4.7 特征值与特征向量

对照

我们已经看到，当改变 $V$ 的基的选择时，向量空间 $V$ 的线性变换 $L$ 的矩阵通过共轭改变。 为了获得关于 $L,$ 的与基无关的信息，人们考虑该矩阵的特征值。 复矩阵的行为比实矩阵简单得多， 因为在复情形下特征值方程

$$\det (\lambda 1-L)=0\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

总是可以分解为线性因子。对于任意的 $n$ 乘 $n$ 复矩阵，将有 $n$ 个解（按重数计重复特征值）。将存在一个基，使得该矩阵呈上三角形式。

自伴矩阵 $L$ 的情形受到更多限制，因为交换关联着矩阵元素。有：

定理 4.1（自伴矩阵的谱定理）

给定一个自伴复 $n$ 乘 $n$ 矩阵 $L$，存在一个酉矩阵 $U$，使得

$$UL{U}^{-1}=D$$

其中 $D$ 是一个对角矩阵，其元素为 $D_{jj}={\lambda }_j,{\lambda }_j\in \mathbf{R}$。

给定 $L$，其特征值 ${\lambda }_j$ 是特征方程 4.5 的解，而 $U$ 由特征向量确定。对于互异特征值，对应的特征向量正交。

这里的谱定理是关于有限维向量空间和矩阵的定理，但对于无限维状态空间上的自伴算符，也有类似的定理。这样的定理在量子力学中至关重要，其中对于 $L$ 可观测量，特征向量是状态空间中具有刻画该状态的确定数值的状态，而这些数值就是特征值。该定理告诉我们，给定一个可观测量，我们可以用它来为状态空间选取特殊的正交归一基，即选取归一化到长度为 1 的特征向量基。

在这种情况下，使用左矢-右矢记号，我们可以用特征值来标记这样一个基的元素，因此

$$|j⟩=|{\lambda }_j⟩$$

（${\lambda }_j$ 可能包含重复的特征值）。 一般态被写成基态的线性组合

$$|\psi ⟩=\sum _j|j⟩⟨j|\psi ⟩$$

有时写作“恒等算符的分解”

$$\sum _j|j⟩⟨j|=1\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

从自伴矩阵转向酉矩阵，酉矩阵也可以通过另一个酉矩阵的共轭作用来对角化。对角元将全部是单位长度的复数，因此具有形式 $e^{i{\lambda }_j},{\lambda }_j\in \mathbf{R}$ 。对于最简单的例子，考虑群 $SU(2)$ 和 $U(2)$ 的情形。$U(2)$ 中的任何矩阵都可以通过一个酉矩阵共轭化为对角矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}{e}^{i{\lambda }_1}& 0\\ 0& e^{i{\lambda }_2}\end{array}\right)$$

它是对角化后的斜伴随矩阵的指数

$$\left(\begin{array}{cc}i{\lambda }_1& 0\\ 0& i{\lambda }_2\end{array}\right)$$

对于子群SU(2)中的矩阵，${\lambda }_1=-{\lambda }_2=\lambda$，因此在对角形式下，一个SU(2)矩阵将是

$$\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\lambda }& 0\\ 0& e^{-i\lambda }\end{array}\right)$$

它是迹为零的对角化斜伴随矩阵的指数

$$\left(\begin{array}{cc}i\lambda & 0\\ 0& -i\lambda \end{array}\right)$$

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上一节：4.6 正交变换与酉变换 · 下一节：4.8 延伸阅读

附录：约定与记号

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对；译稿已修改，待复核

原书 PDF · 印刷页 44、45、46

来源版本：2025-10-20