莫比乌斯群 (Möbius group)

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§2.5 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 2.16

莫比乌斯变换(Möbius transformation)是复映射

$$z\mapsto z^{\prime }=\frac{az+b}{cz+d},a,b,c,d\in \mathbb{C},ad-bc=1.$$

(a) 证明这些映射是扩充复平面（包含点 $z=\infty$）上的一一到上变换，并写出分别由常数 $(a,b,c,d)$ 和 $(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime })$ 确定的任意两个变换的复合。

(b) 证明它们组成一个群，称为莫比乌斯群(Möbius group)。

(c) 证明把幺模矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 映到上述莫比乌斯变换的映射 $\mu$，是从 $SL(2,\mathbb{C})$ 到莫比乌斯群的同态，其核为 $\{\mathsf{I},-\mathsf{I}\}$。也就是说，莫比乌斯群同构于 $SL(2,\mathbb{C})/{\mathbb{Z}}_2$。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#problem-2-16”

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