引力就是几何。要完全理解这句话，我们需要更精密的工具和语言，来描述弯曲空间，并最终描述弯曲时空。这正是微分几何这门数学学科的内容，本节和下一节将对此加以介绍。掌握了这些新工具之后，我们将在第 4 节重新回到引力这一主题。
我们对微分几何的讨论并不特别严格。许多重要的定理我们不会去证明。此外，我们所作的若干论断都可以直接验证，但我们常常略去这一验证。不过，我们会小心地按照正确的逻辑顺序来构建弯曲空间的数学结构。在讨论过程中，我们会遇到许多可以存在于弯曲空间之上的数学对象。其中不少是我们熟悉的——比如向量或微分算子——但我们会看到它们以多少有些陌生的面貌出现。本节的主要目的是弄清什么样的对象可以存在于弯曲空间之上，以及它们之间的关系。这对广义相对论以及物理学的其他领域都将很有用。
此外，微分几何的语言具有一种奇妙的刚性。有时会让人觉得，只要是在这一刚性结构之内允许写下的方程，多半就是对的！当我们回到第 4 节讨论各种引力理论时，这种刚性将大有帮助。
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