3.5 向量空间的基

由集合张成的子空间

若 $A$ 是向量空间 $V$ 的任意子集，则定义由 $A$ 张成或生成的子空间(span)，记作 $L (A)$ ，为 $A$ 中元素的所有有限线性组合构成的集合，

L (A) = {i = 1 \sum n a^{i} v_{i} ∣ a^{i} \in K, v_{i} \in A, n = 1, 2, \dots} .

之所以在此强调“有限”一词，是因为在尚未获得“极限”概念之前，无限和无法被赋予任何意义（见第10章和第13章）。我们可以把 $L (A)$ 看作 $V$ 的所有包含 $A$ 的子空间的交集——本质上，它是包含 $A$ 的“最小”向量子空间。初看之下，将线性组合的系数 $a^{i}$ 的指标置于上标位置的这种记号可能显得有点奇特，但我们最终会看到，审慎而系统地安排指标能使许多表达式更易于处理。

随文练习

若 $M$ 与 $N$ 是 $V$ 的子空间，证明它们的和 $M + N$ 与它们的并集的张成空间相同， $M + N = L (M \cup N)$

若向量空间 $V$ 可由一个有限集张成，即 $V = L (A)$ ，其中 $A = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ ，则称 $V$ 为有限维(finite dimensional)的 [7]。否则，称 $V$ 为无限维(infinite dimensional)的。当 $V$ 为有限维时，其维数(dimension) $dim V$ 定义为使得 $V$ 可由仅由 $n$ 个向量组成的集合张成的最小数目 $n$ 。

例 3.17

$R^{n}$ 是有限维的，因为它能由“单位向量”集合生成，
$A = {e_{1} = (1, 0, \dots, 0), e_{2} = (0, 1, \dots, 0), \dots, e_{n} = (0, 0, \dots, 1)} .$
由于任意向量 $u$ 均可写成
$u = (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}) = u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2} + \dots + u_{n} e_{n},$
这些向量的张成空间为 $R^{n}$ ，且 $dim R^{n} \leq n$ 。我们将直接看到 $dim R^{n} = n,$ ，正如所料。

例 3.18

$R^{\infty}$ 显然是无限维的。甚至不可能用向量集合 $A = {e_{1}, e_{2}, \dots}$ 张成这个空间，其中
$e_{1} = (1, 0, \dots), e_{2} = (0, 1, \dots), \dots .$
原因在于，这些向量的任意有限线性组合只会产生至多具有有限个非零分量的向量。所有那些为来自 $A$ 的向量的有限线性组合的向量所构成的集合，确实形成 $R^{\infty} .$ 的一个无限维子空间，但它肯定不是整个空间。由 $A$ 张成的空间正是例 3.10 中定义的子空间 $\hat{R}^{\infty}$ 。

随文练习

若 $V$ 是向量空间且 $u \in V$ 是任意非零向量，证明 $dim V = 1$ 当且仅当每个向量 $v \in V$ 都与 $u$ 成比例；即 $v = a u$ 对某个 $a \in K$

随文练习

证明实数轴上的函数集合 $F (R)$ 是一个无限维向量空间。

向量空间的基

若一个向量集合 $A$ 满足：其每一个有限子集 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}} \subseteq A$ 都具有如下性质，则称该向量集合 $A$ 是线性无关(linearly independent)的，通常记作“l.i.”：

i = 1 \sum k a^{i} v_{i} = 0 ⟹ a^{j} = 0 for all j = 1, \dots, k .

换言之，零向量 0 不能写成这些向量的非平凡线性组合。零向量永远不可能是一个线性无关集合的成员，因为对任意 $a \in K$ 都有 $a 0 = 0$ 。如果 $A$ 是向量的有限集， $A = {v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}}$ ，则只需在上述定义中令 $k = n$ 。向量空间 $V$ 的子集 $E$ 称为一个基(basis)，如果它线性无关并且张成整个 $V$ 。一个向量集合若线性无关不成立，则称为线性相关(linearly dependent)。

例 3.19

向量集合 ${e_{1} = (1, 0, \dots, 0), \dots, e_{n} = (0, 0, \dots 0, 1)}$ 张成 $K^{n}$ ，因为每个向量 $v = (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ 都可以表示为线性组合
$v = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + \dots + v_{n} e_{n} .$
它们是线性无关的，因为若 $v = 0$ ，则必有 $v_{1} = v_{2} = \cdot \cdot \cdot v_{n} = 0$ 。因此 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 是 $K^{n}$ 的一个基。

随文练习

证明向量 $f_{1} = (1, 0, 0), f_{2} = (1, 1, - 1) and f_{3} = (1, 1, 1)$ 线性无关，并构成 $R^{3}$ 的一组基

也许令人惊讶的是，即使像 $R^{\infty}$ 这样的无限维向量空间也总有基。不妨试着构造一个基！集合 $A = {e_{1} = (1, 0, 0, \dots)$ $e_{2} = (0, 1, 0, \dots), \dots}$ 显然不行，因为任何具有无限多个非零分量的向量都不能是这些向量的有限线性组合。我们略去证明，因为它严重依赖于佐恩引理，而且这样的基用途有限。在本节的其余部分，我们只考虑有限维空间中的基。

定理 3.3

设 $V$ 是一个维数为 $n$ 的有限维向量空间。子集 $E =$ ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 张成 $V$ 当且仅当它线性无关

证明

仅当：假设 $V = L (E)$ ，使得每个向量 $v \in V$ 都是线性组合

v = i = 1 \sum n v^{i} e_{i} .

于是集合 $E$ 是线性无关的，因为假设存在一个消失的线性组合

i = 1 \sum n a^{i} e_{i} = 0 (a^{i} \in K)

其中，比如说， $a^{1} \neq = 0$ 。将 $e_{1}$ 替换为 $e_{1} = b^{2} e_{2} + \cdot \cdot \cdot + b^{n} e_{n}$ ，其中 $b^{i} = - a^{i} / a^{1}$ ，我们得到

v = j = 2 \sum n \overset{v}{ˉ}^{j} e_{j} where \overset{v}{ˉ}^{j} = v^{j} + b^{j} v^{1} .

因此 $E^{'} = E - {e_{1}}$ 张成 $V_{;}$ ，这与初始假设矛盾，即由于 $dim V = n$ ， $V$ 不能由少于 $n$ 个向量的集合张成

若：假设 $E$ 线性无关。我们的目标是证明它张成整个 $V$ 。由于 $dim V = n$ ，必定存在一个恰好由 $n$ 个向量组成的集合 $F = {f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}$ 张成 $V$ 。根据上述论证，该集合线性无关。将 $e_{1}$ 用来自 $F$ 的向量展开，

e_{1} = a^{1} f_{1} + a^{2} f_{2} + \dots + a^{n} f_{n}, (3.4)

其中，通过对基 $F_{;}$ 的向量进行置换，我们可以假设 $a^{1} \neq = 0$ 。集合 $F^{'} = {e_{1}, f_{2}, ..., f_{n}}$ 是 $V$ 的一个基：

(a) $F^{'}$ 线性无关，因为若存在一个为零的线性组合

c e_{1} + c^{2} f_{2} + \dots + c^{n} f_{n} = 0,

然后代入式 (3.4) 可得

c a^{1} f_{1} + (c a^{2} + c^{2}) f_{2} + \dots + (c a^{n} + c^{n}) f_{n} = 0.

由 ${f_{1}, \dots, f_{n}}$ 与 $a^{1} \neq = 0$ 的线性无关性可知 $c = 0$ ，进而可知 $c^{2} = \dots = c^{n} = 0$

(b) 由式 (3.4)，集合 $F^{'}$ 张成向量空间 $V$

f_{1} = \frac{1}{a ^{1}} (e_{1} - a^{2} f_{2} - \dots - a^{n} f_{n}),

并且每个 $v \in V$ 都必须是 ${e_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}$ 的线性组合，因为它由 ${f_{1}, \dots, f_{n}}$ 张成

继续， $e_{2}$ 必须是唯一的线性组合

e_{2} = b^{1} e_{1} + b^{2} f_{2}, + \dots + b^{n} f_{n} .

由于按假设 $e_{1}$ 与 $e_{2}$ 线性无关，系数 $b^{2}, \dots, b^{n}$ 中至少有一个非零，比如 $b^{2} \neq = 0$ 。重复上述论证可知，集合 $F^{''} = {e_{1}, e_{2}, f_{3}, ..., f_{n}}$ 是 $V$ 的一个基。继续此过程 $n$ 次，即可证明 $E = F^{(n)} = {e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}}$ 是 $V$ 的一个基。 -

推论 3.4

若 $E = {e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}}$ 是向量空间 $V$ 的基，则 $dim V = n$

证明

假设 $dim V = m < n$ 。向量集合 $E^{'} = {e_{1}, e_{2}, ..., e_{m}}$ 线性无关，因为它是线性无关集合 $E$ 的子集。因此，由定理 3.3，它张成 $V$ ，因为它恰好由 $m = dim V$ 个向量组成。但这是不可能的，因为例如向量 $e_{n}$ 不能是 $E^{'}$ 中向量的线性组合。因此必须有 $dim V \geq n$ 。然而，根据维数的定义，不可能有 $dim V > n$ ，因此 $dim V = n$ -

随文练习

证明：若 $A = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}}$ 是线性无关的向量集合，则 $m \leq n = dim V$

定理 3.5

设 $V$ 为有限维向量空间， $n = dim V$ 。若 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 是 $V$ 的基，则每个向量 $v \in V$ 都有唯一的分解

$v = i = 1 \sum n v^{i} e_{i}, v^{i} \in K . (3.5)$
$n$ 个标量 $v^{i} \in K$ 称为向量 $v$ 在此基下的分量(component)。

证明

由于 $e_{i}$ 张成 $V$ ，每个向量 $v$ 都具有形如式 (3.5) 的分解。若存在第二种这样的分解，

v = i = 1 \sum n v^{i} e_{i} = i = 1 \sum n w^{i} e_{i}

那么

i = 1 \sum n (v^{i} - w^{i}) e_{i} = 0.

由于 $e_{i}$ 线性无关，该和式中的每个系数都必须为零， $v^{i} - w^{i} = 0$ 因此 $v^{i} = w^{i}$ ，且分解是唯一的。

定理 3.6

若 $V$ 与 $W$ 是有限维的，则它们同构当且仅当它们具有相同的维数。

证明

设 $V$ 与 $W$ 具有相同的维数 $n$ 。令 ${e_{i}}$ 为 $V$ 的一组基， ${f_{i}}$ 为 $W$ 的一组基，其中 $i = 1, 2, \dots, n$ 。令 $T : V \to W$ 为线性映射，其定义为 $T e_{1} = f_{1}, T e_{2} = f_{2}, ..., T e_{n} = f_{n}$ 。该映射通过线性性唯一地延拓到 $V$ 中的所有向量，

T (i = 1 \sum n v^{i} e_{i}) = i = 1 \sum n v^{i} T e_{i} = i = 1 \sum n v^{i} f_{i}

并且显然是单射且满射。因此， $T$ 是 $V$ 与 $W$ 之间的同构。

反之，假设 $V$ 和 $W$ 是同构的向量空间，并设 $T : V \to W$ 为一个具有逆元 $T^{- 1} : W \to V$ 的线性映射。若 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 是 $V$ 的一个基，我们证明 ${f_{i} = T e_{i}}$ 是 $W :$ 的一个基。

(a) 向量 ${f_{i}}$ 线性无关，因为假设存在标量 $a^{i} \in K$ 使得

i = 1 \sum n a^{i} f_{i} = 0.

然后，

0 = T^{- 1} (i = 1 \sum n a^{i} f_{i}) = i = 1 \sum n a^{i} T^{- 1} f_{i} = i = 1 \sum n a^{i} e_{i}

并且由 ${e_{i}}$ 的线性无关性可知 $a^{1} = a^{2} = \cdot \cdot \cdot = a^{n} = 0$

(b) 为证明向量 ${f_{i}}$ 张成空间 $W$ ，设 $w$ 为 $W$ 中的任意向量，并令 $v = T^{- 1} w \in V$

由于 ${e_{i}}$ 张成 $V$ ，存在标量 $v^{i}$ 使得

v = i = 1 \sum n v^{i} e_{i} .

将映射 $T$ 作用于该方程，得到

w = i = 1 \sum n v^{i} T e_{i} = i = 1 \sum n v^{i} f_{i},

这表明集合 ${f_{1}, \dots, f_{n}}$ 张成 $W .$

由推论3.4可知， $dim W = dim V = n$ ，因为这两个向量空间都有一个由 $n$ 个向量组成的基。

例 3.20

由推论 3.4，空间 $K^{n}$ 是 $n$ 维的，因为如例 3.19 所示，集合 ${e_{i} = (0, 0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)}$ 是一个基。利用定理 3.6，域 $K$ 上每个 $n$ 维向量空间 $V$ 都同构于 $K^{n}$ ，后者可视为 $K .$ 上典型的 $n$ 维向量空间。 $V$ 的每个基 ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}$ 都建立了一个同构 $T : V \to K^{n}$ ，其定义为
$T v = (v^{1}, v^{2}, \dots, v^{n}) \in K^{n} where v = i = 1 \sum n v^{i} f_{i} .$

例 3.20 可能会让读者疑惑，既然通过简单地选取一个基，有限维向量空间 $V$ 的所有性质都可以归结为空间 $K^{n}$ ，我们为何还要费心使用 3.2 节的抽象向量空间工具。然而，这样做会有一些不幸的后果。首先，向量空间 $V$ 有无限多个基，每个基都给出 $V$ 与 $K^{n}$ 之间不同的同构。这两个空间之间的对应没有什么自然之处，因为不存在挑选向量空间 $V$ 的一个优先基的一般方法。此外，任何向量空间概念最好都应给出一个不依赖于基的定义，否则我们总是面临证明它独立于基的选择这一任务。由于这些原因，我们将坚持向量空间理论的“不变量”方法。

线性算符的矩阵

设 $T : V \to V$ 是有限维向量空间 $V$ 上的线性算符。给定 $V$ 的一组基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ ，通过设定定义线性算符 $T$ 关于此基的分量 $T_{k}^{a}$

T e_{j} = i = 1 \sum n T_{j}^{i} e_{i} . (3.6)

由定理 3.5，分量 $T_{j}^{i}$ 由这些方程唯一确定，而方阵 $n \times n$ 矩阵 $T = [T_{j}^{i}]$ 称为 $T$ 关于基 ${e_{i}}$ 的矩阵。通常将上标 $i$ 视为“第一个”指标，标记行，而下标 $j$ 标记列，因此一般建议在这两个指标之间留出一些水平间距。在 2.3 节中，矩阵的分量用带下标的符号如 $A = [a_{ij}]$ 表示，但在一般的向量空间中，最好用这种“混合文字记号”来显示表示线性算符 $T$ 的矩阵的分量。

若 $v = \sum_{k = 1}^{n} v^{k} e_{k}$ 是 $V$ 的任意向量，则其像向量 $\tilde{v} = T v = \sum_{j = 1}^{m} w^{j} e_{j}$ 由下式给出

\tilde{v} = T v = T (j = 1 \sum n v^{j} e_{j}) = j = 1 \sum n v^{j} T e_{j} = j = 1 \sum n i = 1 \sum n v^{j} T_{j}^{i} e_{i},

而 $\tilde{v}$ 的分量由下式给出

\tilde{v}^{i} = (T v)^{i} = j = 1 \sum n T_{j}^{i} v^{j} . (3.7)

若将 $v$ 与 $\tilde{v}$ 的分量写成列向量或 $n \times 1$ 矩阵，则 $v$ 与 $\tilde{v},$

v = v^{1} v^{2} ⋮ v^{n}, \tilde{v} = \tilde{v}^{1} \tilde{v}^{2} ⋮ \tilde{v}^{n},

那么式 (3.7) 就是该矩阵方程的分量表示

\tilde{v} = T v . (3.8)

两个算子的复合 $S T \equiv S \circ T$ 的矩阵由下式给出

S T (e_{i}) = \sum_{j = 1}^{n} S (T_{i}^{j} e_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} T_{i}^{j} S e_{j} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} T_{i}^{j} S_{j}^{k} e_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (S T)_{i}^{k} e_{k}

哪里

(S T)_{i}^{k} = j = 1 \sum n S_{j}^{k} T_{i}^{j} . (3.9)

这可以看作是矩阵乘积 $S T$ 的分量形式公式。

例 3.21

从式 (3.6) 中读取矩阵 $T$ 的分量时应当小心，因为很容易错误地得到“转置”数组。例如，若三维向量空间的一个变换 $T$ 由其在一个基上的作用定义

$e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ ,
$T e_{1} = e_{1} - e_{2} + e_{3} T e_{2} = e_{1} - e_{3} T e_{3} = e_{2} + 2 e_{3},$
那么它关于这个基的矩阵是
$T = 1 - 1 1 10 - 1 012 .$
将 $T$ 作用于向量 $u = x e_{1} + y e_{2} + z e_{3}$ 的结果是
$T u = x T e_{1} + y T e_{2} + z T e_{3} = (x + y) e_{1} + (- x + z) e_{2} + (x - y + 2 z) e_{3},$
这也可以通过将矩阵 $T$ 与列向量 $u =$ $(x, y, z)^{T}$ 相乘得到
$Tu = 1 - 1 1 10 - 1 012 x y z = x + y - x + z x - y + 2 z .$
设 $S$ 是由下式给出的变换
$S e_{1} = e_{1} + 2 e_{3} S e_{2} = e_{2} S e_{3} = e_{1} - e_{2}$
其关于这个基的矩阵为
$S = 102010 1 - 1 0,$
这两个变换的乘积可由下式得出
$S T e_{1} = S e_{1} - S e_{2} + S e_{3} S T e_{2} = S e_{1} - S e_{3} S T e_{3} = S e_{2} + 2 S e_{3} = 2 e_{1} - 2 e_{2} + 2 e_{3} = e_{2} + 2 e_{3} = 2 e_{1} - e_{2} .$
因此， $S T$ 的矩阵是 $S$ 和 $T$ 的矩阵乘积，
$ST = 2 - 2 2 012 2 - 1 0 = 102010 1 - 1 0 1 - 1 1 10 - 1 012 .$

随文练习

在例 3.21 中，通过计算 $T (S e_{i})$ 以及通过求 $T$ 与 $S$ 的矩阵乘积来计算 $T S$ 。

随文练习

若 $V$ 是域 $K = R or C,$ 上的有限维向量空间，维数为 $dim V = n$ ，证明 $V$ 的线性变换群 $G L (V)$ 同构于可逆 $n \times n$ 矩阵构成的矩阵群 $G L (n, K)$ 。

基扩充定理

在向量空间概念的一般定义中，应尽可能避免使用特定的基，但在某些特定情况下，选定一个基可以带来极大的便利。以下定理常常很有用，因为它允许我们将任何线性无关集扩展为一个基。特别地，它意味着如果 $v \in V$ 是任意非零向量，则总能找到一个基使得 $e_{1} = v$

定理 3.7

设 $A = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}}$ 为 $V$ 的任意线性无关子集，其中 $m \leq n = dim V$ 则存在 $V$ 的一个基 $E = {e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}}$ ，使得 $e_{1} = v_{1}, e_{2} = v_{2}, ..., e_{m} =$ $v_{m}$

证明

若 $m = n$ ，则由定理 3.3，集合 $E$ 是 $V$ 的基，无需再证。假设 $m < n$ ，令 $e_{1} = v_{1}, e_{2} = v_{2}, \dots, e_{m} = v_{m}$ 。由推论 3.4，集合 $A$ 不能张成 $V$ ，因为其元素个数少于 $n$ ，故必存在向量 $e_{m + 1} \in V$ 不是 $e_{1}, \dots, e_{m}$ 的线性组合。集合 $A^{'} = {e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m + 1}}$ 线性无关，因为若

a^{1} e_{1} + \dots + a^{m} e_{m} + a^{m + 1} e_{m + 1} = 0,

则必须有 $a^{m + 1} = 0$ ，否则 $e_{m + 1}$ 将是 $e_{1}, \dots, e_{m}$ 的线性组合。 $e_{1}, \dots, e_{m}$ 的线性无关性于是意味着 $a^{1} = a^{2} = \cdot \cdot \cdot = a^{m} = 0. If m + 1 < n$ 继续添加与之前那些向量线性无关的向量，直到得到一个集合 $E = A^{(n - m)}$ ，它是线性无关的且有 $n$ 个元素。这个集合必定是一个基，且该过程无法再继续。

以下例子说明了该定理在应用中是多么有用。

例 3.22

设 $W$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个 $k$ 维向量子空间。我们将证明商空间 $V / W_{;}$ 的维数，即 $W$ 的余维(codimension)，为 $n - k .$ 。由定理 3.7，可以找到 $V$ 的一个基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ ，使得前 $k$ 个向量 $e_{1}, \dots, e_{k}$ 是 $W$ 的一个基。于是 ${e_{k + 1} + W, e_{k + 2} + W, \dots, e_{n} + W}$ 构成 $V / W$ 的一个基，因为每个陪集 $v + W$ 都可以写成
$v + W = v^{k + 1} (e_{k + 1} + W) + v^{k + 2} (e_{k + 2} + W) + \dots + v^{n} (e_{n} + W)$
其中 $v = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} e_{i}$ 是由定理 3.5 给出的唯一展开。因此这些陪集张成 $V / W$ 。它们也线性无关，因为若
$0 + W = a^{k + 1} (e_{k + 1} + W) + a^{k + 2} (e_{k + 2} + W) + \dots + a^{n} (e_{n} + W)$
那么 $a^{k + 1} e_{k + 1} + a^{k + 2} e_{k + 2} + \cdot \cdot \cdot + a^{n} e_{n} \in W$ ，这意味着存在 $b^{1}, \dots, b^{k}$ 使得
$a^{k + 1} e_{k + 1} + a^{k + 2} e_{k + 2} + \dots + a^{n} e_{n} = b^{1} e_{1} + \dots + b^{k} e_{k} .$
由 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 的线性无关性，我们有 $a^{k + 1} = a^{k + 2} = \dots = a^{n} = 0$ 。所需结果随之成立，
$codim W \equiv dim (V / W) = n - k = dim V - dim W .$

例 3.23

设 $A : V \to V$ 是有限维向量空间 $V$ 上的线性算符。定义其秩 $ρ (A)$ 为其像 $im A$ 的维数，其零化度 $ν (A)$ 为其核 $ker A$ 的维数，
$ρ (A) = dim im A, ν (A) = dim ker A .$
由定理 3.7，存在 $V$ 的一个基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ ，使得前 $ν$ 个向量 $e_{1}, \dots, e_{ν}$ 构成 $ker A$ 的一个基，且满足 $A e_{1} = A e_{2} = \cdot \cdot \cdot = A e_{ν} = 0$ 。对于任意向量 $u = \sum_{i = 1}^{n} u^{i} e_{i}$
$A u = i = ν + 1 \sum n u^{i} A e_{i},$
且 $A = L ({A e_{ν + 1}, \dots, A e_{n}})$ )。此外，向量 $A e_{ν + 1}, \dots, A e_{n}$ 线性无关，因为若存在一个非平凡的线性组合
$i = ν + 1 \sum n b^{i} A e_{i} = A (i = ν + 1 \sum n b^{i} e_{i}) = 0$
于是 $\sum_{i = ν + 1}^{n} b^{i} e_{i} \in ker A$ ，这仅当所有 $b^{i} = 0$ 时才可能。因此 $dim im A = n - dim ker A$ ，从而

$ρ (A) = n - ν (A) where n = dim V . (3.10)$

习题

习题 3.7

证明 $R^{2}$ 中的向量 $(1, x)$ 与 $(1, y)$ 线性相关，当且仅当 $x = y$ 。在 $R^{3}$ 中，证明若 $x = y or y = z$ 或 $x = z$ ，则向量 $(1, x, x^{2}), (1, y, y^{2})$ 与 $(1, z, z^{2})$ 线性相关。

将这些命题推广到 $(n + 1)$ 维。

习题 3.8

设 $V$ 与 $W$ 为任意向量空间，它们可能是无限维的，并设 $T : V \to W$ 为一个线性映射。证明：若 $M$ 是 $W$ 的一个线性无关子集，则 $T^{- 1} (M) = {v \in V ∣ T v \in M}$ 是 $V$ 的一个线性无关子集。

习题 3.9

设 $V$ 与 $W$ 分别为维数 $n$ 与 $m$ 的有限维向量空间， $T : V \to W$ 为线性映射。给定 $V$ 的一组基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 与 $W,$ 的一组基 ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}}$ ，证明方程
$T e_{k} = a = 1 \sum m T_{k}^{a} f_{a} (k = 1, 2, \dots, n)$
用以唯一确定线性映射 $T$ 关于这些基的分量矩阵 $m \times n$ 的 $T = [T_{k}^{a}]$ 。

若 $v = \sum_{k = 1}^{n} v^{k} e_{k}$ 是 $V$ 的任意向量，证明其像向量 $w = T v$ 的分量由下式给出
$w^{a} = (T v)^{a} = k = 1 \sum n T_{k}^{a} v^{k} .$
将其写成矩阵方程。

习题 3.10

设 $V$ 为一个四维向量空间， $T : V \to V$ 为一个线性算符，它在一个基 $e_{1}, \dots, e_{4}$ 上的作用为
$T e_{1} = 2 e_{1} - e_{4} T e_{2} = - 2 e_{1} + e_{4} T e_{3} = - 2 e_{1} + e_{4} T e_{4} = e_{1} .$
求 $ker T$ 的一组基与 $im T$ 的一组基，并计算 $T$ 的秩与零化度。

Szekeres · 数学物理

章节

3.5 向量空间的基

由集合张成的子空间

向量空间的基

线性算符的矩阵

基扩充定理

习题

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