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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e
已登记出处中的最早位置：§17.4 · zh-CN。
来源短摘录与定位
§17.4 · zh-CN · translation · unreviewed
通常这被称为第个同调群(homology group)，其中只有阿贝尔群性质是相关的。若两个循环与属于同一个同调类，即存在一个链使得，则称它们是同调的(homologous)的。第个同调空间的维数称为第个贝蒂数(Betti number)，
§17.4 · en · original_transcription · unreviewed
Commonly this is called the th homology group, only the abelian group property being relevant. Two cycles and are said to be homologous if they belong to the same homology class – that is, if there exists a chain such that . The dimension of the th homology space is known as the th Betti number,
已登记作者陈述
- Nakahara 第3章 · 边界同态：式(3.20)–(3.22) · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。
- Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 定理 4.9 应用于 2-bouquet · 使用。π_1(2-bouquet) 的自由群表示已知。
- Nakahara 第3章 · 循环群和边界群的子群资格 · 使用。已引入边界同态，尚不把 Br 包含于 Zr 当作这里已证明。
- Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 例 4.11 Klein 瓶 · 使用。Klein 瓶基本群的表示已知。
- Nakahara 第3章 · 定义3.5 同调群 · 定义入口。本章主要采用整数系数；。不能与实系数同调空间按定义完全等同。
- Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 定理 4.9 · 定理入口。K 为连通单纯复形；F 为 π_1(|K|) 的换位子群。
- Nakahara 第3章 · 定义3.2：整数系数链群 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。
- Nakahara 第3章 · 定义3.3：循环群是边界同态的核 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。
- Nakahara 第3章 · 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。 可另行采用实数或模二系数；不将不同系数的定义自动等同。
- Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 推论 4.3 · 定理入口。X 与 Y 具有相同的同伦型。
- Szekeres §17.4 · 实系数同调空间与同调群称呼 · 定义入口。Szekeres 用光滑奇异单形的实系数链；整数系数的挠信息不能由该入口抹去。
- Nakahara 第3章 · 定理3.3 边界群包含于循环群 · 证明。这一步为同调商群提供子群包含关系。
- Nakahara 第3章 · 引理3.3 连续两次取边界为零 · 定理入口。r 链与边界算子按本书有向单形约定。
- Nakahara 第3章 · §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3) · 定义入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。 本章每个子群均正规，不能省去一般群商构造中的正规性条件。
- Nakahara 第3章 · 定义3.4：边界群是前一边界同态的像 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。
- Nakahara 第3章 · 引理3.1 核与像为子群 · 定理入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
- Nakahara 第3章 · 定理3.1 的证明 · 证明。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
- Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 推论 4.2 · 定理入口。X 为连通拓扑空间。
已登记依赖
保持原有来源与审阅状态，不由术语共同出现推断。
- 定理3.1 的证明 → 引理3.1 核与像为子群 · explicit-author-reference
- 循环群和边界群的子群资格 → 引理3.1 核与像为子群 · explicit-author-reference
- 定理3.3 边界群包含于循环群 → 引理3.3 连续两次取边界为零 · explicit-author-reference
- 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定理3.3 边界群包含于循环群 · author-transition
- 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3) · construction-use
- 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定义3.2：整数系数链群 · construction-use
- 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定义3.3：循环群是边界同态的核 · construction-use
- 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定义3.4：边界群是前一边界同态的像 · construction-use
- 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 循环群和边界群的子群资格 · construction-use
- 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.3：循环群是边界同态的核 · construction-use
- 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.4：边界群是前一边界同态的像 · construction-use
- 定义3.3：循环群是边界同态的核 → 边界同态：式(3.20)–(3.22) · construction-use
- 定义3.4：边界群是前一边界同态的像 → 边界同态：式(3.20)–(3.22) · construction-use
- 边界同态：式(3.20)–(3.22) → 定义3.2：整数系数链群 · author-transition
- 引理3.3 连续两次取边界为零 → 边界同态：式(3.20)–(3.22) · construction-use
- 例 4.11 Klein 瓶 → 定理 4.9 · construction-use
- 推论 4.2 → 定理 4.9 · explicit-author-reference
- 推论 4.3 → 定理 4.9 · explicit-author-reference
- 定理 4.9 应用于 2-bouquet → 定理 4.9 · author-transition
编辑导读与作者比较
既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。
在 Nakahara 第3章引言中，作者把同调群背后的结构概括为有限生成阿贝尔群，并约定用加法记号；具体的单纯链定义则另以整数系数链群构造同调商。有限生成是该章引言的背景陈述，不能只从“ 为 维”推出，也不自动适用于其他作者的同调定义。 Nakahara 第3章 · 定义3.2：整数系数链群；Nakahara 第3章 · 定义3.5 同调群
Szekeres 以实系数的光滑奇异链定义同调空间，并说明称作同调群时只用到阿贝尔群性质；这与 Nakahara 的整数系数单纯链构造应分别保留。 Szekeres · §17.4；Szekeres · §17.4
Nakahara · 作者条件与约定
第3章先给出群的阿贝尔加法约定及有限生成背景；定义3.2以有向 -单形生成自由阿贝尔链群，系数取整数，再以循环群模边界群定义 。
条件：引言中的有限生成说法仅作为 Nakahara 第3章的作者背景陈述记录；具体定义条件为 是 维单纯复形、，且此处使用整数系数。不能仅由 维推出有限生成，也不能把该章背景强加到其他作者的定义；书中另提可选实数或 系数。
记号： 为自由阿贝尔群，；本章用加法记号。
Szekeres · 作者条件与约定
在光滑流形上，Szekeres 以光滑奇异单形组成实系数链空间，并以循环空间模边界空间定义同调空间；他说明此处称“同调群”只需阿贝尔群性质。
条件：对象是 Szekeres 所述流形上的光滑奇异单形及其实系数链空间；保留“同调空间”与“同调群”这一作者用语说明，不套用 Nakahara 第3章引言的有限生成背景。
记号：；链系数为实数。