同调群（临时概念）

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原文用语：homology group； $H_{r} (K)$

可能与下列概念是同一概念，尚未判定：同调群。

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Nakahara · second-edition-local

引入：设 $K$ 是 $n$ 维单纯复形。与 $K$ 相伴的第 $r$ 个同调群 $H_{r} (K)$ ， $0 \leq r \leq n$ ，定义为 $H_{r} (K) \equiv Z_{r} (K) / B_{r} (K)$ 。
引入：每个等价类 $[z]$ 称为一个同调类；两个 $r$ -闭链 $z$ 与 $z^{'}$ 属于同一个等价类当且仅当 $z - z^{'} \in B_{r} (K)$ ，此时称 $z$ 与 $z^{'}$ 同调，并记作 $z \sim z^{'}$ 或 $[z] = [z^{'}]$ 。
引入：定理 3.4：同调群是拓扑不变量。设 $X$ 同胚于 $Y$ ， $(K, f)$ 与 $(L, g)$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的三角剖分，则 $H_{r} (K) ≅ H_{r} (L)$ ， $r = 0, 1, 2, \dots$ 。
引入：对于未必是多面体但可三角剖分的拓扑空间 $X$ ，对任意三角剖分 $(K, f)$ ，定义 $H_{r} (X) \equiv H_{r} (K)$ ， $r = 0, 1, 2, \dots$ ；由定理 3.4，这不依赖于三角剖分 $(K, f)$ 的选择。
推导：对于 $K = {p_{0}, p_{1}, (p_{0} p_{1})}$ ， $H_{1} (K) = Z_{1} (K) / B_{1} (K) = Z_{1} (K) = 0$ ；至于 $H_{0} (K)$ ，有 $Z_{0} (K) = C_{0} (K) = {i p_{0} + j p_{1}}$ 。
推导：对于 $K = {p_{0}, p_{1}, p_{2}, (p_{0} p_{1}), (p_{1} p_{2}), (p_{2} p_{0})}$ ， $Z_{0} (K) = C_{0} (K)$ ， $B_{0} (K)$ 由 $\partial_{1}$ 的像给出；定义满同态 $f : Z_{0} (K) \to Z$ 为 $f (i p_{0} + j p_{1} + k p_{2}) = i + j + k$ ，验证 $ker f = B_{0} (K)$ ；由定理 3.1 得 $Z_{0} (K) / ker f ≅ im f = Z$ ，故 $H_{0} (K) = Z_{0} (K) / B_{0} (K) ≅ Z$ 。
推导：对于 $K = {p_{0}, p_{1}, p_{2}, (p_{0} p_{1}), (p_{1} p_{2}), (p_{2} p_{0}), (p_{0} p_{1} p_{2})}$ ，由前面的例子有 $Z_{1} (K) = {i {(p_{0} p_{1}) + (p_{1} p_{2}) + (p_{2} p_{0})} ∣ i \in Z}$ ；设 $c = m (p_{0} p_{1} p_{2}) \in C_{2} (K)$ ，若 $b = \partial_{2} c \in B_{1} (K)$ ，则 $b = m {(p_{1} p_{2}) - (p_{0} p_{2}) + (p_{0} p_{1})} = m {(p_{0} p_{1}) + (p_{1} p_{2}) + (p_{2} p_{0})}$ ， $m \in Z$ ；这表明 $Z_{1} (K) ≅ B_{1} (K)$ ，因此 $H_{1} (K) = Z_{1} (K) / B_{1} (K) ≅ {0}$ 。
推导：对于 $K = {p_{0}, p_{1}, p_{2}, (p_{0} p_{1}), (p_{1} p_{2}), (p_{2} p_{0}), (p_{0} p_{1} p_{2})}$ ，由于 $K$ 中没有 3-单形， $B_{2} (K) = {0}$ ，于是 $H_{2} (K) = Z_{2} (K) / B_{2} (K) = Z_{2} (K)$ ；设 $z = m (p_{0} p_{1} p_{2}) \in Z_{2} (K)$ ，由 $\partial_{2} z = m {(p_{1} p_{2}) - (p_{0} p_{2}) + (p_{0} p_{1})} = 0$ 推出 $m$ 必须为零，因此 $Z_{2} (K) = {0}$ ，从而 $H_{2} (K) ≅ {0}$ 。
推导：设 $K$ 是一个连通的单纯复形，则 $H_{0} (K) ≅ Z$ 。
推导：对于连通复形 $K$ ， $z = \sum n_{i} p_{i} \in B_{0} (K)$ 当且仅当 $\sum n_{i} = 0$ ；由此定义满同态 $f : Z_{0} (K) \to Z$ ， $f (n_{1} p_{1} + \dots + n_{I_{0}} p_{I_{0}}) = \sum_{i = 1}^{I_{0}} n_{i}$ 。
推导：由定理 3.1 可得 $H_{0} (K) = Z_{0} (K) / B_{0} (K) = Z_{0} (K) / ker f ≅ im f = Z$ 。
推导：对于图 3.8 中莫比乌斯带的三角剖分 $K$ ， $B_{2} (K) = 0$ ；取任意闭链 $z \in Z_{2} (K)$ ，由 $\partial_{2} z = 0$ 推出所有系数为零，故 $Z_{2} (K) = {0}$ ，从而 $H_{2} (K) = Z_{2} (K) / B_{2} (K) ≅ {0}$ 。
推导：对于射影平面的三角剖分 $K$ ， $B_{2} (K) = {0}$ ；取任意闭链 $z \in Z_{2} (K)$ ，由 $\partial_{2} z = 0$ 推出所有系数为零，故 $Z_{2} (K)$ 是平凡的，从而 $H_{2} (K) = Z_{2} (K) / B_{2} (K) ≅ {0}$ 。
推导：亏格为 $g$ 的环面 $Σ_{g}$ 的第一同调群 $H_{1} (Σ_{g})$ 由那些不是某个区域的边界的环路生成，且 $H_{1} (Σ_{g}) = {i_{1} [a_{1}] + j_{1} [b_{1}] + \dots + i_{g} [a_{g}] + j_{g} [b_{g}]} ≅ 2 g Z \oplus Z \oplus \dots \oplus Z$ 。
回指：若 $K$ 是 $N$ 个连通分支 $K_{1}, \dots, K_{N}$ 的不相交并，则 $H_{r} (K) = H_{r} (K_{1}) \oplus \dots \oplus H_{r} (K_{N})$ 。
回指：对每个分支 $K_{i}$ ，同调群定义为 $H_{r} (K_{i}) = Z_{r} (K_{i}) / B_{r} (K_{i})$ ；该定义是良定义的，因为 $Z_{r} (K_{i}) \supset B_{r} (K_{i})$ 。

来源与记录

建立于 Nakahara · second-edition-local 的书内身份 c-51bac57e4614d578bf0b。

永久标识：urn:uuid:bb0754b5-31c0-4f09-8aea-625cd3da2dc3；机器入库总览

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