高阶同伦群

本书暂定概念：尚未进入正式概念库。下面是本书给出的定义原文。

定义 1 · 定义 4.11

设 $X$ 为拓扑空间。$x_0\in X$ 处 $n$-环路（$n\ge 1$）的同伦类所成的集合记作 ${\pi }_n(X,x_0)$，称为 $x_0$ 处的第 $n$ 个同伦群(homotopy group)。当 $n\ge 2$ 时，${\pi }_n(x,x_0)$ 称为高阶同伦群(higher homotopy group)。

刚刚定义的乘积 $\alpha \ast \beta$ 自然地诱导出同伦类的乘积，其定义为

$$[\alpha ]\ast [\beta ]\equiv [\alpha \ast \beta ]\text{\hspace{1em}(4.41)}$$

其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 是 $x_0$ 处的 $n$-环路。下面的习题将验证该乘积是良定义的，并且满足群公理。

英文原文

Let $X$ be a topological space. The set of homotopy classes of $n$ -loops ( $n\ge 1$ ) at $x_0\in X$ is denoted by ${\pi }_n(X,x_0)$ and called the $n$ th homotopy group at $x_0$ . ${\pi }_n(x,x_0)$ is called the higher homotopy group if $n\ge 2$ .

The product $\alpha \ast \beta$ just defined naturally induces a product of homotopy classes defined by

$$[\alpha ]\ast [\beta ]\equiv [\alpha \ast \beta ]\text{\hspace{1em}(4.41)}$$

where $\alpha$ and $\beta$ are $n$ -loops at $x_0$ . The following exercises verify that this product is well defined and satisfies the group axioms.

出处：4.5 高阶同伦群 · node a-2f08897ddc366e04cef5b197 · 源节点 SHA-256 a74ccb67a6e69791…

定义 2 · 4.6 高阶同伦群的一般性质

高阶同伦群(higher homotopy group)总是交换群；对以 $x_0\in X$ 为基点的任意两个 $n$-环路 $\alpha$ 与 $\beta$，其同伦类 $[\alpha ]$ 与 $[\beta ]$ 满足

$$[\alpha ]\ast [\beta ]=[\beta ]\ast [\alpha ].\text{\hspace{1em}(4.42)}$$

英文原文

Higher homotopy groups are always Abelian; for any $n$ -loops $\alpha$ and $\beta$ at $x_0\in X$ , $[\alpha ]$ and $[\beta ]$ satisfy

$$[\alpha ]\ast [\beta ]=[\beta ]\ast [\alpha ].\text{\hspace{1em}(4.42)}$$

出处：4.6 高阶同伦群的一般性质 · node a-ef87cb92743f8b0f145889ca · 源节点 SHA-256 d21d345924499ba7…