26.5 复结构用于 d=1 和压缩态

26.5 复结构用于 d=1 和压缩态

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为了更好地理解除$J_0$之外的其他复结构会发生什么，本节我们将考察$d=1$的情形。我们可以推广$J=J_0$的选择，其中${\mathcal{M}}_{J_0}^{+}$的一组基由下式给出

$$z=\frac{1}{\sqrt{2}}(q-ip)$$

通过将$i$替换为任意复数$\tau$。那么，$q-\tau p$属于${\mathcal{M}}_J^{+}$且其共轭属于${\mathcal{M}}_J^{-}$的条件是

$$J(q-\tau p)=J(q)-\tau J(p)=i(q-\tau p)$$ $$J(q-\overline{\tau }p)=J(q)-\overline{\tau }J(p)=-i(q-\overline{\tau }p)$$

将两式相减和相加得到

$$J(p)=-\frac{1}{\mathrm{Im}(\tau )}q+\frac{\mathrm{Re}(\tau )}{\mathrm{Im}(\tau )}p$$

和

$$J(q)=-\frac{\mathrm{Re}(\tau )}{\mathrm{Im}(\tau )}q+\left(\mathrm{Im}(\tau )+\frac{(\mathrm{Re}(\tau ){)}^2}{\mathrm{Im}(\tau )}\right)p$$

分别地。推广 26.4，$J$ 的矩阵为

$$J=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{Re}(\tau )}{\mathrm{Im}(\tau )}& \mathrm{Im}(\tau )\frac{(\mathrm{Re}(\tau ){)}^2}{\mathrm{Im}(\tau )}\\ -\frac{1}{\mathrm{Im}(\tau )}& \frac{\mathrm{Re}(\tau )}{\mathrm{Im}(\tau )}\end{array}\right)=\frac{1}{\mathrm{Im}(\tau )}\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{Re}(\tau )& |\tau {|}^2\\ -1& \mathrm{Re}(\tau )\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(26.17)}$$

并且容易验证 det $J=1$，因此 $J\in SL(2,\mathbf{R})$ 且与 Ω 相容。

这里的正性条件是 $\Omega (\cdot ,J\cdot )$ 在 $\mathcal{M}$ 上为正，用矩阵（见 16.2）表述即为矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)J^T=\frac{1}{\mathrm{Im}(\tau )}\left(\begin{array}{cc}|\tau {|}^2& \mathrm{Re}(\tau )\\ \mathrm{Re}(\tau )& 1\end{array}\right)$$

$\mathrm{gi}$ 给出一个正定二次型。当 $\mathrm{Im}(\tau )>0$ 时，情况将如此。我们由此构造了一个 $J$ 的集合，它们是正的、与 $\Omega ,$ 相容，并由上半平面的一个元素 $\tau$ 参数化，其中 $J_0$ 对应于 $\tau =i$

构造满足标准对易关系的湮灭算符和产生算符

$$[a_{\tau },a_{\tau }]=[a_{\tau }^{†},a_{\tau }^{†}]=0,[a_{\tau },a_{\tau }^{†}]=1$$

集合

$$a_{\tau }=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{Im}(\tau )}}(Q-\overline{\tau }P),a_{\tau }^{†}=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{Im}(\tau )}}(Q-\tau P)$$

哈密顿算子

$$H_{\tau }=\frac{1}{2}(a_{\tau }{a}_{\tau }^{†}+a_{\tau }^{†}{a}_{\tau })=\frac{1}{2\mathrm{Im}(\tau )}(Q^2+|\tau {|}^2{P}^2-\mathrm{Re}(\tau )(QP+PQ))\text{\hspace{1em}(26.18)}$$

将具有特征值 $n+\frac{1}{2}$，其中 $n=0,1,2,\cdots$。其最低能量态将满足

$$a_{\tau }|0{⟩}_{\tau }=0\text{\hspace{1em}(26.19)}$$

在薛定谔表示中，这是微分方程

$$(Q-\overline{\tau }P)\psi (q)=\left(q+i\overline{\tau }\frac{d}{dq}\right)\psi (q)=0$$

其解为

$$\psi (q)\propto e^{i\frac{\tau }{2|\tau {|}^2}{q}^2}\text{\hspace{1em}(26.20)}$$

这将是 Im $.(\tau )>0$ 的一个可归一化态，再次表明正性条件的必要性。

$H_{\tau }$ 对于实数 $\tau =ic,c>0$ 的本征态，在物理学中被称为“压缩态”。根据方程 26.20，最低能量态 |0⟩ 将具有正比于

$$e^{-\frac{1}{2c}{q}^2}$$

而更高能量的本征态 |n⟩ 在其位置依赖中也将具有这样的高斯因子。对于 $c<1$，此类态的空间宽度将比常规量子更窄（因此得名“压缩”），但在动量空间中的宽度更宽。对于 $c>1$，情况则相反。在某种我们不会试图精确化的意义上，当 $c\to \infty$ 和 $c\to 0$ 时的极限分别对应于位置空间和动量空间中的薛定谔表示（其中特殊的 Bargmann-Fock 态 |0⟩ 在位置空间或动量空间中趋近于常函数）。

子群 $\mathbf{R}\subset SL(2,\mathbf{R})$ 方程的 24.7 非平凡地作用在 $J_0.$ , 由

$$J_0=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{e}^r& 0\\ 0& e^{-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{e}^{-r}& 0\\ 0& e^r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& e^{2r}\\ -e^{-2r}& 0\end{array}\right)$$

取$J_0$到具有参数$\tau =i{e}^{2r}$的复结构

回忆第24.4节，在复化相空间上从$q,p$坐标变换到$z,\overline{z}$坐标时，群$SL(2,\mathbf{R})$变为同构的群$SU(1,1)$，即矩阵群

$$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)$$

满足

$$|\alpha {|}^2-|\beta {|}^2=1$$

观察给出两个群之间共轭关系的方程 24.11，我们看到

$$\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)\in SU(1,1)\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\in SL(2,\mathbf{R})$$

正如预期，在这些坐标下，$J_0$ 通过乘以 $i,$ 作用于 $z$，通过乘以 $\mathrm{by}-i$ 作用于 $\overline{z}$

$SU(1,1)$ 矩阵可以通过取 $t,\theta ,{\theta }^{\prime }$ 来参数化

$$\alpha =e^{i{\theta }^{\prime }}\cosh t,\beta =e^{i\theta }\sinh t$$

这样的矩阵将具有平方−1，并在${\theta }^{\prime }=\frac{\pi }{2}$时给出正复结构，因此形式为

$$\left(\begin{array}{cc}i\cosh t& -e^{i\theta }\sinh t\\ -e^{-i\theta }\sinh t& -i\cosh t\end{array}\right)$$

$SU(1,1)$ 的保持 $J_0$ 的 $U(1)$ 子群将是如下形式的矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)$$

使用方程24.9中的矩阵，方程24.7的子群$\mathbf{R}\subset SL(2,\mathbf{R})$将$J_0$映为

$$\left(\begin{array}{cc}\cosh r& \sinh r\\ \sinh r& \cosh r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cosh r& -\sinh r\\ -\sinh r& \cosh r\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{cc}-\cosh 2r& \sinh 2r\\ -\sinh 2r& \cosh 2r\end{array}\right)$$

上一节：26.4 具有厄米内积的复向量空间作为相空间 · 下一节：26.6 任意 d 的复结构与Bargmann-Fock量子化 · English version

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