4.5 高阶同伦群

基本群对拓扑空间 $X$ 中环路的同伦类进行分类。此外还有许多其他方式可以为 $X$ 赋予群。例如，我们可以对 $X$ 中球面的同伦类进行分类，或者对 $X$ 中环面的同伦类进行分类。事实上，球面 $S^n$（$n\ge 2$）的同伦类会构成一个与基本群类似的群。

4.5.1 定义

用 $I^n$ $(n\ge 1)$ 表示单位 $n$ 方体 $I\times \cdots \times I$

$$I^n=\left\{\left(s_1,\dots ,s_n\right)\mid 0\le s_i\le 1(1\le i\le n)\right\}.\text{\hspace{1em}(4.35)}$$

边界 $\partial I^n$ 即 $I^n$ 的几何边界，

$$\partial I^n=\left\{\left(s_1,\dots ,s_n\right)\in I^n\mid \text{某些}{s}_i=0\text{o r}1\right\}.\text{\hspace{1em}(4.36)}$$

我们回忆一下，在基本群中，$I=[0,1]$ 的边界 $\partial I$ 被映到基点 $x_0$。类似地，这里我们假定所讨论的是连续映射 $\alpha :I^n\to X$，它把边界 $\partial I^n$ 映为一点 $x_0\in X$。由于边界被映为单点 $x_0$，我们实际上由 $I^n$ 得到了 $S^n$；参见figure 2.8。若用 $I^n/\partial I^n$ 表示把边界 $\partial I^n$ 收缩为一点的方体 $I^n$，则有 $I^n/\partial I^n\cong S^n$。映射 $\alpha$ 称为 $x_0$ 处的 $n$-环路。定义 4.4 的一个直接推广如下。

定义 4.10 同伦(homotopy)

设 $X$ 是拓扑空间，$\alpha ,\beta :I^n\to X$ 是 $x_0\in X$ 处的 $n$-环路。称映射 $\alpha$ 与 $\beta$ 同伦(homotopic)，记作 $\alpha \sim \beta$，如果存在连续映射 $F:I^n\times I\to X$ 使得

$$F\left(s_1,\dots ,s_n,0\right)=\alpha \left(s_1,\dots ,s_n\right)\text{\hspace{1em}(4.37a)}$$

$$F\left(s_1,\dots ,s_n,1\right)=\beta \left(s_1,\dots ,s_n\right)\text{\hspace{1em}(4.37b)}$$

$$F\left(s_1,\dots ,s_n,t\right)=x_0\text{f o r}(s_1,\dots ,s_n)\in \partial I^n,t\in I.\text{\hspace{1em}(4.37c)}$$

$F$ 称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的同伦。

练习 4.6

证明 $\alpha \sim \beta$ 是一个等价关系。$\alpha$ 所属的等价类称为 $\alpha$ 的同伦类(homotopy class)，记作 $[\alpha ]$。

下面定义群运算。两个 $n$-环路 $\alpha$ 与 $\beta$ 的乘积 $\alpha \ast \beta$ 定义为

$$\alpha \ast \beta \left(s_1,\dots ,s_n\right)=\{\begin{array}{ll}\alpha \left(2s_1,\dots ,s_n\right)& 0\le s_1\le \frac{1}{2}\\ \beta \left(2s_1-1,\dots ,s_n\right)& \frac{1}{2}\le s_1\le 1.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.38)}$$

乘积 $\alpha \ast \beta$ 的形状如图 4.17(a)所示，把它表示成图 4.17(b)的形式是有益的。若在 $X$ 中定义 ${\alpha }^{-1}$ 为

(a)

图 4.17. $n$-环路 $\alpha$ 与 $\beta$ 的乘积 $\alpha \ast \beta$。

(b)

$${\alpha }^{-1}\left(s_1,\dots ,s_n\right)\equiv \alpha \left(1-s_1,\dots ,s_n\right)\text{\hspace{1em}(4.39)}$$

则它满足

$${\alpha }^{-1}\ast \alpha (s_1,\dots ,s_n)\sim \alpha \ast {\alpha }^{-1}(s_1,\dots ,s_n)\sim c_{x_0}(s_1,\dots ,s_n)\text{\hspace{1em}(4.40)}$$

其中 $c_{x_0}$ 是 $x_0\in X$ 处的常值 $n$-环路，$c_{x_0}:(s_1,\dots ,s_n)\mapsto x_0$。验证 $\alpha \ast \beta$ 与 ${\alpha }^{-1}$ 都是 $x_0$ 处的 $n$-环路。

定义 4.11 同伦群(homotopy group)

设 $X$ 为拓扑空间。$x_0\in X$ 处 $n$-环路（$n\ge 1$）的同伦类所成的集合记作 ${\pi }_n(X,x_0)$，称为 $x_0$ 处的第 $n$ 个同伦群(homotopy group)。当 $n\ge 2$ 时，${\pi }_n(x,x_0)$ 称为高阶同伦群(higher homotopy group)。

刚刚定义的乘积 $\alpha \ast \beta$ 自然地诱导出同伦类的乘积，其定义为

$$[\alpha ]\ast [\beta ]\equiv [\alpha \ast \beta ]\text{\hspace{1em}(4.41)}$$

其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 是 $x_0$ 处的 $n$-环路。下面的习题将验证该乘积是良定义的，并且满足群公理。

练习 4.7

习题 4.7. 证明由(4.41)定义的 $n$-环路的乘积与代表元的选取无关：参见引理 4.1。

练习 4.8

习题 4.8. 证明第 $n$ 个同伦群是一个群。为证明这一点，可以验证以下事实；参见定理 4.1。

(1) $([\alpha ]\ast [\beta ])\ast [\gamma ]=[\alpha ]\ast ([\beta ]\ast [\gamma ]).$
(2) $[\alpha ]\ast [c_x]=[c_x]\ast [\alpha ]=[\alpha ]$。
(3) $[\alpha ]\ast [{\alpha }^{-1}]=[c_x]$，由此定义逆元(inverse) $[\alpha {]}^{-1}=[{\alpha }^{-1}]$。

迄今为止我们一直把 ${\pi }_0(X,x_0)$ 排除在外。下面我们来对从 $I^0$ 到 $X$ 的映射进行分类。注意 $I^0=\{0\}$ 以及 $\partial I^0=\varnothing$。设 $\alpha ,\beta :\{0\}\to X$ 满足 $\alpha (0)=x$ 和 $\beta (0)=y$。若存在连续映射 $F:\{0\}\times I\to X$ 使得 $F(0,0)=x$ 且 $F(0,1)=y$，则定义 $\alpha \sim \beta$。这表明 $\alpha \sim \beta$ 当且仅当 $x$ 与 $y$ 可由 $X$ 中的一条曲线相连，即它们属于同一个（逆时针方向的）连通分支。显然这一等价关系与 $x_0$ 的选取无关，我们就把第零个同调群简记为 ${\pi }_0(X)$。但要注意，${\pi }_0(X)$ 并不是群，它表示 $X$ 的（逆时针方向的）连通分支的个数。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：d5639eb1542ed5055532a023e1bb199542761c7d0512d7e272aed2a1e610d542