26.6 任意 d 的复结构与Bargmann-Fock量子化

26.6 任意 d 的复结构与Bargmann-Fock量子化

从$d=1$推广到任意$d,$，湮灭算符和产生算符方法所引入的额外结构部分以下列方式出现：

• 作为正相容复结构 $J$ 的一种选择，或等价地作为一种分解

$$\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}={\mathcal{M}}_J^{+}\oplus {\mathcal{M}}_J^{-}$$

• 作为 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 的元素量子化的一种划分，分为产生算符（来自 ${\mathcal{M}}_J^{+})$）和湮灭算符（来自 ${\mathcal{M}}_J^{-})$）。将存在一个相应的依赖于 $J$ 的算符 $O$ 的正规序定义，该算符是此类算符的乘积，用 $:\mathcal{O}:\mathbf{ȷ}$ 表示

• 作为特殊的向量 $|0{⟩}_J,$，$\mathcal{H}$ 中被所有湮灭算符湮灭的向量。在薛定谔表示中将其写为 $L^2({\mathbf{R}}^d)$ 中的位置空间波函数时，它将是一个高斯函数，推广了方程 26.20 的 $d=1$ 情形，其中 $\tau$ 现在是一个具有正定虚部的对称矩阵。这类矩阵参数化正相容复结构的空间，该空间称为“西格尔上半空间”。

• 作为 $Sp(2n,\mathbf{R})$ 的一个特异子群，即与 $J$ 交换的子群。该子群将同构于群 $U(n)$。正相容复结构的 Siegel 上半空间也可描述为陪集空间 $Sp(2n,\mathbf{R})/U(n)$

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来源版本：2025-10-20

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