4.6 高阶同伦群的一般性质

4.6.1 高阶同伦群的交换性

高阶同伦群(higher homotopy group)总是交换群；对以 $x_0\in X$ 为基点的任意两个 $n$-环路 $\alpha$ 与 $\beta$，其同伦类 $[\alpha ]$ 与 $[\beta ]$ 满足

$$[\alpha ]\ast [\beta ]=[\beta ]\ast [\alpha ].\text{\hspace{1em}(4.42)}$$

为验证这一断言，我们观察图 4.18。显然，该形变序列的每一步都是同伦的。这表明 $\alpha \ast \beta \sim \beta \ast \alpha$，即 $[\alpha ]\ast [\beta ]=[\beta ]\ast [\alpha ]$。

图 4.18. 高阶同伦群总是交换的，$\alpha \ast \beta \sim \beta \ast \alpha$。

4.6.2 弧连通性与高阶同伦群

若拓扑空间 $X$ 是弧连通的，则对任意一对 $x_0,x_1\in X$，${\pi }_n(X,x_0)$ 与 ${\pi }_n(X,x_1)$ 同构。其证明与定理 4.2的证明类似。因此，若 $X$ 是弧连通的，则无需指定基点。

4.6.3 高阶同伦群的同伦不变性

设 $X$ 与 $Y$ 是具有相同同伦型的拓扑空间，见定义 4.6。若 $f:X\to Y$ 是同伦等价(homotopy equivalence)，则同伦群 ${\pi }_n(X,x_0)$ 与 ${\pi }_n(Y,f(x_0))$ 同构，参见定理 4.3。高阶同伦群的拓扑不变性正是这一事实的直接推论。特别地，若 $X$ 是可缩的，则其同伦群是平凡的：${\pi }_n(X,x_0)=\{e\}$，$n>1$。

4.6.4 乘积空间的高阶同伦群

设 $X$ 与 $Y$ 是弧连通的拓扑空间，则

$${\pi }_n(X\times Y)\cong {\pi }_n(X)\oplus {\pi }_n(Y)\text{\hspace{1em}(4.43)}$$

参见定理 4.6。

4.6.5 万有覆叠空间与高阶同伦群

在某些情形下，一个空间的同伦群可由另一个空间已知的同伦群给出。这里有一个值得注意的性质，

它联系着拓扑空间的高阶同伦群与其万有覆叠空间的高阶同伦群。

定义 4.12 覆叠空间(covering space)

设 $X$ 与 $\tilde{X}$ 为连通拓扑空间。若存在连续映射 $p:\tilde{X}\to X$ 满足下列条件，则称二元组 $(\tilde{X},p)$（或简记为 $\tilde{X}$）为 $X$ 的覆叠空间(covering space)：

(1) $p$ 是满射（映上）；(2) 对每个 $x\in X$，存在包含 $x$ 的连通开集 $U\subset X$，使得 $p^{-1}(U)$ 是 $\tilde{X}$ 中若干开集的不交并，而其中每个开集都被 $p$ 同胚地映到 $U$ 上。

特别地，若 $\tilde{X}$ 是单连通的，则称 $(\tilde{X},p)$ 为 $X$ 的万有覆叠空间(universal covering space)。[注记：某些群已知是拓扑空间，它们称为拓扑群(topological group)。例如 $\mathrm{SO}(n)$ 与 $\mathrm{SU}(n)$ 都是拓扑群。若 定义 4.12 中的 $X$ 与 $\tilde{X}$ 恰为拓扑群，且 $p:\tilde{X}\to X$ 是群同态，则相应的（万有）覆叠空间称为（万有）覆叠群(covering group)。]

例如，$\mathbb{R}$ 是 $S^1$ 的万有覆叠空间，见4.3 节。由于 $S^1$ 与 $\mathrm{U}(1)$ 等同，若把 $\mathbb{R}$ 看作加法群，则 $\mathbb{R}$ 是 $\mathrm{U}(1)$ 的万有覆叠群。映射 $p:\mathbb{R}\to \mathrm{U}(1)$ 可以取为 $p:x\to {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi x}$。显然 $p$ 是满射，并且若 $U=\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi x}|x\in (x_0-0.1,x_0+0.1)\}$，则

$$p^{-1}(U)=\bigcup _{n\in \mathbb{Z}}(x_0-0.1+n,x_0+0.1+n)$$

它是 $\mathbb{R}$ 的若干开集的不交并。容易证明，$p$ 关于 $\mathbb{R}$ 中的加法与 $\mathrm{U}(1)$ 中的乘法也是同态。因此，$(\mathbb{R},p)$ 是 $\mathrm{U}(1)=S^1$ 的万有覆叠群。

定理 4.10

设 $(\tilde{X},p)$ 是连通拓扑空间 $X$ 的万有覆叠空间。若 $x_0\in X$ 与 ${\tilde{x}}_0\in \tilde{X}$ 是满足 $p({\tilde{x}}_0)=x_0$ 的基点，则诱导同态

$$p_{\ast }:{\pi }_n(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)\to {\pi }_n(X,x_0)\text{\hspace{1em}(4.44)}$$

对 $n\ge 2$ 是同构。[注意：当 $n=1$ 时本定理不能应用；此时 ${\pi }_1(\mathbb{R})=\{e\}$，而 ${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$。]

证明见 Croom (1978)。例如，由于 $\mathbb{R}$ 是可缩的，故有 ${\pi }_n(\mathbb{R})=\{e\}$。于是得到

$${\pi }_n\left(S^1\right)\cong {\pi }_n(\mathrm{U}(1))=\{e\}n\ge 2.\text{\hspace{1em}(4.45)}$$

例 4.12

设 $S^n=\{x\in {\mathbb{R}}^{n+1}||x{|}^2=1\}$。实射影空间 $\mathbb{R}{P}^n$ 是把 $S^n$ 中的对径点对 $(x,-x)$ 等同起来而得到的。容易

看出，当 $n\ge 2$ 时，$S^n$ 是 $\mathbb{R}{P}^n$ 的覆叠空间。由于当 $n\ge 2$ 时 ${\pi }_1(S^n)=\{e\}$，故 $S^n$ 是 $\mathbb{R}{P}^n$ 的万有覆叠空间，于是有

$${\pi }_n\left(\mathbb{R}{P}^m\right)\cong {\pi }_n\left(S^m\right).\text{\hspace{1em}(4.46)}$$

值得注意的是，$\mathbb{R}{P}^3$ 与 SO(3) 等同。为看出这一点，我们用绕轴 $n$ 旋转角度 $\theta$ $(0<\theta <\pi )$ 来指定 SO(3) 的一个元素，并给这个元素指定一个“向量” $\Omega \equiv \theta n$。$\Omega$ 取值于半径为 $\pi$ 的圆盘 $D^3$ 中。此外，$\pi n$ 与 $-\pi n$ 表示同一个旋转，因而应当等同起来。于是，$\Omega$ 所属的空间是一个圆盘 $D^3$，其表面 $S^2$ 上的对径点被等同。还应注意，我们也可以把 $\mathbb{R}{P}^3$ 表示成 $S^3$ 的北半球 $D^3$，其边界 $S^2$ 上的对径点被等同。这表明 $\mathbb{R}{P}^3$ 与 SO(3) 等同。

同样值得注意的是，$S^3$ 与 $\mathrm{SU}(2)$ 等同。首先注意，任一元素 $g\in \mathrm{SU}(2)$ 都可写成

$$g=\left(\begin{array}{cc}a& -\bar{b}\\ b& \bar{a}\end{array}\right)|a{|}^2+|b{|}^2=1.\text{\hspace{1em}(4.47)}$$

若记 $a=u+\mathrm{i}v$、$b=x+\mathrm{i}y$，则上式成为 $S^3$，

$$u^2+v^2+x^2+y^2=1.$$

综合这些结果，我们得到

$${\pi }_n(\mathrm{SO}(3))={\pi }_n\left(\mathbb{R}{P}^3\right)={\pi }_n\left(S^3\right)={\pi }_n(\mathrm{SU}(2))n\ge 2.\text{\hspace{1em}(4.48)}$$

更一般地，$\mathrm{SO}(n)$ 的万有覆叠群 $\mathrm{Spin}(n)$ 称为自旋群(spin group)。当 $n$ 较小时，它们为

$$\mathrm{Spin}(3)=\mathrm{SU}(2)\text{\hspace{1em}(4.49)}$$

$$\mathrm{Spin}(4)=\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)\text{\hspace{1em}(4.50)}$$

$$\mathrm{Spin}(5)=\mathrm{USp}(4)\text{\hspace{1em}(4.51)}$$

$$\mathrm{Spin}(6)=\mathrm{SU}(4).\text{\hspace{1em}(4.52)}$$

这里 $\mathrm{USp}(2N)$ 表示由满足 $A^{†}JA=J$ 的 $2N\times 2N$ 矩阵 $A$ 构成的紧群，其中

$$J=\left(\begin{array}{cc}0& I_N\\ -I_N& 0\end{array}\right).$$

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