路：译名选择未通过检查；帧条目：闭的（lib:8da45318-5944-4aa7-afd5-245f6894ccb2）

使用前文：完整回路同调于 $z$ 的倍数。模型判断为细化，按最近的同概念前文推断；原文：We easily verify that all the closed circuits are homologous to $nz$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

使用前文：圆周三角剖分的 $H_1$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$H_{1}(K)$ is generated by just one element $[z]$ ,

连通复形的 $H_0$

推导 · 若 $K$ 是连通的，则由定理 3.5 可得 $H_0(K)=\{i[p_a]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}$，其中 $p_a$ 是 $K$ 的任意 0-单形。

概念：连通复形的 $H_0$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $K$  is connected, it follows from theorem 3.5 that  $H_0(K) = \{i[p_a] | i \in \mathbb{Z}\} \cong \mathbb{Z}$ ,  $p_a$  being any 0-simplex of  $K$ .

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0286；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

我们发现 $z^{\prime \prime }\sim 2z$，因为

$$\begin{array}{l}2z-z^{\prime \prime }=2\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_0{p}_2\right)\\ -\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_3{p}_1\right)\\ ={\partial }_2\{\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+\left(p_1{p}_4{p}_2\right)+\left(p_2{p}_4{p}_3\right)+\left(p_3{p}_4{p}_5\right)\\ +\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+\left(p_0{p}_1{p}_5\right)\}.\end{array}$$

我们容易验证，所有闭回路都同调于 $nz$，$n\in \mathbb{Z}$。$H_1(K)$ 仅由一个元素 $[z]$ 生成，

$$H_1(K)=\{i[z]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.45)}$$

由于 $K$ 是连通的，由定理 3.5 可知 $H_0(K)=\{i[p_a]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}$，其中 $p_a$ 是 $K$ 的任意 0-单形。

术语选择

• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af）
• 0-simplex → 0-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• closed circuits → 闭回路：译名选择未通过检查；帧条目：闭的（lib:8da45318-5944-4aa7-afd5-245f6894ccb2）

后文使用：连通复形的 $H_0$。

$B_2(K)$ 为零

回指 · 对于射影平面的三角剖分 $K$，$B_2(K)=\{0\}$。

概念：$r$-边缘群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Clearly  $B_2(K) = \{0\}$ .

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0295；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

例 3.11。射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ 已在例 2.5(c) 中定义为将对径点等同起来的球面 $S^2$。作为陪集空间，我们可以取半球面（或圆盘 $D^2$），其边界 $S^1$ 上的对径点被等同起来，见图 2.5(b)。图 3.9 是射影平面的一个三角剖分。显然 $B_2(K)=\{0\}$。取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=m_1\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+m_2\left(p_0{p}_4{p}_1\right)+m_3\left(p_0{p}_5{p}_4\right)\\ +m_4\left(p_0{p}_3{p}_5\right)+m_5\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+m_6\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +m_7\left(p_2{p}_5{p}_4\right)+m_8\left(p_2{p}_1{p}_5\right)+m_9\left(p_1{p}_3{p}_5\right)+m_{10}\left(p_1{p}_4{p}_3\right).\end{array}$$

$z$ 的边界是

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=m_1\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +m_2\left\{\left(p_4{p}_1\right)-\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_0{p}_4\right)\right\}\\ +m_3\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_0{p}_4\right)+\left(p_0{p}_5\right)\right\}\\ +m_4\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_0{p}_5\right)+\left(p_0{p}_3\right)\right\}\\ +m_5\left\{\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_3\right)+\left(p_0{p}_2\right)\right\}\\ +m_6\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +m_7\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_5\right)\right\}\\ +m_8\left\{\left(p_1{p}_5\right)-\left(p_2{p}_5\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +m_9\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_1{p}_5\right)+\left(p_1{p}_3\right)\right\}\\ +m_{10}\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_1{p}_3\right)+\left(p_1{p}_4\right)\right\}=0.\end{array}$$

让我们看每个 1-单形的系数。例如，我们有 $(m_1-m_2)(p_0{p}_1)$，因此 $m_1-m_2=0$。类似地，

术语选择

• projective plane → 射影平面 · 本章新定（临时）
• antipodal points → 对径点 · 本章新定（临时）
• coset space → 陪集空间 · 帧条目：陪集（lib:a62c9f7e-718e-4a9b-8f98-17ec505fd6e9）
• hemisphere → 半球面 · 本章新定（临时）
• disc → 圆盘 · 本章新定（临时）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• 1-simplex → 1-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元

使用前文：$r$-边缘群。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：Clearly $B_2(K) = \{0\}$ .

后文使用：射影平面三角剖分的 $H_2$。

后文使用：$r$-闭链群。

后文使用：同调群。

射影平面三角剖分的 $H_2$

推导 · 对于射影平面的三角剖分 $K$，$B_2(K)=\{0\}$；取任意闭链 $z\in Z_2(K)$，由 ${\partial }_{2}z=0$ 推出所有系数为零，故 $Z_2(K)$ 是平凡的，从而 $H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Clearly  $B_2(K) = \{0\}$ .

This means that the cycle group  $Z_2(K)$  is trivial and we have

PDF 文件页：131, 133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0295；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

例 3.11。射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ 已在例 2.5(c) 中定义为将对径点等同起来的球面 $S^2$。作为陪集空间，我们可以取半球面（或圆盘 $D^2$），其边界 $S^1$ 上的对径点被等同起来，见图 2.5(b)。图 3.9 是射影平面的一个三角剖分。显然 $B_2(K)=\{0\}$。取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=m_1\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+m_2\left(p_0{p}_4{p}_1\right)+m_3\left(p_0{p}_5{p}_4\right)\\ +m_4\left(p_0{p}_3{p}_5\right)+m_5\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+m_6\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +m_7\left(p_2{p}_5{p}_4\right)+m_8\left(p_2{p}_1{p}_5\right)+m_9\left(p_1{p}_3{p}_5\right)+m_{10}\left(p_1{p}_4{p}_3\right).\end{array}$$

$z$ 的边界是

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=m_1\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +m_2\left\{\left(p_4{p}_1\right)-\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_0{p}_4\right)\right\}\\ +m_3\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_0{p}_4\right)+\left(p_0{p}_5\right)\right\}\\ +m_4\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_0{p}_5\right)+\left(p_0{p}_3\right)\right\}\\ +m_5\left\{\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_3\right)+\left(p_0{p}_2\right)\right\}\\ +m_6\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +m_7\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_5\right)\right\}\\ +m_8\left\{\left(p_1{p}_5\right)-\left(p_2{p}_5\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +m_9\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_1{p}_5\right)+\left(p_1{p}_3\right)\right\}\\ +m_{10}\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_1{p}_3\right)+\left(p_1{p}_4\right)\right\}=0.\end{array}$$

让我们看每个 1-单形的系数。例如，我们有 $(m_1-m_2)(p_0{p}_1)$，因此 $m_1-m_2=0$。类似地，

$$\begin{array}{l}-m_1+m_5=0,m_4-m_5=0,m_2-m_3=0,m_1-m_8=0,\\ m_9-m_{10}=0,-m_2+m_{10}=0,m_5-m_6=0,m_6-m_7=0,\\ m_6+m_{10}=0.\end{array}$$

这十个条件成立当且仅当 $m_i=0$，$1\le i\le 10$。这意味着闭链群 $Z_2(K)$ 是平凡的，并且我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.46)}$$

在计算 $H_1(K)$ 之前，我们从一个稍有不同的角度考察 $H_2(K)$。让我们把 $K$ 中所有 2-单形以相同的系数相加，

$$z\equiv \sum _{i=1}^{10}m{\sigma }_{2,i}m\in \mathbb{Z}.$$

观察到 $K$ 的每个 1-单形恰好是两个 2-单形的公共面。因此，$z$ 的边界是

术语选择

• projective plane → 射影平面 · 本章新定（临时）
• antipodal points → 对径点 · 本章新定（临时）
• coset space → 陪集空间 · 帧条目：陪集（lib:a62c9f7e-718e-4a9b-8f98-17ec505fd6e9）
• hemisphere → 半球面 · 本章新定（临时）
• disc → 圆盘 · 本章新定（临时）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• 1-simplex → 1-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• 2-simplexes → 2-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• cycle group → 闭链群 · 帧条目：闭链群（lib:908f0abd-5194-447e-8401-aca500fcdbf6）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• common face → 公共面：译名选择未通过检查；帧条目：面（lib:83c6cbb2-d720-4dd5-8186-1ceb458dfe53）

使用前文：莫比乌斯带三角剖分的 $H_2$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This means that the cycle group $Z_2(K)$ is trivial and we have

使用前文：$Z_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This means that the cycle group $Z_2(K)$ is trivial

使用前文：$B_2(K)$ 为零。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：Clearly $B_2(K) = \{0\}$ .

后文使用：亏格 $g$ 曲面的第一同调群。

$Z_2(K)$ 为零

推导 · 在射影平面的三角剖分中，${\partial }_{2}z=0$ 迫使所有系数为零，因此 $Z_2(K)$ 是平凡的。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This means that the cycle group  $Z_2(K)$  is trivial

PDF 文件页：133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0295；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

$z$ 的边界是

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=m_1\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +m_2\left\{\left(p_4{p}_1\right)-\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_0{p}_4\right)\right\}\\ +m_3\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_0{p}_4\right)+\left(p_0{p}_5\right)\right\}\\ +m_4\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_0{p}_5\right)+\left(p_0{p}_3\right)\right\}\\ +m_5\left\{\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_3\right)+\left(p_0{p}_2\right)\right\}\\ +m_6\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +m_7\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_5\right)\right\}\\ +m_8\left\{\left(p_1{p}_5\right)-\left(p_2{p}_5\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +m_9\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_1{p}_5\right)+\left(p_1{p}_3\right)\right\}\\ +m_{10}\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_1{p}_3\right)+\left(p_1{p}_4\right)\right\}=0.\end{array}$$

让我们看每个 1-单形的系数。例如，我们有 $(m_1-m_2)(p_0{p}_1)$，因此 $m_1-m_2=0$。类似地，

$$\begin{array}{l}-m_1+m_5=0,m_4-m_5=0,m_2-m_3=0,m_1-m_8=0,\\ m_9-m_{10}=0,-m_2+m_{10}=0,m_5-m_6=0,m_6-m_7=0,\\ m_6+m_{10}=0.\end{array}$$

这十个条件成立当且仅当 $m_i=0$，$1\le i\le 10$。这意味着闭链群 $Z_2(K)$ 是平凡的，并且我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.46)}$$

在计算 $H_1(K)$ 之前，我们从一个稍有不同的角度考察 $H_2(K)$。让我们把 $K$ 中所有 2-单形以相同的系数相加，

$$z\equiv \sum _{i=1}^{10}m{\sigma }_{2,i}m\in \mathbb{Z}.$$

观察到 $K$ 的每个 1-单形恰好是两个 2-单形的公共面。因此，$z$ 的边界是

术语选择

• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• 1-simplex → 1-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• 2-simplexes → 2-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• cycle group → 闭链群 · 帧条目：闭链群（lib:908f0abd-5194-447e-8401-aca500fcdbf6）

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• common face → 公共面：译名选择未通过检查；帧条目：面（lib:83c6cbb2-d720-4dd5-8186-1ceb458dfe53）

使用前文：莫比乌斯带三角剖分的 $H_2$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This means that the cycle group $Z_2(K)$ is trivial and we have

使用前文：$Z_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This means that the cycle group $Z_2(K)$ is trivial

后文使用：$Z_2(K)$ 为零。

$Z_2(K)$ 为零

推导 · 在射影平面的三角剖分中，若 $z\in Z_2(K)$，则 $m$ 必须为零，因此 $Z_2(K)=\{0\}$。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Thus, if  $z \in Z_2(K)$ ,  $m$  must vanish and we find  $Z_2(K) = \{0\}$  as before.

PDF 文件页：133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0307；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：句末边界（sentence-closed）。

在计算 $H_1(K)$ 之前，我们从一个稍有不同的角度考察 $H_2(K)$。让我们把 $K$ 中所有 2-单形以相同的系数相加，

$$z\equiv \sum _{i=1}^{10}m{\sigma }_{2,i}m\in \mathbb{Z}.$$

观察到 $K$ 的每个 1-单形恰好是两个 2-单形的公共面。因此，$z$ 的边界是

$${\partial }_{2}z=2m\left(p_3{p}_5\right)+2m\left(p_5{p}_4\right)+2m\left(p_4{p}_3\right).\text{\hspace{1em}(3.47)}$$

因此，若 $z\in Z_2(K)$，则 $m$ 必须为零，并且我们像之前一样得到 $Z_2(K)=\{0\}$。这一观察显著简化了 $H_1(K)$ 的计算。注意，任何 1-闭链都同调于

$$z=\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_4\right)+\left(p_4{p}_3\right)$$

参见例 3.10。此外，方程 (3.47) 表明 $z$ 的偶数倍是某个 2-链的边界。因此，$z$ 是一个闭链，且 $z+z$ 同调于 0。于是，我们得到

$$H_1(K)=\{[z]|[z]+[z]\sim [0]\}\cong {\mathbb{Z}}_2.\text{\hspace{1em}(3.48)}$$

这个例子表明，同调群不一定是自由阿贝尔群，而可能具有有限生成阿贝尔群的完整结构。由于 $K$ 是连通的，我们有 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

术语选择

• 2-simplexes → 2-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• 1-simplex → 1-单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• 1-cycle → 1-闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c）
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• homology group → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• finitely generated Abelian group → 有限生成阿贝尔群 · 帧条目：阿贝尔群（lib:f7a3ed41-d4ca-42c5-91ea-dfc1a0dc4b7b） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• common face → 公共面：译名选择未通过检查；帧条目：面（lib:83c6cbb2-d720-4dd5-8186-1ceb458dfe53）
• 2-chain → 2-链：译名选择未通过检查；帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07）
• free Abelian → 自由阿贝尔：译名选择未通过检查；帧条目：阿贝尔群（lib:f7a3ed41-d4ca-42c5-91ea-dfc1a0dc4b7b）

使用前文：$Z_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Thus, if $z \in Z_2(K)$ , $m$ must vanish and we find $Z_2(K) = \{0\}$ as before.

后文使用：$Z_2(K)$ 为零。

射影平面的 $H_1$

推导 · 对于射影平面的三角剖分 $K$，$H_1(K)=\{[z]|[z]+[z]\sim [0]\}\cong {\mathbb{Z}}_2$。

概念：射影平面的 $H_1$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

H _ {1} (K) = \{[ z ] | [ z ] + [ z ] \sim [ 0 ] \} \cong \mathbb {Z} _ {2}.

PDF 文件页：133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0307；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

$${\partial }_{2}z=2m\left(p_3{p}_5\right)+2m\left(p_5{p}_4\right)+2m\left(p_4{p}_3\right).\text{\hspace{1em}(3.47)}$$

因此，若 $z\in Z_2(K)$，则 $m$ 必须为零，并且我们像之前一样得到 $Z_2(K)=\{0\}$。这一观察显著简化了 $H_1(K)$ 的计算。注意，任何 1-闭链都同调于

$$z=\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_4\right)+\left(p_4{p}_3\right)$$

参见例 3.10。此外，方程 (3.47) 表明 $z$ 的偶数倍是某个 2-链的边界。因此，$z$ 是一个闭链，且 $z+z$ 同调于 0。于是，我们得到

$$H_1(K)=\{[z]|[z]+[z]\sim [0]\}\cong {\mathbb{Z}}_2.\text{\hspace{1em}(3.48)}$$

这个例子表明，同调群不一定是自由阿贝尔群，而可能具有有限生成阿贝尔群的完整结构。由于 $K$ 是连通的，我们有 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

术语选择

• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• 1-cycle → 1-闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• homology group → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• finitely generated Abelian group → 有限生成阿贝尔群 · 帧条目：阿贝尔群（lib:f7a3ed41-d4ca-42c5-91ea-dfc1a0dc4b7b） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• 2-chain → 2-链：译名选择未通过检查；帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07）
• free Abelian → 自由阿贝尔：译名选择未通过检查；帧条目：阿贝尔群（lib:f7a3ed41-d4ca-42c5-91ea-dfc1a0dc4b7b）

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

连通复形的 $H_0$

推导 · 若 $K$ 是连通的，则 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：连通复形的 $H_0$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $K$  is connected, we have  $H_0(K) \cong \mathbb{Z}$ .

PDF 文件页：133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0307；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

因此，若 $z\in Z_2(K)$，则 $m$ 必须为零，并且我们像之前一样得到 $Z_2(K)=\{0\}$。这一观察显著简化了 $H_1(K)$ 的计算。注意，任何 1-闭链都同调于

$$z=\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_4\right)+\left(p_4{p}_3\right)$$

参见例 3.10。此外，方程 (3.47) 表明 $z$ 的偶数倍是某个 2-链的边界。因此，$z$ 是一个闭链，且 $z+z$ 同调于 0。于是，我们得到

$$H_1(K)=\{[z]|[z]+[z]\sim [0]\}\cong {\mathbb{Z}}_2.\text{\hspace{1em}(3.48)}$$

这个例子表明，同调群不一定是自由阿贝尔群，而可能具有有限生成阿贝尔群的完整结构。由于 $K$ 是连通的，我们有 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

术语选择

• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• 1-cycle → 1-闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• homology group → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• finitely generated Abelian group → 有限生成阿贝尔群 · 帧条目：阿贝尔群（lib:f7a3ed41-d4ca-42c5-91ea-dfc1a0dc4b7b）
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af）

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• 2-chain → 2-链：译名选择未通过检查；帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07）
• free Abelian → 自由阿贝尔：译名选择未通过检查；帧条目：阿贝尔群（lib:f7a3ed41-d4ca-42c5-91ea-dfc1a0dc4b7b）

使用前文：连通复形的 $H_0$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Since $K$ is connected, we have $H_0(K) \cong \mathbb{Z}$ .

后文使用：连通复形的 $H_0$。

后文使用：标准曲线系统。

亏格 $g$ 曲面的第一同调群

推导 · 亏格为 $g$ 的环面 ${\Sigma }_g$ 的第一同调群 $H_1({\Sigma }_g)$ 由那些不是某个区域的边界的环路生成，且 $H_1({\Sigma }_g)=\{i_1[a_1]+j_1[b_1]+\cdots +i_g[a_g]+j_g[b_g]\}\cong \underset{2g}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The first homology group  $H_1(\Sigma_g)$  is generated by those loops which are not boundaries of some area.

H _ {1} \left(\Sigma_ {g}\right) = \left\{i _ {1} \left[ a _ {1} \right] + j _ {1} \left[ b _ {1} \right] + \dots + i _ {g} \left[ a _ {g} \right] + j _ {g} \left[ b _ {g} \right] \right\} \\ \cong \underbrace {\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}} _ {2 g}.

PDF 文件页：134；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0316；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在很容易将我们的分析推广到亏格为 $g$ 的环面 ${\Sigma }_g$。由于 ${\Sigma }_g$ 没有边界且不存在 3-单形，曲面 ${\Sigma }_g$ 本身自由生成 $H_2(T^2)\cong \mathbb{Z}$。第一同调群 $H_1({\Sigma }_g)$ 由那些不是某个区域的边界的环路生成。图 3.11 展示了生成元的标准选择。我们得到

$$\begin{array}{l}{H}_1\left({\Sigma }_g\right)=\left\{i_1\left[a_1\right]+j_1\left[b_1\right]+\cdots +i_g\left[a_g\right]+j_g\left[b_g\right]\right\}\\ \cong \underset{2g}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.49)}$$

由于 ${\Sigma }_g$ 是连通的，$H_0({\Sigma }_g)\cong \mathbb{Z}$。观察到 $a_i(b_i)$ 同调于图 2.12 中的边 $a_i(b_i)$。这 $2g$ 条曲线 $\{a_i,b_i\}$ 被称为 ${\Sigma }_g$ 上的标准曲线系统。

术语选择

• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• torus → 环面 · 帧条目：环面（lib:fee87ca7-4cd9-4a1f-ab6b-9f29f4e871d4）
• homology group → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• loops → 环路 · 帧条目：环路（term:eb09de30462ffe0e882b）
• canonical system of curves → 标准曲线系统 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• genus → 亏格 · 本章新定（临时）

使用前文：射影平面三角剖分的 $H_2$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：The first homology group $H_1(\Sigma_g)$ is generated by those loops which are not boundaries of some area.

后文使用：同调群。

标准曲线系统

引入 · ${\Sigma }_g$ 上的 $2g$ 条曲线 $\{a_i,b_i\}$ 被称为 ${\Sigma }_g$ 上的标准曲线系统。

概念：标准曲线系统（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The  $2g$  curves  $\{a_i, b_i\}$  are called the canonical system of curves on  $\Sigma_g$ .

PDF 文件页：134；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0316；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在很容易将我们的分析推广到亏格为 $g$ 的环面 ${\Sigma }_g$。由于 ${\Sigma }_g$ 没有边界且不存在 3-单形，曲面 ${\Sigma }_g$ 本身自由生成 $H_2(T^2)\cong \mathbb{Z}$。第一同调群 $H_1({\Sigma }_g)$ 由那些不是某个区域的边界的环路生成。图 3.11 展示了生成元的标准选择。我们得到

$$\begin{array}{l}{H}_1\left({\Sigma }_g\right)=\left\{i_1\left[a_1\right]+j_1\left[b_1\right]+\cdots +i_g\left[a_g\right]+j_g\left[b_g\right]\right\}\\ \cong \underset{2g}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.49)}$$

由于 ${\Sigma }_g$ 是连通的，$H_0({\Sigma }_g)\cong \mathbb{Z}$。观察到 $a_i(b_i)$ 同调于图 2.12 中的边 $a_i(b_i)$。这 $2g$ 条曲线 $\{a_i,b_i\}$ 被称为 ${\Sigma }_g$ 上的标准曲线系统。

术语选择

• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• torus → 环面 · 帧条目：环面（lib:fee87ca7-4cd9-4a1f-ab6b-9f29f4e871d4） · 来自同一单元
• homology group → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af）
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• loops → 环路 · 帧条目：环路（term:eb09de30462ffe0e882b） · 来自同一单元
• canonical system of curves → 标准曲线系统 · 本章新定（临时）
• genus → 亏格 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

使用前文：连通复形的 $H_0$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Since $\Sigma_g$ is connected, $H_0(\Sigma_g) \cong \mathbb{Z}$ .

连通复形的 $H_0$

回指 · 若 ${\Sigma }_g$ 是连通的，则 $H_0({\Sigma }_g)\cong \mathbb{Z}$。

概念：连通复形的 $H_0$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $\Sigma_g$  is connected,  $H_0(\Sigma_g) \cong \mathbb{Z}$ .

PDF 文件页：134；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0316；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在很容易将我们的分析推广到亏格为 $g$ 的环面 ${\Sigma }_g$。由于 ${\Sigma }_g$ 没有边界且不存在 3-单形，曲面 ${\Sigma }_g$ 本身自由生成 $H_2(T^2)\cong \mathbb{Z}$。第一同调群 $H_1({\Sigma }_g)$ 由那些不是某个区域的边界的环路生成。图 3.11 展示了生成元的标准选择。我们得到

$$\begin{array}{l}{H}_1\left({\Sigma }_g\right)=\left\{i_1\left[a_1\right]+j_1\left[b_1\right]+\cdots +i_g\left[a_g\right]+j_g\left[b_g\right]\right\}\\ \cong \underset{2g}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.49)}$$

由于 ${\Sigma }_g$ 是连通的，$H_0({\Sigma }_g)\cong \mathbb{Z}$。观察到 $a_i(b_i)$ 同调于图 2.12 中的边 $a_i(b_i)$。这 $2g$ 条曲线 $\{a_i,b_i\}$ 被称为 ${\Sigma }_g$ 上的标准曲线系统。

术语选择

• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• torus → 环面 · 帧条目：环面（lib:fee87ca7-4cd9-4a1f-ab6b-9f29f4e871d4） · 来自同一单元
• homology group → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af）
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• loops → 环路 · 帧条目：环路（term:eb09de30462ffe0e882b） · 来自同一单元
• canonical system of curves → 标准曲线系统 · 本章新定（临时）
• genus → 亏格 · 本章新定（临时） · 来自同一单元

使用前文：连通复形的 $H_0$。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Since $\Sigma_g$ is connected, $H_0(\Sigma_g) \cong \mathbb{Z}$ .

后文使用：连通复形的 $H_0$。

$Z_2(K)$ 为零

推导 · 对于克莱因瓶的三角剖分 $K$，若 $z\in Z_2(K)$，则整数 $m$ 必须为零，因此 $H_2(K)=Z_2(K)\cong \{0\}$。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For  $\partial_{2}z$  to be 0, the integer  $m$  must vanish and we have

PDF 文件页：135；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0326；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：标题边界（heading）。

例 3.13。图 3.12 是克莱因瓶的一个三角剖分。同调群的计算与射影平面的计算大致相同。由于 $B_2(K)=0$，我们有 $H_2(K)=Z_2(K)$。设 $z\in Z_2(K)$。如果 $z$ 是 $K$ 的所有 2-单形以相同系数的组合，$z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，则内部的 1-单形相互抵消，只留下外部的 1-单形

$${\partial }_{2}z=-2ma$$

其中 $a=(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。要使 ${\partial }_{2}z$ 为 0，整数 $m$ 必须为零，于是我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.50)}$$

为计算 $H_1(K)$，我们首先注意到，根据我们对环面的经验，每个 1-闭链都同调于 $ia+jb$，其中 $i,j\in \mathbb{Z}$。要使一个 2-链的边界仅由 $a$ 和 $b$ 组成，$K$ 中的所有 2-单形必须以相同的系数相加。因此，对于这样的 2-链 $z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，我们有 $\partial z=2ma$。这表明 $2ma\sim 0$。于是，$H_1(K)$ 由两个闭链 $a$ 和 $b$ 生成，且满足 $a+a=0$，即

$$H_1(K)=\{i[a]+j[b]|i,j\in \mathbb{Z}\}\cong {\mathbb{Z}}_2\oplus \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.51)}$$

由于 $K$ 是连通的，我们得到 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• projective plane → 射影平面 · 帧条目：射影平面（term:ef0de975c62d90f5818d） · 来自同一单元
• Klein bottle → 克莱因瓶 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• chain → 链 · 帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07） · 来自同一单元
• torus → 环面 · 帧条目：环面（lib:fee87ca7-4cd9-4a1f-ab6b-9f29f4e871d4） · 来自同一单元

使用前文：$Z_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：For $\partial_{2}z$ to be 0, the integer $m$ must vanish and we have

后文使用：$r$-闭链群。

克莱因瓶的 $H_1$

推导 · 对于克莱因瓶的三角剖分 $K$，$H_1(K)$ 由两个闭链 $a$ 和 $b$ 生成，且满足 $a+a=0$，即 $H_1(K)=\{i[a]+j[b]\mid i,j\in \mathbb{Z}\}\cong {\mathbb{Z}}_2\oplus \mathbb{Z}$。

概念：圆周三角剖分的 $H_1$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Thus,  $H_{1}(K)$  is generated by two cycles  $a$  and  $b$  such that  $a + a = 0$ , namely

PDF 文件页：135；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0326；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：句末边界（sentence-closed）。

例 3.13。图 3.12 是克莱因瓶的一个三角剖分。同调群的计算与射影平面的计算大致相同。由于 $B_2(K)=0$，我们有 $H_2(K)=Z_2(K)$。设 $z\in Z_2(K)$。如果 $z$ 是 $K$ 的所有 2-单形以相同系数的组合，$z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，则内部的 1-单形相互抵消，只留下外部的 1-单形

$${\partial }_{2}z=-2ma$$

其中 $a=(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。要使 ${\partial }_{2}z$ 为 0，整数 $m$ 必须为零，于是我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.50)}$$

为计算 $H_1(K)$，我们首先注意到，根据我们对环面的经验，每个 1-闭链都同调于 $ia+jb$，其中 $i,j\in \mathbb{Z}$。要使一个 2-链的边界仅由 $a$ 和 $b$ 组成，$K$ 中的所有 2-单形必须以相同的系数相加。因此，对于这样的 2-链 $z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，我们有 $\partial z=2ma$。这表明 $2ma\sim 0$。于是，$H_1(K)$ 由两个闭链 $a$ 和 $b$ 生成，且满足 $a+a=0$，即

$$H_1(K)=\{i[a]+j[b]|i,j\in \mathbb{Z}\}\cong {\mathbb{Z}}_2\oplus \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.51)}$$

由于 $K$ 是连通的，我们得到 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

术语选择

• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• projective plane → 射影平面 · 帧条目：射影平面（term:ef0de975c62d90f5818d） · 来自同一单元
• Klein bottle → 克莱因瓶 · 本章新定（临时） · 来自同一单元
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e）
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179）
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c）
• chain → 链 · 帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07）
• torus → 环面 · 帧条目：环面（lib:fee87ca7-4cd9-4a1f-ab6b-9f29f4e871d4）

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

连通复形的 $H_0$

回指 · 若 $K$ 是连通的，则 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：连通复形的 $H_0$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We obtain  $H_0(K) \cong \mathbb{Z}$  since  $K$  is connected.

PDF 文件页：135；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0326；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

其中 $a=(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。要使 ${\partial }_{2}z$ 为 0，整数 $m$ 必须为零，于是我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.50)}$$

为计算 $H_1(K)$，我们首先注意到，根据我们对环面的经验，每个 1-闭链都同调于 $ia+jb$，其中 $i,j\in \mathbb{Z}$。要使一个 2-链的边界仅由 $a$ 和 $b$ 组成，$K$ 中的所有 2-单形必须以相同的系数相加。因此，对于这样的 2-链 $z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，我们有 $\partial z=2ma$。这表明 $2ma\sim 0$。于是，$H_1(K)$ 由两个闭链 $a$ 和 $b$ 生成，且满足 $a+a=0$，即

$$H_1(K)=\{i[a]+j[b]|i,j\in \mathbb{Z}\}\cong {\mathbb{Z}}_2\oplus \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.51)}$$

由于 $K$ 是连通的，我们得到 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

术语选择

• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af）
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• homologous → 同调 · 帧条目：同调的（lib:c15b2f02-2ed4-430f-b86c-876c372f938e） · 来自同一单元
• boundary → 边界 · 帧条目：边界（lib:d89858ae-0ae4-44a6-b482-787218d5e179） · 来自同一单元
• cycle → 闭链 · 帧条目：闭链（lib:4ce8076e-d99e-40dd-b263-2ba130402d2c） · 来自同一单元
• chain → 链 · 帧条目：链（lib:61fd4411-3d4a-4e1d-8127-2b7adfd4ce07） · 来自同一单元
• torus → 环面 · 帧条目：环面（lib:fee87ca7-4cd9-4a1f-ab6b-9f29f4e871d4） · 来自同一单元

使用前文：连通复形的 $H_0$。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：We obtain $H_0(K) \cong \mathbb{Z}$ since $K$ is connected.

同调群

回指 · 若 $K$ 是 $N$ 个连通分支 $K_1,\dots ,K_N$ 的不相交并，则 $H_r(K)=H_r(K_1)\oplus \cdots \oplus H_r(K_N)$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.6. Let  $K$  be a disjoint union of  $N$  connected components,  $K = K_{1} \cup K_{2} \cup \dots \cup K_{N}$  where  $K_{i} \cap K_{j} = \emptyset$ . Then

H _ {r} (K) = H _ {r} \left(K _ {1}\right) \oplus H _ {r} \left(K _ {2}\right) \oplus \dots \oplus H _ {r} \left(K _ {N}\right).

PDF 文件页：136；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0333；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

定理 3.6。令 $K$ 是 $N$ 个连通分支的不相交并，$K=K_1\cup K_2\cup \cdots \cup K_N$，其中 $K_i\cap K_j=\varnothing$。则

$$H_r(K)=H_r\left(K_1\right)\oplus H_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus H_r\left(K_N\right).\text{\hspace{1em}(3.52)}$$

证明。我们首先注意到，一个 $r$-链群被一致地分离为 $N$ 个 $r$-链子群的直和。令

$$C_r(K)=\left\{\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}|c_i\in \mathbb{Z}\right\}$$

其中 $I_r$ 是 $K$ 中线性无关的 $r$-单形的数目。总是可以重新排列 ${\sigma }_i$，使得 $K_1$ 中的那些 $r$-单形排在最前，$K_2$ 中的那些紧随其后，依此类推。于是 $C_r(K)$ 被分离为子群的直和，

$$C_r(K)=C_r\left(K_1\right)\oplus C_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus C_r\left(K_N\right).$$

术语选择

• chain group → 链群 · 帧条目：链群（term:c89e2e6d3d04646cfab3） · 来自同一单元
• direct sum → 直和 · 帧条目：直和（term:b00fe734b31f427ed7fc） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• linearly independent → 线性无关 · 帧条目：线性无关（lib:400f1610-1eba-4c3c-830b-e21ea6965065） · 来自同一单元
• connected components → 连通分支 · 帧条目：连通分支（lib:a6c5c20e-3e73-4361-880e-3e496f4f25b2）
• disjoint → 不相交 · 帧条目：不相交（lib:9393d6e8-2f1f-48db-b75c-81af6880c852）
• subgroups → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• union → 并集：译名选择未通过检查；帧条目：并集（lib:815f9a8a-fbeb-4518-ae7a-cde1b6dc1631）
• union → 并集：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；帧条目：并集（lib:815f9a8a-fbeb-4518-ae7a-cde1b6dc1631）

使用前文：亏格 $g$ 曲面的第一同调群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Theorem 3.6. Let $K$ be a disjoint union of $N$ connected components, $K = K_{1} \cup K_{2} \cup \dots \cup K_{N}$ where $K_{i} \cap K_{j} = \emptyset$ . Then

后文使用：同调群。

$r$-链群

回指 · $C_r(K)$ 被一致地分离为 $N$ 个 $r$-链子群的直和：$C_r(K)=C_r(K_1)\oplus \cdots \oplus C_r(K_N)$。

概念：链群

原文（OCR，未逐页核实）

We first note that an  $r$ -chain group is consistently separated into a direct sum of  $N$ $r$ -chain subgroups.

C _ {r} (K) = C _ {r} \left(K _ {1}\right) \oplus C _ {r} \left(K _ {2}\right) \oplus \dots \oplus C _ {r} \left(K _ {N}\right).

PDF 文件页：136；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0333；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

定理 3.6。令 $K$ 是 $N$ 个连通分支的不相交并，$K=K_1\cup K_2\cup \cdots \cup K_N$，其中 $K_i\cap K_j=\varnothing$。则

$$H_r(K)=H_r\left(K_1\right)\oplus H_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus H_r\left(K_N\right).\text{\hspace{1em}(3.52)}$$

证明。我们首先注意到，一个 $r$-链群被一致地分离为 $N$ 个 $r$-链子群的直和。令

$$C_r(K)=\left\{\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}|c_i\in \mathbb{Z}\right\}$$

其中 $I_r$ 是 $K$ 中线性无关的 $r$-单形的数目。总是可以重新排列 ${\sigma }_i$，使得 $K_1$ 中的那些 $r$-单形排在最前，$K_2$ 中的那些紧随其后，依此类推。于是 $C_r(K)$ 被分离为子群的直和，

$$C_r(K)=C_r\left(K_1\right)\oplus C_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus C_r\left(K_N\right).$$

这种分离对 $Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 也同样进行，即

$$Z_r(K)=Z_r\left(K_1\right)\oplus Z_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)$$ $$B_r(K)=B_r\left(K_1\right)\oplus B_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right).$$

我们现在通过下式定义每个分支 $K_i$ 的同调群

术语选择

• chain group → 链群 · 帧条目：链群（term:c89e2e6d3d04646cfab3）
• direct sum → 直和 · 帧条目：直和（term:b00fe734b31f427ed7fc）
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• linearly independent → 线性无关 · 帧条目：线性无关（lib:400f1610-1eba-4c3c-830b-e21ea6965065） · 来自同一单元
• connected components → 连通分支 · 帧条目：连通分支（lib:a6c5c20e-3e73-4361-880e-3e496f4f25b2） · 来自同一单元
• disjoint → 不相交 · 帧条目：不相交（lib:9393d6e8-2f1f-48db-b75c-81af6880c852） · 来自同一单元
• subgroups → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• component → 分支 · 本章新定（临时） · 来自同一单元；分支 ≠ 向量的分量（lib:a7f1665c-c377-4cb5-8778-59e8e0abffc1）

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• union → 并集：译名选择未通过检查；帧条目：并集（lib:815f9a8a-fbeb-4518-ae7a-cde1b6dc1631）
• union → 并集：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；帧条目：并集（lib:815f9a8a-fbeb-4518-ae7a-cde1b6dc1631）

使用前文：$r$-链群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：We first note that an $r$ -chain group is consistently separated into a direct sum of $N$ $r$ -chain subgroups.

$r$-闭链群

回指 · $Z_r(K)$ 被分离为子群的直和：$Z_r(K)=Z_r(K_1)\oplus \cdots \oplus Z_r(K_N)$。

概念：$r$-闭链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This separation is also carried out for  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$  as

Z _ {r} (K) = Z _ {r} \left(K _ {1}\right) \oplus Z _ {r} \left(K _ {2}\right) \oplus \dots \oplus Z _ {r} \left(K _ {N}\right)

PDF 文件页：136；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0333；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：达到窗口上限（reach-limit）。

证明。我们首先注意到，一个 $r$-链群被一致地分离为 $N$ 个 $r$-链子群的直和。令

$$C_r(K)=\left\{\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}|c_i\in \mathbb{Z}\right\}$$

其中 $I_r$ 是 $K$ 中线性无关的 $r$-单形的数目。总是可以重新排列 ${\sigma }_i$，使得 $K_1$ 中的那些 $r$-单形排在最前，$K_2$ 中的那些紧随其后，依此类推。于是 $C_r(K)$ 被分离为子群的直和，

$$C_r(K)=C_r\left(K_1\right)\oplus C_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus C_r\left(K_N\right).$$

这种分离对 $Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 也同样进行，即

$$Z_r(K)=Z_r\left(K_1\right)\oplus Z_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)$$ $$B_r(K)=B_r\left(K_1\right)\oplus B_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right).$$

我们现在通过下式定义每个分支 $K_i$ 的同调群

$$H_r\left(K_i\right)=Z_r\left(K_i\right)/B_r\left(K_i\right).$$

这是良定义的，因为 $Z_r(K_i)\supset B_r(K_i)$。最后，我们有

术语选择

• chain group → 链群 · 帧条目：链群（term:c89e2e6d3d04646cfab3） · 来自同一单元
• direct sum → 直和 · 帧条目：直和（term:b00fe734b31f427ed7fc） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• linearly independent → 线性无关 · 帧条目：线性无关（lib:400f1610-1eba-4c3c-830b-e21ea6965065） · 来自同一单元
• subgroups → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6） · 来自同一单元
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• component → 分支 · 本章新定（临时） · 来自同一单元；分支 ≠ 向量的分量（lib:a7f1665c-c377-4cb5-8778-59e8e0abffc1）

使用前文：$Z_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This separation is also carried out for $Z_{r}(K)$ and $B_{r}(K)$ as

使用前文：$B_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：This separation is also carried out for $Z_{r}(K)$ and $B_{r}(K)$ as

后文使用：同调群。

同调群

回指 · 对每个分支 $K_i$，同调群定义为 $H_r(K_i)=Z_r(K_i)/B_r(K_i)$；该定义是良定义的，因为 $Z_r(K_i)\supset B_r(K_i)$。

概念：同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We now define the homology groups of each component  $K_{i}$  by

This is well defined since  $Z_{r}(K_{i})\supset B_{r}(K_{i})$

PDF 文件页：136；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0345；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）；结尾：标题边界（heading）。

$$C_r(K)=C_r\left(K_1\right)\oplus C_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus C_r\left(K_N\right).$$

这种分离对 $Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 也同样进行，即

$$Z_r(K)=Z_r\left(K_1\right)\oplus Z_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)$$ $$B_r(K)=B_r\left(K_1\right)\oplus B_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right).$$

我们现在通过下式定义每个分支 $K_i$ 的同调群

$$H_r\left(K_i\right)=Z_r\left(K_i\right)/B_r\left(K_i\right).$$

这是良定义的，因为 $Z_r(K_i)\supset B_r(K_i)$。最后，我们有

$$\begin{array}{l}{H}_r(K)=Z_r(K)/B_r(K)\\ =Z_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)/B_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right)\\ =\left\{Z_r\left(K_1\right)/B_r\left(K_1\right)\right\}\oplus \cdots \oplus \left\{Z_r\left(K_N\right)/B_r\left(K_N\right)\right\}\\ =H_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus H_r\left(K_N\right).\end{array}$$

推论 3.1. (a) 设 $K$ 是 $N$ 个连通分支 $K_1,\dots ,K_N$ 的不相交并。则由此可得

$$H_0(K)\cong \underset{N\text{f a c t o r s}}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.53)}$$

(b) 若 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$，则 $K$ 是连通的。[结合定理 3.5，我们得出结论：$H_0(K)\cong \mathbb{Z}$ 当且仅当 $K$ 是连通的。]

术语选择

• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• component → 分支 · 本章新定（临时）；分支 ≠ 向量的分量（lib:a7f1665c-c377-4cb5-8778-59e8e0abffc1）
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af） · 来自同一单元
• connected components → 连通分支 · 帧条目：连通分支（lib:a6c5c20e-3e73-4361-880e-3e496f4f25b2） · 来自同一单元
• disjoint union → 不相交并 · 帧条目：不相交（lib:9393d6e8-2f1f-48db-b75c-81af6880c852） · 来自同一单元

术语报警

以下为处理时记录的术语检查报警，待复核。

• union → 并集：译名选择未通过检查；帧条目：并集（lib:815f9a8a-fbeb-4518-ae7a-cde1b6dc1631）
• union → 并集：原文出现帧术语，但未采用译名或登记区别义项；帧条目：并集（lib:815f9a8a-fbeb-4518-ae7a-cde1b6dc1631）

使用前文：同调群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：We now define the homology groups of each component $K_{i}$ by

使用前文：$r$-闭链群。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$Z_{r}(K_{i})\supset B_{r}(K_{i})$

使用前文：$B_2(K)$ 为零。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：$Z_{r}(K_{i})\supset B_{r}(K_{i})$

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

连通复形的 $H_0$

回指 · 若 $K$ 是 $N$ 个连通分支 $K_1,\dots ,K_N$ 的不相交并，则 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}$（$N$ 个因子）；反之，若 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$，则 $K$ 是连通的。结合定理 3.5，$H_0(K)\cong \mathbb{Z}$ 当且仅当 $K$ 是连通的。

概念：连通复形的 $H_0$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $K$  be a disjoint union of  $N$  connected components,  $K_{1},\ldots ,K_{N}$ .

If  $H_0(K) \cong \mathbb{Z}$ ,  $K$  is connected.

PDF 文件页：136；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0349；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

我们现在通过下式定义每个分支 $K_i$ 的同调群

$$H_r\left(K_i\right)=Z_r\left(K_i\right)/B_r\left(K_i\right).$$

这是良定义的，因为 $Z_r(K_i)\supset B_r(K_i)$。最后，我们有

$$\begin{array}{l}{H}_r(K)=Z_r(K)/B_r(K)\\ =Z_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)/B_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right)\\ =\left\{Z_r\left(K_1\right)/B_r\left(K_1\right)\right\}\oplus \cdots \oplus \left\{Z_r\left(K_N\right)/B_r\left(K_N\right)\right\}\\ =H_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus H_r\left(K_N\right).\end{array}$$

推论 3.1. (a) 设 $K$ 是 $N$ 个连通分支 $K_1,\dots ,K_N$ 的不相交并。则由此可得

$$H_0(K)\cong \underset{N\text{f a c t o r s}}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.53)}$$

(b) 若 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$，则 $K$ 是连通的。[结合定理 3.5，我们得出结论：$H_0(K)\cong \mathbb{Z}$ 当且仅当 $K$ 是连通的。]

术语选择

• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e） · 来自同一单元
• component → 分支 · 本章新定（临时） · 来自同一单元；分支 ≠ 向量的分量（lib:a7f1665c-c377-4cb5-8778-59e8e0abffc1）
• connected → 连通的 · 帧条目：连通的（term:484c8428dd55e48340af）
• connected components → 连通分支 · 帧条目：连通分支（lib:a6c5c20e-3e73-4361-880e-3e496f4f25b2）
• disjoint union → 不相交并 · 帧条目：不相交（lib:9393d6e8-2f1f-48db-b75c-81af6880c852）

有限生成阿贝尔群基本定理

回指 · 根据定理 3.2，$H_r(K)$ 的最一般形式是 $H_r(K)\cong \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}$，其中前 $f$ 个因子构成秩为 $f$ 的自由阿贝尔群，接下来的 $p$ 个因子称为 $H_r(K)$ 的挠子群。

概念：有限生成阿贝尔群基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

according to theorem 3.2, the most general form of  $H_{r}(K)$  is

The first  $f$  factors form a free Abelian group of rank  $f$  and the next  $p$  factors are called the torsion subgroup of  $H_{r}(K)$ .

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0349；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：结尾：标题边界（heading）。

$Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 是自由阿贝尔群，因为它们是自由阿贝尔群 $C_r(K)$ 的子群。这并不意味着 $H_r(K)=Z_r(K)/B_r(K)$ 也是自由阿贝尔群。事实上，根据定理 3.2，$H_r(K)$ 的最一般形式是

$$H_r(K)\cong \underset{f}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}.\text{\hspace{1em}(3.54)}$$

从我们的经验可以清楚地看出，$H_r(K)$ 的生成元个数计数了 $|K|$ 中 $(r+1)$ 维洞的个数。前 $f$ 个因子构成一个秩为 $f$ 的自由阿贝尔群，接下来的 $p$ 个因子称为 $H_r(K)$ 的挠子群。例如，射影平面有 $H_1(K)\cong {\mathbb{Z}}_2$，克莱因瓶有 $H_1(K)\cong \mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2$。在某种意义上，挠子群检测了多面体 $|K|$ 中的“扭转”。我们现在说明为什么以 $\mathbb{Z}$ 为系数的同调群优于以 ${\mathbb{Z}}_2$ 或 $\mathbb{R}$ 为系数的同调群。由于 ${\mathbb{Z}}_2$ 没有非平凡子群，挠子群永远无法被识别。类似地，如果采用 $\mathbb{R}$ 系数，我们也无法看到挠子群，因为对任意 $m\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 都有 $\mathbb{R}/m\mathbb{R}\cong \{0\}$。[对任意 $a,b\in \mathbb{R}$，存在数 $c\in \mathbb{R}$ 使得 $a-b=mc$。] 若 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 由 (3.54) 给出，则 $H_r(K;\mathbb{R})$ 是

$$H_r(K;\mathbb{R})\cong \underset{f}{\underbrace{\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}}.\text{\hspace{1em}(3.55)}$$

术语选择

• torsion subgroup → 挠子群 · 本章新定（临时）
• free Abelian group → 自由阿贝尔群 · 帧条目：自由阿贝尔群（term:21918e606c2ace80ea29）
• free Abelian groups → 自由阿贝尔群 · 帧条目：自由阿贝尔群（term:56fa55144bd8a1744ba1）
• projective plane → 射影平面 · 帧条目：射影平面（term:ef0de975c62d90f5818d）
• Klein bottle → 克莱因瓶 · 帧条目：克莱因瓶（term:53984d752ba3a7a520a8）
• coefficients → 系数 · 帧条目：系数（term:7c22d8e50f758ebedd29）
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3）
• rank → 秩 · 帧条目：秩（term:e18adcc0c9c69d1615e4）
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• generators → 生成元 · 帧条目：生成元（lib:6eff4cba-09bf-4c84-8892-38a06c0c6495）
• subgroups → 子群 · 帧条目：子群（lib:e6dd2937-0598-4aa9-bbf2-317c9e35c0e6）

使用前文：有限生成阿贝尔群基本定理。模型判断为使用，按原文编号定位（theorem 3.2）；原文：according to theorem 3.2, the most general form of $H_{r}(K)$ is

使用前文：同调群。模型判断为细化，按最近的同概念前文推断；原文：It does not mean that $H_{r}(K) = Z_{r}(K) / B_{r}(K)$ is also free Abelian.

使用前文：自由阿贝尔群。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：$Z_{r}(K)$ and $B_{r}(K)$ are free Abelian groups since they are subgroups of a free Abelian group $C_r(K)$ .

使用前文：射影平面的 $H_1$。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：the projective plane has $H_{1}(K) \cong \mathbb{Z}_{2}$

使用前文：克莱因瓶的 $H_1$。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：the Klein bottle has $H_{1}(K) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_{2}$

贝蒂数

引入 · 设 $K$ 是单纯复形。第 $r$ 个贝蒂数 $b_r(K)$ 定义为 $b_r(K)\equiv \dim H_r(K;\mathbb{R})$。换言之，$b_r(K)$ 是 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 的自由阿贝尔部分的秩。

概念：贝蒂数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The  $r$ th Betti number  $b_{r}(K)$  is defined by

In other words,  $b_{r}(K)$  is the rank of the free Abelian part of  $H_{r}(K; \mathbb{Z})$ .

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0349；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.6. 设 $K$ 是单纯复形。第 $r$ 个贝蒂数 $b_r(K)$ 定义为

$$b_r(K)\equiv \dim H_r(K;\mathbb{R}).\text{\hspace{1em}(3.56)}$$

换言之，$b_r(K)$ 是 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 的自由阿贝尔部分的秩。

术语选择

• Betti number → 贝蒂数 · 帧条目：贝蒂数（lib:7c7c4b86-63b1-451e-b0be-15f02ebca981）
• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• rank → 秩 · 帧条目：秩（term:e18adcc0c9c69d1615e4）

后文使用：贝蒂数。

贝蒂数

回指 · 环面 $T^2$ 的贝蒂数为 $b_0(K)=1$、$b_1(K)=2$、$b_2(K)=1$；球面 $S^2$ 的贝蒂数为 $b_0(K)=1$、$b_1(K)=0$、$b_2(K)=1$。

概念：贝蒂数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

the Betti numbers of the torus  $T^2$  are

and those of the sphere  $S^2$  are

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0361；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例如，环面 $T^2$ 的贝蒂数为（见例 3.12）

$$b_0(K)=1,b_1(K)=2,b_2(K)=1$$

而球面 $S^2$ 的贝蒂数为（练习 3.3）

$$b_0(K)=1,b_1(K)=0,b_2(K)=1.$$

下面的定理将欧拉示性数与贝蒂数联系起来。

术语选择

• Betti numbers → 贝蒂数 · 帧条目：贝蒂数（lib:7c7c4b86-63b1-451e-b0be-15f02ebca981）
• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f） · 来自同一单元
• torus → 环面 · 帧条目：环面（lib:fee87ca7-4cd9-4a1f-ab6b-9f29f4e871d4）

使用前文：贝蒂数。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：the Betti numbers of the torus $T^2$ are

欧拉-庞加莱定理

引入 · 设 $K$ 是 $n$ 维单纯复形，$I_r$ 是 $K$ 中 $r$ 单形的数目，则 $\chi (K)\equiv {\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K)$。

概念：欧拉-庞加莱定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.7. (The Euler-Poincaré theorem) Let  $K$  be an  $n$ -dimensional simplicial complex and let  $I_r$  be the number of  $r$ -simplexes in  $K$ .

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0361；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.7.（欧拉-庞加莱定理）设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，并设 $I_r$ 是 $K$ 中 $r$ 单形的数目。则

$$\chi (K)\equiv \sum _{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\text{\hspace{1em}(3.57)}$$

[注：第一个等式定义了一般多面体 $|K|$ 的欧拉示性数。注意，这是第 2.4 节中为曲面定义的欧拉示性数的推广。]

术语选择

• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f） · 来自同一单元
• Euler-Poincaré theorem → 欧拉-庞加莱定理 · 帧条目：欧拉-庞加莱定理（term:4d538d4463c01ea221c3）
• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b）
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70）
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3） · 来自同一单元

后文使用：欧拉示性数。

后文使用：带手柄和洞的可定向曲面。

后文使用：带交叉帽的球面。

欧拉示性数

引入 · 第一个等式 $\chi (K)\equiv {\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r$ 定义了一般多面体 $|K|$ 的欧拉示性数，它是第 2.4 节中为曲面定义的欧拉示性数的推广。

概念：欧拉示性数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The first equality defines the Euler characteristic of a general polyhedron  $|K|$ .

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0361；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.7.（欧拉-庞加莱定理）设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，并设 $I_r$ 是 $K$ 中 $r$ 单形的数目。则

$$\chi (K)\equiv \sum _{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\text{\hspace{1em}(3.57)}$$

[注：第一个等式定义了一般多面体 $|K|$ 的欧拉示性数。注意，这是第 2.4 节中为曲面定义的欧拉示性数的推广。]

术语选择

• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f）
• Euler-Poincaré theorem → 欧拉-庞加莱定理 · 帧条目：欧拉-庞加莱定理（term:4d538d4463c01ea221c3） · 来自同一单元
• simplicial complex → 单纯复形 · 帧条目：单纯复形（term:f13809a6a5c6f8ddcb0b） · 来自同一单元
• simplexes → 单形 · 帧条目：单形（term:7ac92ff39b554b2c6d70） · 来自同一单元
• polyhedron → 多面体 · 帧条目：多面体（term:0fe89e1c6c981ba49af3）

后文使用：欧拉示性数。

后文使用：贝蒂数。

后文使用：三角剖分。

欧拉示性数

回指 · 由于贝蒂数是拓扑不变量，$\chi (K)$ 在同胚下也保持不变；因此可用任意三角剖分 $(K,f)$ 的 $\chi (K)$ 定义 $X$ 的欧拉示性数。

概念：欧拉示性数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since the Betti numbers are topological invariants,  $\chi(K)$  is also conserved under a homeomorphism.

it makes sense to define the Euler characteristic of  $X$  by  $\chi(K)$  for any triangulation  $(K, f)$  of  $X$

PDF 文件页：138；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0377；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

其中 $B_{-1}(K)$ 定义为平凡的。我们还有

$$\begin{array}{l}{b}_r(K)=\dim H_r(K;\mathbb{R})=\dim \left(Z_r(K;\mathbb{R})/B_r(K;\mathbb{R})\right)\\ =\dim Z_r(K;\mathbb{R})-\dim B_r(K;\mathbb{R}).\end{array}$$

由这些关系，我们得到

$$\begin{array}{l}\chi (K)={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r(\dim Z_r(K;\mathbb{R})+\dim B_{r-1}(K;\mathbb{R}))\\ ={\sum }_{r=0}^n\left\{(-1{)}^r\dim Z_r(K;\mathbb{R})-(-1{)}^r\dim B_r(K;\mathbb{R})\right\}\\ ={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\end{array}$$

由于贝蒂数是拓扑不变量，$\chi (K)$ 在同胚下也保持不变。特别地，如果 $f:|K|\to X$ 和 $g:|K^{\prime }|\to X$ 是 $X$ 的两个三角剖分，我们有 $\chi (K)=\chi (K^{\prime })$。因此，用 $\chi (K)$ 来定义 $X$ 的欧拉示性数是有意义的，其中 $(K,f)$ 是 $X$ 的任意三角剖分。

术语选择

• relations → 关系 · 帧条目：关系（lib:ea55b93f-5b50-4f2c-9ba9-7c9507a138e9） · 来自同一单元
• topological invariants → 拓扑不变量 · 帧条目：拓扑不变量（lib:5838084a-ffaf-428a-80a9-26e5da5f38c4）
• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f）
• homeomorphism → 同胚 · 帧条目：同胚（lib:8205a1b2-9f2c-420f-852b-e8664f601938）
• Betti numbers → 贝蒂数 · 帧条目：贝蒂数（lib:7c7c4b86-63b1-451e-b0be-15f02ebca981）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）

使用前文：欧拉示性数。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Since the Betti numbers are topological invariants, $\chi(K)$ is also conserved under a homeomorphism.

使用前文：球面的三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：for any triangulation $(K, f)$ of $X$

后文使用：欧拉示性数。

后文使用：带手柄和洞的可定向曲面。

后文使用：带交叉帽的球面。

贝蒂数

回指 · 贝蒂数是拓扑不变量。

概念：贝蒂数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

the Betti numbers are topological invariants

PDF 文件页：138；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0377；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

其中 $B_{-1}(K)$ 定义为平凡的。我们还有

$$\begin{array}{l}{b}_r(K)=\dim H_r(K;\mathbb{R})=\dim \left(Z_r(K;\mathbb{R})/B_r(K;\mathbb{R})\right)\\ =\dim Z_r(K;\mathbb{R})-\dim B_r(K;\mathbb{R}).\end{array}$$

由这些关系，我们得到

$$\begin{array}{l}\chi (K)={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r(\dim Z_r(K;\mathbb{R})+\dim B_{r-1}(K;\mathbb{R}))\\ ={\sum }_{r=0}^n\left\{(-1{)}^r\dim Z_r(K;\mathbb{R})-(-1{)}^r\dim B_r(K;\mathbb{R})\right\}\\ ={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\end{array}$$

由于贝蒂数是拓扑不变量，$\chi (K)$ 在同胚下也保持不变。特别地，如果 $f:|K|\to X$ 和 $g:|K^{\prime }|\to X$ 是 $X$ 的两个三角剖分，我们有 $\chi (K)=\chi (K^{\prime })$。因此，用 $\chi (K)$ 来定义 $X$ 的欧拉示性数是有意义的，其中 $(K,f)$ 是 $X$ 的任意三角剖分。

术语选择

• relations → 关系 · 帧条目：关系（lib:ea55b93f-5b50-4f2c-9ba9-7c9507a138e9） · 来自同一单元
• topological invariants → 拓扑不变量 · 帧条目：拓扑不变量（lib:5838084a-ffaf-428a-80a9-26e5da5f38c4）
• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f）
• homeomorphism → 同胚 · 帧条目：同胚（lib:8205a1b2-9f2c-420f-852b-e8664f601938）
• Betti numbers → 贝蒂数 · 帧条目：贝蒂数（lib:7c7c4b86-63b1-451e-b0be-15f02ebca981）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）

使用前文：欧拉示性数。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Since the Betti numbers are topological invariants, $\chi(K)$ is also conserved under a homeomorphism.

使用前文：球面的三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：for any triangulation $(K, f)$ of $X$

三角剖分

回指 · $f:|K|\to X$ 与 $g:|K^{\prime }|\to X$ 是 $X$ 的两个三角剖分，此时 $\chi (K)=\chi (K^{\prime })$。

概念：可三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

if  $f: |K| \to X$  and  $g: |K'| \to X$  are two triangulations of  $X$ , we have  $\chi(K) = \chi(K')$

PDF 文件页：138；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0377；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

译文窗口边界

译文窗口在此处截断：开头：达到窗口上限（reach-limit）。

其中 $B_{-1}(K)$ 定义为平凡的。我们还有

$$\begin{array}{l}{b}_r(K)=\dim H_r(K;\mathbb{R})=\dim \left(Z_r(K;\mathbb{R})/B_r(K;\mathbb{R})\right)\\ =\dim Z_r(K;\mathbb{R})-\dim B_r(K;\mathbb{R}).\end{array}$$

由这些关系，我们得到

$$\begin{array}{l}\chi (K)={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r(\dim Z_r(K;\mathbb{R})+\dim B_{r-1}(K;\mathbb{R}))\\ ={\sum }_{r=0}^n\left\{(-1{)}^r\dim Z_r(K;\mathbb{R})-(-1{)}^r\dim B_r(K;\mathbb{R})\right\}\\ ={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\end{array}$$

由于贝蒂数是拓扑不变量，$\chi (K)$ 在同胚下也保持不变。特别地，如果 $f:|K|\to X$ 和 $g:|K^{\prime }|\to X$ 是 $X$ 的两个三角剖分，我们有 $\chi (K)=\chi (K^{\prime })$。因此，用 $\chi (K)$ 来定义 $X$ 的欧拉示性数是有意义的，其中 $(K,f)$ 是 $X$ 的任意三角剖分。

术语选择

• relations → 关系 · 帧条目：关系（lib:ea55b93f-5b50-4f2c-9ba9-7c9507a138e9） · 来自同一单元
• topological invariants → 拓扑不变量 · 帧条目：拓扑不变量（lib:5838084a-ffaf-428a-80a9-26e5da5f38c4）
• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f）
• homeomorphism → 同胚 · 帧条目：同胚（lib:8205a1b2-9f2c-420f-852b-e8664f601938）
• Betti numbers → 贝蒂数 · 帧条目：贝蒂数（lib:7c7c4b86-63b1-451e-b0be-15f02ebca981）
• triangulation → 三角剖分 · 帧条目：三角剖分（term:a1faa0cae6566eac919d）

使用前文：欧拉示性数。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Since the Betti numbers are topological invariants, $\chi(K)$ is also conserved under a homeomorphism.

使用前文：球面的三角剖分。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：for any triangulation $(K, f)$ of $X$

带交叉帽的球面

引入 · 考虑一个带有 $q$ 个“交叉帽”的球面，并计算其同调群和欧拉示性数。

概念：带交叉帽的球面（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

consider a sphere with  $q$  such 'crosscaps' and compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

PDF 文件页：139；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0380；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

3.1 最一般的可定向二维曲面是带有 $h$ 个手柄和 $q$ 个洞的 2-球面。计算该曲面的同调群和欧拉示性数。 3.2 考虑一个带有一个洞的球面，并如图 3.13 所示粘合该洞的边缘。我们得到的曲面正是射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$。更一般地，考虑一个带有 $q$ 个这种“交叉帽”的球面，并计算该曲面的同调群和欧拉示性数。

术语选择

• orientable two-dimensional surface → 可定向二维曲面 · 本章新定（临时）
• 2-sphere → 2-球面 · 本章新定（临时）
• handles → 手柄 · 本章新定（临时）
• holes → 洞 · 本章新定（临时）
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f）
• projective plane → 射影平面 · 帧条目：射影平面（term:ef0de975c62d90f5818d）
• crosscaps → 交叉帽 · 本章新定（临时）

使用前文：欧拉示性数。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

使用前文：欧拉-庞加莱定理。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：Compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

带手柄和洞的可定向曲面

引入 · 最一般的可定向二维曲面是带有 $h$ 个手柄和 $q$ 个洞的 2-球面。

概念：带手柄和洞的可定向曲面（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The most general orientable two-dimensional surface is a 2-sphere with  $h$  handles and  $q$  holes.

PDF 文件页：139；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0380；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

3.1 最一般的可定向二维曲面是带有 $h$ 个手柄和 $q$ 个洞的 2-球面。计算该曲面的同调群和欧拉示性数。 3.2 考虑一个带有一个洞的球面，并如图 3.13 所示粘合该洞的边缘。我们得到的曲面正是射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$。更一般地，考虑一个带有 $q$ 个这种“交叉帽”的球面，并计算该曲面的同调群和欧拉示性数。

术语选择

• orientable two-dimensional surface → 可定向二维曲面 · 本章新定（临时）
• 2-sphere → 2-球面 · 本章新定（临时）
• handles → 手柄 · 本章新定（临时）
• holes → 洞 · 本章新定（临时）
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f）
• projective plane → 射影平面 · 帧条目：射影平面（term:ef0de975c62d90f5818d）
• crosscaps → 交叉帽 · 本章新定（临时）

使用前文：欧拉示性数。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

使用前文：欧拉-庞加莱定理。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：Compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

欧拉示性数

回指 · 习题要求计算最一般的可定向二维曲面（带 $h$ 个手柄和 $q$ 个洞的 2-球面）以及带 $q$ 个交叉帽的球面的欧拉示性数。

概念：欧拉示性数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

PDF 文件页：139；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0380；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

3.1 最一般的可定向二维曲面是带有 $h$ 个手柄和 $q$ 个洞的 2-球面。计算该曲面的同调群和欧拉示性数。 3.2 考虑一个带有一个洞的球面，并如图 3.13 所示粘合该洞的边缘。我们得到的曲面正是射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$。更一般地，考虑一个带有 $q$ 个这种“交叉帽”的球面，并计算该曲面的同调群和欧拉示性数。

术语选择

• orientable two-dimensional surface → 可定向二维曲面 · 本章新定（临时）
• 2-sphere → 2-球面 · 本章新定（临时）
• handles → 手柄 · 本章新定（临时）
• holes → 洞 · 本章新定（临时）
• homology groups → 同调群 · 帧条目：同调群（lib:02f7a498-5c17-4366-9479-8666d5f9bb2e）
• Euler characteristic → 欧拉示性数 · 帧条目：欧拉示性数（lib:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f）
• projective plane → 射影平面 · 帧条目：射影平面（term:ef0de975c62d90f5818d）
• crosscaps → 交叉帽 · 本章新定（临时）

使用前文：欧拉示性数。模型判断为使用，按最近的同概念前文推断；原文：Compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

使用前文：欧拉-庞加莱定理。模型判断为回指，按最近的同概念前文推断；原文：Compute the homology groups and the Euler characteristic of this surface.

本章新定译名（临时 · 待审核）

下列译名由模型在本章首次确定，后续单元与同一本书的后续运行都会沿用，直到审核确认或修改。

原文术语	译名	首见单元	说明
2-sphere	2-球面	nakahara-3:u0380
antipodal points	对径点	nakahara-3:u0295
barycentric coordinate	重心坐标	nakahara-3:u0078
boundary homomorphism	边缘同态	nakahara-3:u0361
boundary operator	边缘算子	nakahara-3:u0138
canonical system of curves	标准曲线系统	nakahara-3:u0316
chain complex	链复形	nakahara-3:u0160
chain group	链群	nakahara-3:u0126
closed path	闭路径	nakahara-3:u0000
coefficients	系数	nakahara-3:u0138
compact	紧致的	nakahara-3:u0078
complete circuits	完整回路	nakahara-3:u0274
component	分支	nakahara-3:u0345	与书库已有同名概念不同
composite map	复合映射	nakahara-3:u0171
connected	连通的	nakahara-3:u0250
crosscaps	交叉帽	nakahara-3:u0380
direct sum	直和	nakahara-3:u0054
disc	圆盘	nakahara-3:u0295
Euler-Poincaré theorem	欧拉-庞加莱定理	nakahara-3:u0349
finite cyclic group	有限循环群	nakahara-3:u0054
Finitely generated Abelian groups	有限生成阿贝尔群	nakahara-3:u0042
free Abelian group	自由阿贝尔群	nakahara-3:u0126
free Abelian groups	自由阿贝尔群	nakahara-3:u0042
Fundamental theorem of finitely generated Abelian groups	有限生成阿贝尔群基本定理	nakahara-3:u0054
Fundamental theorem of homomorphism	同态基本定理	nakahara-3:u0033
genus	亏格	nakahara-3:u0316
geometrically independent	几何独立	nakahara-3:u0078
group operation	群运算	nakahara-3:u0000
handles	手柄	nakahara-3:u0380
hemisphere	半球面	nakahara-3:u0295
holes	洞	nakahara-3:u0380
homology class	同调类	nakahara-3:u0195
inclusion map	包含映射	nakahara-3:u0160
infinite cyclic group	无限循环群	nakahara-3:u0054
Klein bottle	克莱因瓶	nakahara-3:u0316
loop	环路	nakahara-3:u0000
orientable two-dimensional surface	可定向二维曲面	nakahara-3:u0380
oriented 1-simplex	定向 1-单形	nakahara-3:u0103
oriented 2-simplex	定向 2-单形	nakahara-3:u0103
oriented 3-simplex	定向 3-单形	nakahara-3:u0103
oriented simplex	定向单形	nakahara-3:u0103
polyhedron	多面体	nakahara-3:u0090
projective plane	射影平面	nakahara-3:u0295
proper face	真面	nakahara-3:u0078
quotient group	商群	nakahara-3:u0023
rank	秩	nakahara-3:u0042
simplex	单形	nakahara-3:u0078
simplicial complex	单纯复形	nakahara-3:u0090
surjective homomorphism	满同态	nakahara-3:u0230
torsion subgroup	挠子群	nakahara-3:u0349
triangulable	可三角剖分	nakahara-3:u0090
triangulation	三角剖分	nakahara-3:u0090
unit element	单位元	nakahara-3:u0000
unoriented simplex	无定向单形	nakahara-3:u0103
zero map	零映射	nakahara-3:u0171
zero operator	零算符	nakahara-3:u0171
zeroth homology group	第零同调群	nakahara-3:u0250

未能定位的关系（44）

• 使用 · 模子群的等价（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 商群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 商群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 商群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 核（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 像（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 同态基本定理（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 自由阿贝尔群：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 有限生成阿贝尔群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 有限生成阿贝尔群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 循环群（临时）：引用“theorem 3.1”，声明这个编号的陈述讲的是另一个概念，模型对概念的判断与原文编号不一致（候选：同态基本定理）
• 使用 · 自由阿贝尔群：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 有限生成阿贝尔群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 单纯形：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 细化 · 面（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 单纯复形：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 多面体（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 可三角剖分（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 定向单纯形：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 定向 2-单纯形（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 定向 3-单纯形（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 单纯复形：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 链群：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · $r$-边缘群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · $r$-边缘群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 边缘的边缘为零（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · $r$-闭链群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · $r$-边缘群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 同调群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 单纯复形：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 同调群（临时）：引用“theorem 3.1”，声明这个编号的陈述讲的是另一个概念，模型对概念的判断与原文编号不一致（候选：同态基本定理）
• 回指 · 可三角剖分（临时）：引用“(3.37)”，本章原文中有这个编号，但没有陈述引用那段原文
• 回指 · 可三角剖分（临时）：引用“(3.38)”，本章原文中有这个编号，但没有陈述引用那段原文
• 使用 · 可三角剖分（临时）：引用“(3.42)”，本章原文中有这个编号，但没有陈述引用那段原文
• 使用 · 同调群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 同调群（临时）：引用“theorem 3.1”，声明这个编号的陈述讲的是另一个概念，模型对概念的判断与原文编号不一致（候选：同态基本定理）
• 回指 · 同调群（临时）：引用“theorem 3.1”，声明这个编号的陈述讲的是另一个概念，模型对概念的判断与原文编号不一致（候选：同态基本定理）
• 使用 · 完整回路同调于 $z$ 的倍数（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 连通复形的 $H_0$（临时）：引用“theorem 3.5”，声明这个编号的陈述讲的是另一个概念，模型对概念的判断与原文编号不一致（候选：连通单纯复形的 $H_0$）
• 使用 · 边缘的边缘为零（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 连通复形的 $H_0$（临时）：引用“theorem 3.5”，声明这个编号的陈述讲的是另一个概念，模型对概念的判断与原文编号不一致（候选：连通单纯复形的 $H_0$）
• 细化 · 欧拉示性数（临时）：所引章节中没有关于该概念的更早陈述
• 使用 · 欧拉-庞加莱定理（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 边缘的边缘为零（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述