4.1 向量空间与线性映射

向量空间 $V$ 在域 $k$ 上是一个集合，带有一种以 $k$ 中元素为系数取线性组合的一致方式。我们将只使用 $k = R$ 和 $k = C$ 的情形，因此这样的有限维 $V$ 将只是 $R^{n}$ 或 $C^{n}$ 。选择一组基（由 $n$ 个线性无关向量组成的集合） ${e_{j}}$ ，任意向量 $v \in V$ 可以写成

v = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + \dots + v_{n} e_{n}

给出 $V$ 与实数或复数的 $n$ 元组 $v_{j}$ 的一个明确等同，我们通常将其写成列向量

v = v_{1} v_{2} ⋮ v_{n}

于是，向量 $v$ 关于该基的展开式可以写成

v = (e_{1} e_{2} \dots e_{n}) v_{1} v_{2} ⋮ v_{n}

基 ${e_{j}}$ 的选择也使我们能够表达线性算符 $L$ 对 $V$ 的作用

L : v \in V \to Lv \in V

作为乘以一个 $n$ 乘 $n$ 矩阵：

v_{1} v_{2} ⋮ v_{n} \to L_{11} L_{21} ⋮ L_{n 1} L_{12} L_{22} ⋮ L_{n 2} \dots \dots ⋮ \dots L_{1 n} L_{2 n} ⋮ L_{nn} v_{1} v_{2} ⋮ v_{n}

读者应当注意，我们常常不会在记号上区分线性算符 $L$ 与其在某个未指定基下的、矩阵元为 $L_{j k}$ 的矩阵，因为我们通常关心的是算符 $L$ 的、对于相应矩阵而言与基无关的性质（例如，该算符或矩阵是否可逆？）。 $V$ 上的可逆线性算符在复合下构成一个群，我们有时将这个群记作 $G L (V)$ ，其中“GL”表示“General Linear”。选取一组基将这个群与可逆矩阵群等同起来，其群法则为矩阵乘法。当 $V$ 为 $n$ 维时，在实情形下我们将这个群记作 $G L (n, R)$ ，在复情形下记作 $G L (n, C)$ 。

注意，当把向量作为基向量的线性组合来处理时，我们可以使用矩阵记号将一个线性变换写成

v \to Lv = (e_{1} e_{2} \dots e_{n}) L_{11} L_{21} ⋮ L_{n 1} L_{12} L_{22} ⋮ L_{n 2} \dots \dots ⋮ \dots L_{1 n} L_{2 n} ⋮ L_{nn} v_{1} v_{2} ⋮ v_{n}

由此可见，我们可以像上面那样，将变换后的向量视为相对于固定基向量的变换后系数 $v_{j}$ ，但也可以保持 $v_{j}$ 不变而变换基向量。有时我们会希望使用矩阵记号来写出基向量以这种方式变换的公式，届时将写作

e_{1} e_{2} ⋮ e_{n} \to L_{11} L_{12} ⋮ L_{1 n} L_{21} L_{22} ⋮ L_{2 n} \dots \dots ⋮ \dots L_{n 1} L_{n 2} ⋮ L_{nn} e_{1} e_{2} ⋮ e_{n}

注意，将基向量 $e_{j}$ 像这样放入列向量中，会导致 $L$ 的矩阵通过转置矩阵作用于它们。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对；译稿已修改，待复核

原书 PDF · 印刷页 34、35

来源版本：2025-10-20

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4.1 向量空间与线性映射