屈内特公式 (Künneth formula)

Nakahara §6.4.3给出实de Rham上同调的乘积公式；保留系数及空间假设。

词性：名词

已登记的原文定义

Nakahara · second-edition-local · §6.4.3 · PDF 第258页

By comparing the LHS with the RHS, we find  $\alpha^{p - 1} = \delta^{r - p - 1} = 0$ , hence  $\omega_{i}^{p}\wedge \eta_{j}^{r - p} = 0$  in contradiction to our assumption. Thus,  $\omega_{i}^{p}\wedge \eta_{j}^{r - p}$  is a nontrivial element of  $H^{r}(M)$ . Conversely, any element of  $H^{r}(M)$  can be decomposed into a sum of a product of the elements of  $H^{p}(M_{1})$  and  $H^{r - p}(M_2)$  for  $0\leq p\leq r$ . Now we have obtained the Kunneth formula

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Nakahara · second-edition-local · §6.4.3 · PDF 第258页

$$
H ^ {r} (M) = \bigoplus_ {p + q = r} [ H ^ {p} (M _ {1}) \otimes H ^ {q} (M _ {2}) ]. \tag {6.44}
$$

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Nakahara · second-edition-local · §6.4.3 · PDF 第258页

This is rewritten in terms of the Betti numbers as

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Nakahara · second-edition-local

已登记出处中的最早位置：§6.4 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§6.4 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

比较左端与右端，可得 ${\alpha }^{p-1}={\delta }^{r-p-1}=0$，从而 ${\omega }_i^p\wedge {\eta }_j^{r-p}=0$，这与我们的假设矛盾。因此，${\omega }_i^p\wedge {\eta }_j^{r-p}$ 是 $H^r(M)$ 中的一个非平凡元素。反之，$H^r(M)$ 中的任一元素都可分解为 $H^p(M_1)$ 的元素与 $H^{r-p}(M_2)$ 的元素之积的和，其中 $0\le p\le r$。至此我们得到了屈内特公式(Künneth formula)

来源覆盖、定位与记录

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