1.3 酉群表示

量子力学的数学框架与数学家所称的“酉群表示”理论密切相关。我们将在后续章节中详细考察这一概念并处理许多例子，但这里先给出一般理论的简要概述。

1.3.1 李群

在数学的不同域中普遍出现的一个基本概念是群：

定义 · 群

群 $G$ 是一个带有结合乘法的集合，使得该集合包含恒等元，以及每个元素的乘法逆。

如果集合只有有限个元素，则称为“有限群”。这类群的理论及其在量子力学中的应用是一个发展完善的课题，但我们大多会绕过它，转而研究“李群”，李群具有无限多个元素。李群的元素构成某个维数的几何空间，选取该空间上的局部坐标后，群运算由可微函数给出。我们将考虑的大多数李群是“矩阵群”，即由 $n$ 乘 $n$ 可逆矩阵（矩阵元素为实数或复数）构成的群的子群。在这种情况下，群乘法就是矩阵乘法。我们将详细考虑的一个例子是三维空间中绕一个点的所有旋转构成的群，此时这类旋转可以等同于3乘3矩阵，旋转的复合对应于矩阵的乘法。

题外话。李群的一个标准定义是：一个光滑流形，其群运算由光滑（无穷次可微）映射给出。更一般地，人们可以考虑拓扑流形和连续映射，但这不会带来任何新东西（根据希尔伯特第五问题的解答）。大多数令人感兴趣的有限维李群都是矩阵李群，它们可以定义为某个固定维数的可逆矩阵群的闭子群。量子力学中一个特别重要的群（metaplectic 群，见第 20 章）不是矩阵群，因此需要更一般的定义来包含这种情况。

1.3.2 群表示

群常常以“变换群”的形式出现，即由作为某个特定几何对象的变换而作用的元素组成的群。在上面提到的三维旋转群的例子中，这类旋转是 $R^{3}$ 的线性变换。一般来说：

定义 · 群在集合上的作用

群 $G$ 在集合 $M$ 上的作用由一个映射给出

$(g, x) \in G \times M \to g \cdot x \in M$

将一对 $(g, x)$ （由一个群元素 $g \in G$ 和一个元素 $x \in M$ 组成）映为另一个元素 $g \cdot x \in M$ ，使得

$g_{1} \cdot (g_{2} \cdot x) = (g_{1} g_{2}) \cdot x (1.2)$

和

$e \cdot x = x$

其中 $e$ 是 $G$ 的恒等元

一个值得牢记的好例子是三维空间 $M = R^{3}$ 及其标准内积。它带有两个保持内积的不同群作用

群 $G_{1} = R^{3}$ 通过平移在 $R^{3}$ 上的一个作用。

群 $G_{2} = O (3)$ 的作用，该群由 $R^{3}$ 的三维正交变换组成。这些是绕原点的旋转（可能结合一个反射）。注意在这种情况下阶数很重要：对于像 $O (3)$ 这样的非交换群，对某些群元素 $g_{1}, g_{2}$ 有 $g_{1} g_{2} \neq = g_{2} g_{1}$

现代数学的一条基本原理是：理解一个由某一点集给出的空间 $M,$ 的方法，是考察 $F (M)$ ，即该空间上函数的集合。这使问题“线性化”，因为无论原集合的几何结构如何，函数空间都是向量空间。如果该集合只有有限个元素，则函数空间将是有限维向量空间。但一般而言，它将是无限维的，并且需要进一步指定所考虑的函数空间（例如连续函数、可微函数、具有有限范数的函数等）。

给定 $G$ 在 $M,$ 上的一个群作用， $M$ 上的函数通过线性变换带有 $G$ 的作用，由下式给出

(g \cdot f) (x) = f (g^{- 1} \cdot x) (1.3)

其中 $f$ 是 $M$ 上的某个函数。

群中元素作用的顺序可能重要，因此需要逆来得到群作用性质1.2，因为

g_{1} \cdot (g_{2} \cdot f) (x) = (g_{2} \cdot f) (g_{1}^{- 1} \cdot x) = f (g_{2}^{- 1} \cdot (g_{1}^{- 1} \cdot x)) = f ((g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}) \cdot x) = f ((g_{1} g_{2})^{- 1} \cdot x) = (g_{1} g_{2}) \cdot f (x)

对于非交换的 $G$ ，如果定义 $(g \cdot f) (x) = f (g \cdot x)$ ，这一计算将无法正确进行。

人们可以从这一情形中抽象出来，并如下定义一个表示，即群通过线性变换在向量空间上的作用：

定义 · 群表示

群 $G$ 的表示 $(π, V)$ 是一个同态

$π : g \in G \to π (g) \in G L (V)$

其中 $G L (V)$ 是可逆线性映射 $V \to V$ 构成的群，而 $V$ 是一个向量空间。

说映射 $π$ 是同态意味着

π (g_{1}) π (g_{2}) = π (g_{1} g_{2})

对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$ ，即它满足得到群作用所需的性质。我们主要关注复表示的情形，其中 $V$ 是复向量空间，因此除非另有说明，从现在起应当假定表示是复的（将存在表示为实的情形）。

当 $V$ 是有限维的且已选定 $V$ 的一个基时，线性映射与矩阵可以等同起来（见第 4 章中线性代数的回顾）。这样的等同给出一个同构

G L (V) ≃ G L (n, C)

可逆线性映射群 $V$ 的表示，即 $G L (n, C)$ ，即可逆 $n$ 乘 $n$ 复矩阵群。我们将从研究有限维表示开始，并力求作出严格的陈述。之后我们将转向函数空间上的表示，它们是无限维的，届时往往忽略严格性和分析上的困难。注意，只有当 $M$ 是有限点集时，我们才会通过这种方式得到有限维矩阵的作用，因为此时 $F (M)$ 将是有限维向量空间（ $C^{# of points in M}$ ）。

在有限维情形下理解这一构造的一个好例子如下：

取 $M$ 为一个由 3 个元素 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 组成的集合。因此 $F (M) = C^{3}$ 。对于 $f \in$ ， $F (M), f$ 是 $C^{3}$ 中的一个向量，其分量为 $(f (x_{1}), f (x_{2}), f (x_{3}))$ 。

取 $G = S_{3}$ ，即 3 个元素的置换群。这个群有 $3! = 6$ 个元素。

令 $G$ 通过置换这 3 个元素作用于 $M$

(g, x_{j}) \to g \cdot x_{j}

这个群作用通过线性映射给出了 $G$ 在 $F (M)$ 上的一个表示

(π (g) f) (x_{j}) = f (g^{- 1} \cdot x_{j})

取 $F (M) = C^{3}$ 的标准基，第 $j^{'}$ 个基元素将对应于函数 $f$ ，该函数在 $x_{j}$ 上取值 1，而在另外两个元素上取值 0。关于这个基， $π (g)$ 给出六个 3 乘 3 复矩阵，这些矩阵在矩阵乘法下满足与群元素在群乘法下相同的关系。在这个特殊情形中，矩阵的所有元素都将为 0 或 1，但这是置换表示所特有的。

一个常见的混淆来源是，表示 $(π, V)$ 有时用映射 $π$ 来指代，而隐含了矩阵 $π (g)$ 所作用的向量空间 $V$ ，但另一些时候则通过指定向量空间 $V,$ 来指代，而隐含了映射 $π .$ 。造成这种情况的一个原因是，映射 $π$ 可能是恒等映射：通常 $G$ 是一个矩阵群，即 $G L (n, C)$ 的子群，通过矩阵对向量的标准作用作用于 $V ≃ C^{n}$ 。不过应当记住，仅仅指定 $V$ 一般不足以指定表示，因为它可能不是标准表示。例如，它完全可能是 $V,$ 上的平凡表示，其中

π (g) = 1_{n}

即， $G$ 的每个元素都作为恒等作用于 $V$ 。

1.3.3 酉群表示

最有趣的一类复表示往往是那些线性变换 $π (g)$ 为“酉的”的表示，它们保持由标准厄米内积给出的长度概念，从而将单位向量映为单位向量。我们有如下定义：

定义 · 酉表示

在具有厄米内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 的复向量空间 $V$ 上的表示 $(π, V)$ 是酉表示，如果它保持内积，即

$⟨ π (g) v_{1}, π (g) v_{2} ⟩ = ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$

对于所有 $g \in G$ 和 $v_{1}, v_{2} \in V$

对于酉表示，矩阵 $π (g)$ 取值于一个子群 $U (n) \subset G L (n, C)$ 中。在我们对线性代数的回顾（第4章）中，我们将看到 $U (n)$ 可以刻画为 $n$ 乘 $n$ 复矩阵 $U$ 构成的群，使得

U^{- 1} = U^{†}

其中 $U^{†}$ 是 $U$ 的共轭转置。注意，我们将使用记号“ $†$ ”来表示“伴随”或共轭转置矩阵。这一记号在物理学中相当普遍，而数学家则更倾向于使用“ $*$ ”而不是“ $†$ ”。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 6、7、8、9、10

来源版本：2025-10-20

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