48.3 自发对称破缺

48.3 自发对称破缺

希格斯场是一个取值于$R^4$的标量场，并选取了一个复结构，使得它可以被视为取值于${\mathbf{C}}^2.$的$\Phi (\mathbf{x})$，其中$U(1)$和$SU(2)$通过定义表示作用。哈密顿算子为

$$h_{Higgs}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}(|\Pi {|}^2+|(\nabla -i\mathbf{A})\Phi {|}^2-m^2|\Phi {|}^2+\lambda |\Phi {|}^4)d^3\mathbf{x}$$

其中 $A$ 是 $U(1)\otimes SU(2)$ 的矢势场，作用于定义表示，并由系数 $g_1,g_2$ 缩放

注意质量项符号的特殊性以及四次项的存在。这意味着此类理论的动力学无法用我们迄今所用的方法分析。将质量项和四次项视为场的势能，对于常场，这将在场的某些非零值处取得最小值。为分析物理，人们将场 $\Phi$ 平移这样的一个值，并通过势能关于该点的二次展开来近似该理论。这样的理论将具有对应于一个新标量粒子（希格斯粒子）的态，但也将要求对规范对称性进行新的分析，因为规范变换非平凡地作用于势能的最小值空间。关于这种“安德森-希格斯机制”如何影响物理，应查阅标准教科书。

最后，希格斯场与旋量场通过称为汤川项的立方项耦合，其一般形式如

$$h_{Yukawa}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}M\Phi {\Psi }^{†}\Psi d^{3}x$$

其中 $\Psi ,{\Psi }^{†}$ 是旋量域，$\Phi$ 是希格斯域，而 $M$ 是一个复杂的矩阵。当用移位后的希格斯域来表示它时，移位中的常数项给出费米子域中的二次项。这些项决定了自旋为 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 的粒子的质量，以及这些粒子与规范场耦合时出现的所谓混合角。

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