12.7 格林函数与薛定谔方程的解

12.7 格林函数与薛定谔方程的解

格林函数方法为微分方程提供解$\psi$

$$D\psi =J\text{\hspace{1em}(12.14)}$$

其中 $D$ 是微分算符，$J$ 是固定函数，通过求逆 $D^{-1}\mathrm{to}D$ 然后令 $\psi =D^{-1}J$。对于 $D$ 常系数微分算符，傅里叶变换将把 $D$ 变为乘以多项式 $\hat{D}$，并且我们定义 $D$ 的格林函数为傅里叶变换是 1 的函数（或分布）

$$\hat{G}=\frac{1}{\hat{D}}\text{\hspace{1em}(12.15)}$$

由于

$$\hat{D}\hat{G}\hat{J}=\hat{J}$$

$\hat{G}\hat{J}$ 的傅里叶逆变换将是 12.14 的一个解。

注意，$\hat{G}$ 和 $G$ 并不由条件 12.15 唯一确定，因为 $D$ 可能有核，此时 12.14 的解仅在一个齐次方程 $D{\psi }_0=0$ 的解 ${\psi }_0$ 的意义下确定。就傅里叶变换而言，$\hat{D}$ 可能有零点，此时 $\hat{G}$ 在零集上的函数意义下是不确定的。

对于薛定谔方程的情形，我们取

$$D=i\frac{\partial }{\partial t}+\frac{1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial q^2}$$

然后（如上所述在 $q$ 和 $t$ 中进行傅里叶变换）

$$\hat{D}=i(-i\omega )+\frac{1}{2m}(ik{)}^2=\omega -\frac{k^2}{2m}$$

和

$$\hat{G}=\frac{1}{\omega -\frac{k^2}{2m}}$$

$\mathrm{A}$ 的解 $\psi$ 将通过计算 $\hat{G}\hat{J}$ 的傅里叶逆变换给出，如 12.14 所示

$$\psi (q,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\omega -\frac{k^2}{2m}}\hat{J}(\omega ,k)e^{-i\omega t}{e}^{ikq}d\omega dk\text{\hspace{1em}(12.16)}$$

这里 $\hat{D}$ 在集合 $\begin{array}{r}\omega =\frac{k^2}{2m}\end{array}$ 上为零，而 $D\psi =J$ 解的非唯一性反映在如何处理穿过点 $\begin{array}{r}\omega =\frac{k^2}{2m}\end{array}$ 的积分的不确定性上

对于具有初始数据$\psi (q,0)$、在时刻$t=0$的薛定谔方程的解$\psi (q,t)$，如果我们定义${\psi }_{+}(q,t)=\theta (t)\psi (q,t)$，就得到“推迟”解

$${\psi }_{+}(q,t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{U}_{+}(t,q-q_0)\psi (q_0,0)d{q}_0$$

其中 $U+(t,q-q_0)$ 是推迟传播子 $\mathrm{gi}$，由方程 12.12 和 12.13 给出。由于

$$D{\psi }_{+}(q,t)=(D\theta (t))\psi (q,t)+\theta (t)D\psi (q,t)=i\delta (t)\psi (q,t)=i\delta (t)\psi (q,0)$$

${\psi }_{+}(q,t)$ 是 12.14 的一个解，且

$$J(q,t)=i\delta (t)\psi (q,0),\hat{J}(\omega ,k)=\frac{i}{\sqrt{2\pi }}\tilde{\psi }(k,0)$$

利用12.16得到用格林函数表示的${\psi }_{+}(q,t)$的表达式，我们有

$$\begin{array}{rl}{\psi }_{+}(q,t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\hat{G}(\omega ,k)\frac{i}{\sqrt{2\pi }}\tilde{\psi }(k,0)e^{-i\omega t}{e}^{ikq}d\omega dk\\ & ={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^2{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }i\hat{G}(\omega ,k)e^{-i\omega t}{e}^{ik(q-q^{\prime })}d\omega dk\right)\psi (q^{\prime },0)d{q}^{\prime }\end{array}$$

将其与方程 12.12 和 12.13 相比较，我们发现，能给出推迟解 ${\psi }_{+}(q,t)$ 的格林函数是

$${\hat{G}}_{+}(\omega ,k)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\omega -\frac{k^2}{2m}+iϵ}$$

并与推迟传播子相关，关系为

$$\hat{U}(\omega ,k)=\frac{i}{2\pi }{\hat{G}}_{+}(\omega ,k)$$

也可以定义“超前”格林函数，通过

$${\hat{G}}_{-}=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\omega -\frac{k^2}{2m}-iϵ}$$

而${\hat{G}}_{-}\hat{J}$的傅里叶逆变换也将是12.14的一个解。取推迟格林函数与超前格林函数之差，得到一个算符

$$\hat{\Delta }=\frac{i}{2\pi }({\hat{G}}_{+}-{\hat{G}}_{-})$$

其性质为：对于 $J,\Delta J$ 的任意选取，它都将是薛定谔方程的一个解（因为它是非齐次方程 12.14 的两个解之差）。$\Delta$ 的性质可以通过使用 12.11 来证明

$$\hat{\Delta }=\delta (\omega -\frac{k^2}{2m})$$

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