4.3 基变换

$V$ 上的任意可逆变换 $A$ 都可用于将 $V$ 的基 $e_{j}$ 变为一组新基 $e_{j}^{'}$ ，只需取

e_{j} \to e_{j}^{'} = A e_{j}

线性变换 $L$ 的矩阵在此基变换下变换为

L_{j k} = e_{j}^{*} (L e_{k}) \to (e_{j}^{'})^{*} (L e_{k}^{'}) = (A e_{j})^{*} (L A e_{k}) = (A^{T})^{- 1} (e_{j}^{*}) (L A e_{k}) = e_{j}^{*} (A^{- 1} L A e_{k}) = (A^{- 1} L A)_{j k}

在第二步中，我们利用了对偶基的元素按对偶表示变换这一事实。这正是确保该关系所需的条件

(e_{j}^{'})^{*} (e_{k}^{'}) = δ_{j k}

基变换公式表明，如果两个矩阵 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 通过由第三个矩阵 $A$ 进行的共轭相关联

L_{2} = A^{- 1} L_{1} A

那么它们表示同一个线性变换，只是相对于两种不同的基的选择。回忆一下，有限维表示由一组矩阵 $π (g)$ 给出，每个群元素对应一个矩阵。如果两个表示通过

π_{2} (g) = A^{- 1} π_{1} (g) A

（对于所有 $g$ ， $A$ 不依赖于 $g$ ），那么我们可以将它们视为同一个表示，只是基的选择不同。在这种情形下，表示 $π_{1}$ 与 $π_{2}$ 称为“等价的”，并且我们常常会隐含地将等价的表示视为相同。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对；译稿已修改，待复核

原书 PDF · 印刷页 37、38

来源版本：2025-10-20

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