6.4 德拉姆上同调群的结构

德拉姆上同调群呈现出一种颇为有趣的结构，这种结构用同调群是很难、甚至无法体会到的。

6.4.1 庞加莱对偶

设 $M$ 是 $m$ 维紧流形，并设 $\omega \in H^r(M)$，$\eta \in H^{m-r}(M)$。注意到 $\omega \wedge \eta$ 是一个体积元，我们如下定义内积(inner product) $⟨,⟩:H^r(M)\times H^{m-r}(M)\to \mathbb{R}$：

$$⟨\omega ,\eta ⟩\equiv {\int }_M\omega \wedge \eta .\text{\hspace{1em}(6.35)}$$

该内积是双线性的。此外，它是非奇异的，也就是说，若 $\omega \ne 0$ 或 $\eta \ne 0$，则 $⟨\omega ,\eta ⟩$ 不可能恒为零。于是，(6.35) 给出了 $H^r(M)$ 与 $H^{m-r}(M)$ 之间的对偶，

$$H^r(M)\cong H^{m-r}(M)\text{\hspace{1em}(6.36)}$$

这称为庞加莱对偶。相应地，贝蒂数具有对称性

$$b_r=b_{m-r}.\text{\hspace{1em}(6.37)}$$

由 (6.37) 可知，奇数维空间的欧拉示性数为零，

$$\begin{array}{rl}\chi (M)& =\sum (-1{)}^r{b}_r=\frac{1}{2}\left\{\sum (-1{)}^r{b}_r+\sum (-1{)}^{m-r}{b}_{m-r}\right\}\\ & =\frac{1}{2}\left\{\sum (-1{)}^r{b}_r-\sum (-1{)}^{-r}{b}_r\right\}=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.38)}$$

6.4.2 上同调环

设 $[\omega ]\in H^q(M)$，$[\eta ]\in H^r(M)$。定义 $[\omega ]$ 与 $[\eta ]$ 的乘积为

$$[\omega ]\wedge [\eta ]\equiv [\omega \wedge \eta ].\text{\hspace{1em}(6.39)}$$

由练习 6.2可知，$\omega \wedge \eta$ 是闭的，因此 $[\omega \wedge \eta ]$ 是 $H^{q+r}(M)$ 中的一个元素。此外，$[\omega \wedge \eta ]$ 与 $[\omega ]$ 和 $[\eta ]$ 的代表元的选取无关。例如，若用 ${\omega }^{\prime }=\omega +\mathrm{d}\psi$ 代替 $\omega$，则得到

$$[{\omega }^{\prime }]\wedge [\eta ]\equiv [(\omega +d\psi )\wedge \eta ]=[\omega \wedge \eta +d(\psi \wedge \eta )]=[\omega \wedge \eta ].$$

因此，乘积 $\wedge :H^q(M)\times H^r(M)\to H^{q+r}(M)$ 是一个良定义的映射。

上同调环(cohomology ring) $H^{\ast }(M)$ 由直和定义，即

$$H^{\ast }(M)\equiv \underset{r=1}{\overset{m}{⨁}}{H}^r(M).\text{\hspace{1em}(6.40)}$$

其乘法由前面定义的外积给出，

$$\wedge :H^{\ast }(M)\times H^{\ast }(M)\to H^{\ast }(M).\text{\hspace{1em}(6.41)}$$

加法则是 $H^{\ast }(M)$ 中两个元素的形式和。上同调群优于同调群之处正在于此：链的乘积不是良定义的，因此同调群不可能具有环结构。

6.4.3 屈内特公式

设 $M$ 是两个流形 $M=M_1\times M_2$ 的乘积。设 $\{{\omega }_i^p\}$（$1\le i\le b^p(M_1)$）是 $H^p(M_1)$ 的一组基，$\{{\eta }_i^p\}$（$1\le i\le b^p(M_2)$）是 $H^p(M_2)$ 的一组基。显然，${\omega }_i^p\wedge {\eta }_j^{r-p}$（$1\le p\le r$）是 $M$ 上的一个闭 $r$ 形式。下面证明它不是恰当形式。若它是恰当形式，则可写成

$${\omega }_i^p\wedge {\eta }_j^{r-p}=\mathrm{d}\left({\alpha }^{p-1}\wedge {\beta }^{r-p}+{\gamma }^p\wedge {\delta }^{r-p-1}\right)\text{\hspace{1em}(6.42)}$$

其中 ${\alpha }^{p-1}\in {\Omega }^{p-1}(M_1)$，${\beta }^{r-p}\in {\Omega }^{r-p}(M_2)$，${\gamma }^p\in {\Omega }^p(M_1)$，${\delta }^{r-p-1}\in {\Omega }^{r-p-1}(M_2)$。[若 $p=0$，则令 ${\alpha }^{p-1}=0$。]对(6.42)施行外微分，得到

$$\begin{array}{rl}& {\omega }_i^p\wedge {\eta }_j^{r-p}=d{\alpha }^{p-1}\wedge {\beta }^{r-p}+(-1{)}^{p-1}{\alpha }^{p-1}\wedge d{\beta }^{r-p}\\ & +\mathrm{d}{\gamma }^p\wedge {\delta }^{r-p-1}+(-1{)}^p{\gamma }^p\wedge \mathrm{d}{\delta }^{r-p-1}.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.43)}$$

比较左端与右端，可得 ${\alpha }^{p-1}={\delta }^{r-p-1}=0$，从而 ${\omega }_i^p\wedge {\eta }_j^{r-p}=0$，这与我们的假设矛盾。因此，${\omega }_i^p\wedge {\eta }_j^{r-p}$ 是 $H^r(M)$ 中的一个非平凡元素。反之，$H^r(M)$ 中的任一元素都可分解为 $H^p(M_1)$ 的元素与 $H^{r-p}(M_2)$ 的元素之积的和，其中 $0\le p\le r$。至此我们得到了屈内特公式(Künneth formula)

$$H^r(M)=\underset{p+q=r}{⨁}[H^p(M_1)\otimes H^q(M_2)].\text{\hspace{1em}(6.44)}$$

用贝蒂数改写即为

$$b^r(M)=\sum _{p+q=r}{b}^p\left(M_1\right)b^q\left(M_2\right).\text{\hspace{1em}(6.45)}$$

屈内特公式还给出了各流形的上同调环之间的关系，

$$\begin{array}{rl}{H}^{\ast }(M)& =\sum _{r=1}^m{H}^r(M)=\sum _{r=1}^m\underset{p+q=r}{⨁}{H}^p\left(M_1\right)\otimes H^q\left(M_2\right)\\ & =\sum _p{H}^p\left(M_1\right)\otimes \sum _q{H}^q\left(M_2\right)=H^{\ast }\left(M_1\right)\otimes H^{\ast }\left(M_2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(6.46)}$$

练习 6.5

设 $M=M_1\times M_2$。证明

$$\chi (M)=\chi \left(M_1\right)\cdot \chi \left(M_2\right).\text{\hspace{1em}(6.47)}$$

例 6.5

设 $T^2=S^1\times S^1$ 为环面。由于 $H^0(S^1)=\mathbb{R}$ 且 $H^1(S^1)=\mathbb{R}$，我们有

$$H^0\left(T^2\right)=\mathbb{R}\otimes \mathbb{R}=\mathbb{R}\text{\hspace{1em}(6.48a)}$$

$$H^1\left(T^2\right)=(\mathbb{R}\otimes \mathbb{R})\oplus (\mathbb{R}\otimes \mathbb{R})=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\text{\hspace{1em}(6.48b)}$$

$$H^2\left(T^2\right)=\mathbb{R}\otimes \mathbb{R}=\mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(6.48c)}$$

注意庞加莱对偶 $H^0(T^2)=H^2(T^2)$。[注：$\mathbb{R}\otimes \mathbb{R}$ 是张量积，不要与直积混淆。显然，两个实数之积仍是实数。] 下面用 $T^2$ 的坐标作参数化，

即写成 $({\theta }_1,{\theta }_2)$，其中 ${\theta }_i$ 是 $S^1$ 的坐标。群 $H^r(T^2)$ 由下列微分形式生成：

$$r=0:{\omega }_0=c_0{c}_0\in \mathbb{R}$$

$$r=1:{\omega }_1=c_1\mathrm{d}{\theta }_1+c_1^{\prime }\mathrm{d}{\theta }_2{c}_1,c_1^{\prime }\in \mathbb{R}\text{\hspace{1em}(6.49a)}$$

$$r=2:{\omega }_2=c_2\mathrm{d}{\theta }_1\wedge \mathrm{d}{\theta }_2{c}_2\in \mathbb{R}.$$

一次形式 $\mathrm{d}{\theta }_i$ 虽然看起来像恰当形式，但不存在在 $S^1$ 上唯一确定的函数 ${\theta }_i$。由于 $\chi (S^1)=0$，我们有 $\chi (T^2)=0$。

类似地可以求出

$$T^n=\underset{n}{\underbrace{S^1\times \cdots \times S^1}}$$

的德拉姆上同调群。$H^r(T^n)$ 由形如 $r$ 次形式

$$\mathrm{d}{\theta }^{i_1}\wedge \mathrm{d}{\theta }^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\theta }^{i_r}\text{\hspace{1em}(6.50)}$$

生成，其中 $i_1<i_2<\cdots <i_r$ 从 $1,\dots ,n$ 中选取。显然

$$b^r=\dim H^r\left(T^n\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right).\text{\hspace{1em}(6.51)}$$

由 (6.51) 可直接得到欧拉示性数：

$$\chi \left(T^n\right)=\sum (-1{)}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=(1-1{)}^n=0.\text{\hspace{1em}(6.52)}$$

6.4.4 德拉姆上同调群的拉回

设 $f:M\to N$ 为可微映射。如式 (5.75)所示，拉回 $f^{\ast }$ 把闭形式映为闭形式，把恰当形式映为恰当形式。因此，我们可以用下式定义上同调群 $f^{\ast }:H^r(N)\to H^r(M)$ 的拉回：

$$f^{\ast }[\omega ]=\left[f^{\ast }\omega \right][\omega ]\in H^r(N).\text{\hspace{1em}(6.53)}$$

拉回 $f^{\ast }$ 保持 $H^{\ast }(N)$ 的环结构。事实上，若 $[\omega ]\in H^p(N)$ 且 $[\eta ]\in H^q(N)$，则可得

$$\begin{array}{rl}{f}^{\ast }([\omega ]\wedge [\eta ])& =f^{\ast }[\omega \wedge \eta ]=[f^{\ast }(\omega \wedge \eta )]\\ & =\left[f^{\ast }\omega \wedge f^{\ast }\eta \right]=\left[f^{\ast }\omega \right]\wedge \left[f^{\ast }\eta \right].\end{array}\text{\hspace{1em}(6.54)}$$

6.4.5 同伦与 $H^1(M)$

设 $f,g:M\to N$ 为可微映射。我们假定 $f$ 与 $g$ 彼此同伦，即存在可微映射 $F:M\times I\to N$ 使得 $F(p,0)=$

$f(p)$ 且 $F(p,1)=g(p)$。下面我们证明 $f^{\ast }:H^r(N)\to H^r(M)$ 等于 $g^{\ast }:H^r(N)\to H^r(M)$。

引理 6.1

设 $f^{\ast }$ 与 $g^{\ast }$ 如前定义。若 $\omega \in {\Omega }^r(N)$ 是闭形式，则两个拉回像之差是恰当的，

$$f^{\ast }\omega -g^{\ast }\omega =\mathrm{d}\psi \psi \in {\Omega }^{r-1}(M).\text{\hspace{1em}(6.55)}$$

证明

首先注意到

$$f=F\circ f_0,g=F\circ f_1$$

其中 $f_t:M\to M\times I$（$p\mapsto (p,t)$）已在定理 6.3中定义。(6.55)的左端为

$$\begin{array}{rl}(F\circ f_0{)}^{\ast }\omega -(F\circ f_1{)}^{\ast }\omega & =f_0^{\ast }\circ F^{\ast }\omega -f_1^{\ast }\circ F^{\ast }\omega \\ & =-\left[\mathrm{d}P\left(F^{\ast }\omega \right)+P\mathrm{d}\left(F^{\ast }\omega \right)\right]=-\mathrm{d}P{F}^{\ast }\omega \end{array}$$

这里用到了(6.33)。这表明 $f^{\ast }\omega -g^{\ast }\omega =\mathrm{d}(-P{F}^{\ast }\omega )$。

现在容易看出，作为拉回映射 $H^r(N)\to H^r(M)$，有 $f^{\ast }=g^{\ast }$。事实上，由前一个引理，

$$[f^{\ast }\omega -g^{\ast }\omega ]=[f^{\ast }\omega ]-[g^{\ast }\omega ]=[\mathrm{d}\psi ]=0.$$

我们已建立了如下定理。

定理 6.4

设 $f,g:M\to N$ 是彼此同伦的映射。则德拉姆上同调群 $H^r(N)\to H^r(M)$ 的拉回映射 $f^{\ast }$ 与 $g^{\ast }$ 相同。

设 $M$ 是单连通流形，即 ${\pi }_1(M)\cong \{0\}$。由于 $H_1(M)={\pi }_1(M)$ 模去换位子群（定理 4.9），可知 $H_1(M)$ 也是平凡的。用德拉姆上同调群来表述，这可以写成如下形式。

定理 6.5

设 $M$ 是单连通流形。则它的一阶德拉姆上同调群是平凡的。

证明

设 $\omega$ 是 $M$ 上的闭一形式。显然，若 $\omega =\mathrm{d}f$，则函数 $f$ 必具有如下形式

$$f(p)={\int }_{p_0}^p\omega \text{\hspace{1em}(6.56)}$$

其中 $p_0\in M$ 是固定点。

我们先证明闭形式沿环路的积分为零。设 $\alpha :I\to M$ 是过 $p\in M$ 的环路，$c_p:I\to M$（$t\mapsto p$）是常值

环路。由于 $M$ 是单连通的，存在同伦 $F(s,t)$ 使得 $F(s,0)=\alpha (s)$ 且 $F(s,1)=c_p(s)$。我们假定 $F:I\times I\to M$ 是光滑的。定义一形式 $\omega$ 在 $\alpha (I)$ 上的积分为

$${\int }_{\alpha (I)}\omega ={\int }_{S^1}{\alpha }^{\ast }\omega \text{\hspace{1em}(6.57)}$$

这里我们把右端的积分区域取为 $S^1$，因为左端的 $I=[0,1]$ 被紧化成了 $S^1$。由引理 6.1，对闭一形式 $\omega$ 有

$${\alpha }^{\ast }\omega -c_p^{\ast }\omega =\mathrm{d}g\text{\hspace{1em}(6.58)}$$

其中 $g=-P{F}^{\ast }\omega$。由于 $c_p$ 是常值映射，拉回 $c_p\omega$ 为零。于是由(6.57)，由于 $\partial S^1$ 为空集，该积分消失，

$${\int }_{S^1}{\alpha }^{\ast }\omega ={\int }_{S^1}\mathrm{d}g={\int }_{\partial S^1}g=0.\text{\hspace{1em}(6.59)}$$

设 $\beta$ 与 $\gamma$ 是连接 $p_0$ 与 $p$ 的两条道路。根据(6.59)，$\omega$ 沿 $\beta$ 的积分与沿 $\gamma$ 的积分相同，

$${\int }_{\beta (I)}\omega ={\int }_{\gamma (I)}\omega .$$

这表明(6.56)确实是良定义的，因此 $\omega$ 是恰当的。

$\square$

例 6.6

$n$ 维球面 $S^n$（$n\ge 2$）是单连通的，因此

$$H^1\left(S^n\right)=0n\ge 2.\text{\hspace{1em}(6.60)}$$

由庞加莱对偶可得

$$H^0\left(S^n\right)\cong H^n\left(S^n\right)=\mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(6.61)}$$

可以证明

$$H^r\left(S^n\right)=01\le r\le n-1.\text{\hspace{1em}(6.62)}$$

$H^n(S^n)$ 由体积元 $\Omega$ 生成。由于 $S^n$ 上不存在 $(n+1)$ 形式，所以每个 $n$ 形式都是闭形式。而 $\Omega$ 不可能是恰当形式，因为若 $\Omega =\mathrm{d}\psi$，就会有

$${\int }_{S^n}\Omega ={\int }_{S^n}\mathrm{d}\psi ={\int }_{\partial S^n}\psi =0.$$

欧拉示性数为

$$\chi \left(S^n\right)=1+(-1{)}^n=\{\begin{array}{ll}0& n\text{n 为奇数},\\ 2& n\text{n 为偶数}.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.63)}$$

例 6.7

取嵌入在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的 $S^2$，并定义

$$\Omega =\sin \theta d\theta \wedge d\varphi \text{\hspace{1em}(6.64)}$$

其中 $(\theta ,\varphi )$ 是通常的极坐标。验证 $\Omega$ 是闭形式。我们可以形式地把 $\Omega$ 写成

$$\Omega =-\mathrm{d}(\cos \theta )\wedge \mathrm{d}\varphi =-\mathrm{d}(\cos \theta \mathrm{d}\varphi ).$$

然而要注意，$\Omega$ 并不是恰当形式。

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