拉格朗日定理 (Lagrange’s theorem)

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§2.5 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 2.3 · 拉格朗日定理 (Lagrange’s theorem)

如果$G$是一个阶数为$n$的有限群，那么每个子群$H$的阶数都是$n$的一个约数

证明

每个陪集$gH$与$H$之间存在一一对应关系，因为如果$g{h}_1=g{h}_2$，那么$h_1=g^{-1}g{h}_2=h_2$。因此，每个陪集$gH$必须有完全相同的$|H|$个元素，由于陪集划分了群$G$，因此$n$是$|H|$的倍数。

§2.5 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 2.3 · Lagrange’s theorem

(Lagrange) If $G$ is afinite group oforder $n$, then the order ofevery subgroup $H$ is a divisor of $n$.

Proof

Every coset $gH$ is in one-to-one correspondence with $H$, for if $g{h}_1=g{h}_2$ then $h_1=g^{-1}g{h}_2=h_2$ . Hence every coset $gH$ must have exactly $H$ elements, and since the cosets partition the group $G$ it follows that $n$ is a multiple of $|H|$ -

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