12.6 频率-动量空间中的传播子

由方程12.4定义的传播子将取时间0处的波函数，并给出任意其他时间 $t$ 处的波函数，无论该时间是正还是负。我们将发现，定义一个考虑因果性的传播子版本是有用的，该版本仅对 $t > 0 :$ 给出非零结果。

定义（推迟传播子）

推迟传播子由下式给出
$U_{+} (t, q_{t} - q_{0}) = {0 U (t, q_{t} - q_{0}) t < 0 t > 0$

这也可以写成

U_{+} (t, q_{t} - q_{0}) = θ (t) U (t, q_{t} - q_{0})

其中 $θ (t)$ 是阶跃函数

θ (t) = {10 t > 0 t < 0

我们将使用由下式给出的 $θ (t)$ 的积分表示

θ (t) = ϵ \to 0^{+} lim \frac{i}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{ω + i ϵ} e^{- iω t} d ω (12.10)

为推导这一点，注意作为分布， $θ (t)$ 的傅里叶变换由下式给出

ϵ \to 0^{+} lim \frac{i}{2 π} \frac{1}{ω + i ϵ}

因为该计算

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} θ (t) e^{iω t} d t = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{+ \infty} e^{iω t} d t = \frac{1}{2 π} (- \frac{1}{iω})

对于将 $ω$ 替换为 lim $ρ_{1 0^{+}} (ω + i ϵ)$ 是有意义的（或者，对于 $ω$ 复数的实边界值，取值于上半平面）。傅里叶反演于是给出方程 12.10。

题外话。积分 12.10 也可以用变量 $ω$ 中的复分析方法计算。柯西积分公式指出，一个具有单极点的亚纯函数沿闭曲线的积分等于 $b y$ 2 $π i$ 乘以各极点处留数之和。对于 $t < 0$ ，由于当 $ω$ 具有非零正虚部时 $e^{- iω t}$ 呈指数衰减，沿实 $ω$ 轴的积分将与在上半平面中闭的的半圆 $C_{+}$ 上的积分相同（半圆的半径取为无穷大）。 $C_{+}$ 不包围任何极点，因此积分为 0。

图 12.2：通过围道积分计算 $θ (t)$ 。

对于 $t > 0$ ，人们改为在下半平面用 $C_{-}$ 闭合路径，并发现该积分可以用极点 $o f$ 在 $ω = - i ϵ$ 处的留数来求值（负号来自曲线的定向），从而得到

θ (t) = - 2 π i (\frac{i}{2 π}) = 1

通过类似的论证可以证明， $θ (- t)$ （作为分布）具有傅里叶变换

ϵ \to 0^{+} lim - \frac{i}{2 π} \frac{1}{ω - i ϵ}

以及积分表示

θ (- t) = ϵ \to 0^{+} lim - \frac{i}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{ω - i ϵ} e^{- iω t} d ω

将 $1/ 2 π$ 乘以 $θ (t)$ 与 $θ (- t)$ 的傅里叶变换之和，即得到该分布

ϵ \to 0^{+} lim \frac{i}{2 π} (\frac{1}{ω + i ϵ} - \frac{1}{ω - i ϵ}) = ϵ \to 0^{+} lim \frac{i}{2 π} \frac{- 2 i ϵ}{ω ^{2} + ϵ ^{2}} = ϵ \to 0^{+} lim \frac{1}{π} \frac{ϵ}{ω ^{2} + ϵ ^{2}} = δ (ω) (12.11)

正如人们所预期的那样，因为狄拉克函数 $δ (ω)$ 是……的傅里叶变换

\frac{1}{2 π} (θ (t) + θ (- t)) = \frac{1}{2 π}

回到传播子，如 11.5 节中那样，可以对时间作傅里叶变换，从而得到一个依赖于频率 $ω$ 的传播子。方程 12.6 关于时间的傅里叶变换是

U (ω, k) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{2 π} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t}) e^{iω t} d t = δ (ω - \frac{1}{2 m} k^{2})

使用方程 12.5 和 12.10，位置空间中的推迟传播子由下式给出

U_{+} (t, q_{t} - q_{0}) = ϵ \to 0^{+} lim (\frac{1}{2 π})^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{i}{ω + i ϵ} e^{- iω t} e^{ik (q_{t} - q_{0})} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t} d ω d k = ϵ \to 0^{+} lim (\frac{1}{2 π})^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{i}{ω + i ϵ} e^{- i (ω + \frac{1}{2 m} k^{2}) t} e^{ik (q_{t} - q_{0})} d ω d k

将积分变量平移

ω \to ω^{'} = ω + \frac{1}{2 m} k^{2}

可得

U_{+} (t, q_{t} - q_{0}) = ϵ \to 0^{+} lim (\frac{1}{2 π})^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{i}{ω ^{'} - \frac{1}{2 m} k ^{2} + i ϵ} e^{- i ω^{'} t} e^{ik (q_{t} - q_{0})} d ω^{'} d k

但这是傅里叶变换

U_{+} (t, q_{t} - q_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} U_{+} (ω, k) e^{- iω t} e^{ik (q_{t} - q_{0})} d ω d k (12.12)

其中

U_{+} (ω, k) = ϵ \to 0^{+} lim \frac{i}{2 π} \frac{1}{ω - \frac{1}{2 m} k ^{2} + i ϵ} (12.13)

题外话。通过与上述关于 $θ (t)$ 积分表示相同的论证，但此时极点位于

ω = \frac{1}{2 m} k^{2} - i ϵ

方程12.12中的 $ω$ 积分可通过柯西积分公式计算，从而恢复关于 $U (t, q_{t} - q_{0})$ 的公式12.9

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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