4.4 内积

对照

向量空间 $V$ 上的内积是一种附加结构，它为向量提供长度概念、向量间夹角概念，并识别 $V^{\ast }\simeq V$。在实情形下：

定义 · 内积，实情形

定义（内积，实情形）。实向量空间 $V$ 上的一个内积是一个对称的 $((v,w)=(w,v))$ 映射

$$(\cdot ,\cdot ):V\times V\to \mathbf{R}$$

即非退化且对两个变量均为线性。

我们的实内积通常是正定的（$(v,v)\ge 0$ 且 $(v,v)=0⟹v=0$），而不定内积仅出现在狭义相对论的语境中，其中在四维时空上使用一个不定内积。

在复情形下：

定义 · 内积，复情形

定义（内积，复情形）。复向量空间 $V$ 上的厄米内积是一个映射

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbf{C}$$

即共轭对称

$$⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩}$$

在两个变量上均非退化，在第二个变量上线性，在第一个变量上反线性：对于 $\alpha \in \mathbf{C}$ 和 $u,v,w\in V$。

$$⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩,⟨\alpha u,v⟩=\overline{\alpha }⟨u,v⟩$$

内积为向量给出了长度平方 $||\cdot |{|}^2$ 的概念，其中

$$||v|{|}^2=⟨v,v⟩$$

注意，将反线性规定在第一个变量还是第二个变量是一个约定问题。我们所做的选择在物理学家中是普遍的，而相反的选择在数学家中则很常见。除非特别说明，我们的厄米内积将是正定的（对于 $v\ne 0$ 有 $\Vert v{\Vert }^2>0$）（即明确表征为不定厄米内积）。

内积还通过映射给出一个同构 $V\simeq V^{\ast }$

$$v\in V\to l_v\in V^{\ast }\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

其中 $l_v$ 由下式定义

$$l_v(w)=(v,w)$$

在实情形下，且

$$l_v(w)=⟨v,w⟩$$

在复情形下（此处这是复反线性同构而非线性同构）。

物理学家使用一种由狄拉克引入的有用记号来表示向量空间及其对偶空间的元素，适用于 $V$ 是具有厄米内积的复向量空间的情形（例如量子理论中的态空间 $H$）。这种向量空间 $V$ 的一个元素写作“右矢向量”

$$|\alpha ⟩$$

其中 $\alpha$ 是 $V$ 中一个向量的标记。有时所讨论的向量会是某个可观测量算符的特征向量，而标记 $\alpha$ 则是特征值。

对偶向量空间 $V^{\ast }$ 的一个元素被写作“左矢向量”

$$⟨\alpha |$$

其标记由同构 4.3 按 $\alpha$ 确定，即

$$⟨\alpha |=l_{|\alpha ⟩}$$

将 $⟨\alpha |\in V^{\ast }$ 作用于 $|\beta ⟩\in V$ 得到 $\mathbf{C}$ 的一个元素，记作

$$⟨\alpha |(|\beta ⟩)=⟨\alpha |\beta ⟩$$

注意，在内积中，尖括号记号的含义与在左矢-右矢记号中不同。不过这种相似性是有意为之的，因为 $⟨\alpha |\beta ⟩$ 是由 $\alpha$ 标记的向量与由 $\beta$ 标记的向量的内积（“左矢-右矢”正是基于这种与内积括号记号的关系而作的文字游戏）。回顾在厄米内积中交换向量时会发生什么，有

$$⟨\beta |\alpha ⟩=\overline{⟨\alpha |\beta ⟩}$$

对于正交标准基 $\{{\mathbf{e}}_j\}$ 的一个选择，即满足

$$⟨{\mathbf{e}}_j,{\mathbf{e}}_k⟩={\delta }_{jk}$$

一个有用的标签选择是索引$j,$，因此

$$|j⟩={\mathbf{e}}_j$$

由于正交归一性，向量 $|\alpha ⟩$ 关于基 $\{{\mathbf{e}}_j\}$ 的系数为

$$⟨j|\alpha ⟩$$

而向量按基的展开式写为

$$|\alpha ⟩=\sum _{j=1}^n|j⟩⟨j|\alpha ⟩\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

类似地，对于元素 $⟨\alpha |\in V^{\ast }$，

$$⟨\alpha |=\sum _{j=1}^n⟨\alpha |j⟩⟨j|$$

因此，$|\alpha ⟩$ 的列向量表达式为

$$\left(\begin{array}{c}⟨1|\alpha ⟩\\ ⟨2|\alpha ⟩\\ ⋮\\ ⟨n|\alpha ⟩\end{array}\right)$$

而$⟨\alpha |$的行向量形式是

$$\left(⟨\alpha |1⟩⟨\alpha |2⟩\dots ⟨\alpha |n⟩\right)=\left(\overline{⟨1|\alpha ⟩}\overline{⟨2|\alpha ⟩}\dots \overline{⟨n|\alpha ⟩}\right)$$

内积是通常的矩阵乘积

$$⟨\alpha |\beta ⟩=\left(\begin{array}{cccc}⟨\alpha |1⟩& ⟨\alpha |2⟩& \dots & ⟨\alpha |n⟩\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}⟨1|\beta ⟩\\ ⟨2|\beta ⟩\\ ⋮\\ ⟨n|\beta ⟩\end{array}\right)$$

若 $L$ 是线性算符 $L:V\to V$，则相对于基 $\{{\mathbf{e}}_j\}$，它成为一个矩阵，其矩阵元为

$$L_{kj}=⟨k|L|j⟩$$

向量 $|\alpha ⟩$ 按基的展开式 4.4 可以解释为用单位算符进行乘法

$$1=\sum _{j=1}^n|j⟩⟨j|$$

物理学家将这种表达式称为“完备性关系”，因为它要求 $|j⟩$ 的集合是一个没有缺失元素的基。该算符

$$P_j=|j⟩⟨j|$$

是到第$j$个基向量上的投影算符。

题外话。在本书中，我们所有的指标都将是下指标。区分向量与对偶向量的一种方法是，向量的分量使用上指标，对偶向量的分量使用下指标。这在黎曼几何与广义相对论中相当有用，因为在那里内积由一个可以逐点变化的度量给出，从而使向量与对偶向量之间的同构也随之变化。对于量子力学状态空间，我们将使用一个单一的、标准的、固定的内积，因此向量与对偶向量之间将只有一个同构。在这种情况下，可以使用左矢-右矢记号来在记号上区分向量与对偶向量。

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上一节：4.3 基变换 · 下一节：4.5 伴随算符

附录：约定与记号

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 38、39、40、41

来源版本：2025-10-20