43.6 相互作用标量场理论：一些评论

43.6 相互作用标量场理论：一些评论

迄今为止，我们的讨论纯粹涉及一种非相互作用量子的理论，因此这种理论被称为自由场的量子理论。然而，场可以用来在这些量子之间引入相互作用，这些相互作用在空间中是局域的。最简单的此类理论是通过向哈密顿算子中添加一个四次项而给出的，即取

$$\hat{H}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}:\frac{1}{2}(\hat{\Pi }(\mathbf{x}{)}^2+(\nabla \hat{\Phi }(\mathbf{x}){)}^2+m^2\hat{\Phi }(\mathbf{x}{)}^2)+\lambda \hat{\Phi }(\mathbf{x}{)}^4:d^3\mathbf{x}$$

这个相互作用理论远比非相互作用理论复杂得多，也难理解得多。由此产生的困难问题包括：

• 应如何理解表达式

$$:\hat{\Phi }(\mathbf{x}{)}^4:$$

因为它不是算符的乘积，而是算符值分布的乘积？

• 如何构造一个合适的状态空间，使得相互作用哈密顿算符在其中能够良定义，并具有良定义的基态？

量子场论教科书解释了如何通过一项计算，在自由场值$\lambda =0$附近构造以$\lambda$的幂次展开的级数展开，该计算的各项由费曼图标记。为了得到有限结果，必须先引入截断，然后找到某种方法，使得在移除截断时能得到合理的极限（这就是“重正化”理论）。以这种方式，可以找到级数展开中各项的有限结果，但该展开不收敛，仅给出一个渐近级数（对于固定的$\lambda$，无论它多么小，该级数在足够高的阶数上都会发散）。

对于已知的不基于级数展开的计算方法，同样必须引入截断，使自由度的数目变为有限。

对于一个固定的紫外截断，其在物理上对应于只允许动量分量小于给定值的域，人们可以构造一个具有非平凡作用量的合理理论（例如，一个粒子被另一个粒子散射，这在自由理论中不会发生）。对于远低于截断的动量，这给出了一个合理的理论。然而，看来对于三维或更多空间维数，去除截断在极限中总是会回到非相互作用的自由域理论。因此，除了自由域理论之外，没有已知的连续相对论量子域理论是关于标量域的，可以通过这种方式构造。

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来源版本：2025-10-20

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