4.2 对偶向量空间

对任何向量空间 $V$ ，我们都可以关联一个新的向量空间，即它的对偶：

定义 · 对偶向量空间

对于域 $k$ 上的向量空间 $V$ ，对偶向量空间 $V^{*}$ 是所有线性映射 $V \to k$ 构成的向量空间，即，

$V^{*} = {l : V \to k such that l (α v + β w) = α l (v) + β l (w)}$

对于 $α, β \in k, v, w \in V$ 。

给定作用在 $V,$ 上的线性变换 $L$ ，我们可以定义：

定义 · 转置变换

$L$ 的转置是线性变换

$L^{t} : V^{*} \to V^{*}$

由[]给出

$(L^{t} l) (v) = l (Lv) (4.1)$

对于 $l \in V^{*}, v \in V .$

对于 $V,$ 的任意一组基 ${e_{j}}$ 的选择，都存在 $V^{*}$ 的一组对偶基 ${e_{j}^{*}}$ ，满足

e_{j}^{*} (e_{k}) = δ_{j k}

相对于一个基的 $V$ 上的坐标是线性函数，因此是 $V^{*}$ 的元素。坐标函数 $v_{j}$ 可以与对偶基向量 $e_{j}^{*}$ 等同，因为

e_{j}^{*} (v) = e_{j}^{*} (v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + \dots + v_{n} e_{n}) = v_{j}

容易证明， $L$ 在基 $e_{j}$ 下的矩阵元素由下式给出

L_{j k} = e_{j}^{*} (L e_{k})

并且转置映射的矩阵（相对于对偶基）是矩阵转置

(L^{T})_{j k} = L_{k j}

可以使用矩阵记号来书写元素

l = l_{1} e_{1}^{*} + l_{2} e_{2}^{*} + \dots + l_{n} e_{n}^{*} \in V^{*}

将 $V^{*}$ 视为行向量

(l_{1} l_{2} \dots l_{n})

在 $V^{*}$ 上的坐标。将 $l$ 作用于向量 $v$ 的求值则由矩阵乘法给出

l (v) = (l_{1} l_{2} \dots l_{n}) v_{1} v_{2} ⋮ v_{n} = l_{1} v_{1} + l_{2} v_{2} + \dots + l_{n} v_{n}

同样可以将此公式解释为 $l \in V^{*}$ 在坐标函数 $v_{j} = e_{j}^{*}$ 的对偶基中的展开。

对于群 $G$ 在 $V$ 上的任意表示 $(π, V)$ ，我们可以在 $V^{*}$ 上定义相应的表示：

定义 · 对偶表示或反步表示

$V^{*}$ 上的对偶表示或反步表示由取作线性算符给出

$(π^{- 1})^{t} (g) : V^{*} \to V^{*} (4.2)$

这些满足同态性质，因为

(π^{- 1} (g_{1}))^{t} (π^{- 1} (g_{2}))^{t} = (π^{- 1} (g_{2}) π^{- 1} (g_{1}))^{t} = ((π (g_{1}) π (g_{2}))^{- 1})^{t}

刻画该表示的一种方式是将其视为在 $V^{*}$ 上的作用，使得 $V^{*}$ 与 $V$ 的元素之间的配对保持不变，因为

l (v) \to ((π^{- 1} (g))^{t} l) (π (g) v) = l (π (g)^{- 1} π (g) v) = l (v)

选取 $V$ 的一组基，表示算符 $π (g)$ 成为矩阵 $P$ ，其作用于 $V$ 的方式为

v_{1} v_{2} ⋮ v_{n} \to P v_{1} v_{2} ⋮ v_{n}

对偶空间 $V^{*}$ 上的作用则由下式给出（将 $v_{j}$ 解释为 $V^{*}$ 的对偶基元素）

l = (l_{1} l_{2} \dots l_{n}) v_{1} v_{2} ⋮ v_{n} \to (l_{1} l_{2} \dots l_{n}) P^{- 1} v_{1} v_{2} ⋮ v_{n} .

这可以理解为： $π (g)$ 通过矩阵 $(P^{- 1})^{T}$ 作用在 $l \in V^{*}$ 上，或者作为 $P^{- 1}$ 作用在 $v_{j}$ 上，而后者被解释为 $V^{*}$ 的基元素

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对；译稿已修改，待复核

原书 PDF · 印刷页 36、37

来源版本：2025-10-20

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4.2 对偶向量空间