43.5 标量场传播子

43.5 标量场传播子

如同任何量子场论一样，需要计算的一个基本量是传播子，而对于自由量子场论，传播子实际上可用于计算多粒子态之间的所有振幅。对于自由相对论标量场论，我们有

定义（传播子，克莱因-戈尔登理论）

相对论标量场论的传播子是振幅

$$U(t_2,{\mathbf{x}}_2,t_1,{\mathbf{x}}_1)=⟨0|\hat{\Phi }(t_2,{\mathbf{x}}_2)\hat{\Phi }(t_1,{\mathbf{x}}_1)|0⟩$$

由平移不变性，传播子将只依赖于$t_2-t_1$和${\mathbf{x}}_2-{\mathbf{x}}_1$，因此我们只需计算情形$(t_1,{\mathbf{x}}_1)=(0,0),(t_2,{\mathbf{x}}_2)=(t,\mathbf{x})$，利用含时量子场的公式43.23得到

$$\begin{array}{rlr}& & U(t,\mathbf{x},0,0)=\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbf{R}}^3\times {\mathbf{R}}^3}⟨0|(a(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+a^{†}(\mathbf{p})e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\\ & & (a({\mathbf{p}}^{\prime })+a^{†}({\mathbf{p}}^{\prime }))|0⟩\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\frac{d^3{\mathbf{p}}^{\prime }}{\sqrt{2{\omega }_{{\mathbf{p}}^{\prime }}}}\\ & & =\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbf{R}}^3\times {\mathbf{R}}^3}{\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\frac{d^3{\mathbf{p}}^{\prime }}{\sqrt{2{\omega }_{{\mathbf{p}}^{\prime }}}}\\ & & =\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\frac{d^3\mathbf{p}}{2{\omega }_{\mathbf{p}}}\\ & & =\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbf{R}}^4}\theta (p_0)\delta (p^2+m^2)e^{-i{p}_{0}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}{d}^3\mathbf{p}d{p}_0\end{array}$$

最后一行表明，该分布是正能量双曲面上的狄拉克函数分布在闵可夫斯基空间中的傅里叶变换

$$p^2=-p_0^2+|\mathbf{p}{|}^2=-m^2$$

如同非相对论情形（见 12.5 节），这是一个分布，可以定义为复时间的解析函数的边界值。该积分可以用 Bessel 函数计算，其性质在所有标准量子场论教科书中都有讨论。这些性质包括：

• 对于 $\mathbf{x}=0$，振幅在时间上振荡，是正频率项的叠加。

• 对于$t=0$，振幅按$e^{-m|\mathbf{x}|}$呈指数衰减

由 $\left(t_1,{\mathbf{x}}_1\right)$ 与 $\left(t_2,{\mathbf{x}}_2\right):(e.g.$ 之间类空间隔处非零振幅所引发的潜在因果性问题的解决在于，对于 $t_1=$ $t_2)$，真正需要对定域于时空点上的可观测量算符 $\mathcal{O}$ 施加的条件是

$$[\mathcal{O}(t_2,{\mathbf{x}}_2),\mathcal{O}(t_1,{\mathbf{x}}_1)]=0$$

对于 $\left(t_1,{\mathbf{x}}_1\right)$ 与 $\left(t_2,{\mathbf{x}}_2\right)$ 类空分离（此条件称为“微观因果性 ${\mathrm{ty}}^{†})$”）。这将确保在一点处对可观测量 $\mathcal{O}$ 的测量不会影响其在类空分离点处的测量，从而避免与因果性发生潜在冲突。对于场算符 $\Phi (t,\mathbf{x})$，可以通过与上述针对 $U(t,\mathbf{x},0,0)$ 的计算类似的计算来求出对易子，结果为

$$\begin{array}{rl}[\hat{\Phi }(t,\mathbf{x}),\hat{\Phi }(0,0)]& =\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbf{R}}^4}\delta (p^2+m^2)(\theta (p_0)e^{ip\cdot x}-\theta (-p_0)e^{-ip\cdot x})d^3\mathbf{p}d{p}_0\\ & =U(t,\mathbf{x},0,0)-U(-t,-\mathbf{x},0,0)\end{array}$$

对于类空的$(t,\mathbf{x})$，这将是零，这一点可以通过注意到结果是洛伦兹不变的，并且在$t=0$处由正则对易关系等于0来看出。

$$[\hat{\Phi }({\mathbf{x}}_1),\hat{\Phi }({\mathbf{x}}_2)]=0$$

任意两个类空向量都由一个洛伦兹变换相联系。注意，对于类空间隔，该对易子的消失是通过粒子和反粒子传播振幅的相消实现的，这表明为保证因果性，量子化时相对论性地选择复结构是必要的。

也可以像 12.7 节单粒子情形那样，使用格林函数方法研究传播子，此时

$$D=-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}+{\nabla }^2-m^2$$ $$\hat{D}(p_0,\mathbf{p})=p_0^2-(|\mathbf{p}{|}^2+m^2)$$

和

$$\hat{G}(p_0,\mathbf{p})=\frac{1}{p_0^2-(|\mathbf{p}{|}^2+m^2)}=\frac{1}{(p_0-{\omega }_{\mathbf{p}})(p_0+{\omega }_{\mathbf{p}})}$$

在非相对论情形中，格林函数$\hat{G}$只有一个极点，位于$p_0=$ $|\mathbf{p}{|}^2/2m$。将$p_0$上的积分延拓到复平面以避开该极点，有两种可能的选择，分别给出推迟格林函数以及从过去到未来的传播，或超前格林函数以及从未来到过去的传播。在克莱因-戈尔登情形中，现在有两个极点，位于$p_0=\pm {\omega }_{\mathbf{p}}$。微观因果性要求将正能量处的极点视为推迟格林函数，正能量粒子从过去向未来传播，而负能量处的极点必须视为超前格林函数，负能量粒子从未来向过去传播。

上一节：43.4 克莱因-戈尔登理论的量子化 · 下一节：43.6 相互作用标量场理论：一些评论 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 456、457、458、459、460、461、462、463、464、465、466、467、468、469、470、471、472

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：65737f2e1f7c3839a49672e59532e89cab73fddb6f19247205e2bacec9524cbe

译稿产物 SHA-256：fadc746b0924b191d27e68a22d37052d2ac04ff046893a2587c6a186a0393be4

机翻模型：deepseek-v4.1-flash