第十一章 · 测度论与积分

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拓扑不依赖于“大小”的概念。我们不需要知道给定集合的子集的长度、面积或体积就能理解拓扑结构。测度论正是关注于赋予这类性质的数学领域。告诉我们哪些子集可测的代数结构称为测度空间。它与拓扑结构有些类似，告诉我们哪些集合是开集，而且测度论与拓扑之间确实存在一定程度的相互作用。测度空间首先要求在底层空间的幂集上施加一种称为西格玛代数的代数结构。测度是西格玛代数上的一个正实值函数，它是可数可加的，由此不相交可测集的并集的测度等于它们测度的和。一个集合的测度很可能为零或无穷大。该主题的完整介绍见[1–5]，而该主题的风格可见于[6–8]。

重要的是，测度不能仅仅是有限可加的，否则其适用范围就不够广泛；然而，若允许它对不相交集合的任意并集都可加，则会导致某些矛盾——要么所有集合都必须被赋予零测度，要么集合的测度将不是良定义的。按照一般的看法，在实数轴或其笛卡尔积上最广泛有用的测度是勒贝格（1875–1941）所给出的测度，而基于这一理论的勒贝格积分理论在大多数方面是现有可用的最佳积分定义。

本章将频繁使用扩展实数线 $\overline{\mathbb{R}}$，它由 $\mathbb{R}\cup \{\infty \}\cup \{-\infty \}$ 组成，并具有加法规则 $a+\infty =\infty ,a+(-\infty )=-\infty$ 对所有 $a\in \mathbb{R}$ 成立，但不赋予 $\infty +(-\infty )$ 任何值。实数线上的自然序通过不等式 $-\infty <a<\infty$ 对所有实数 $a$ 加以补充。乘法在某些情形下也可扩展，例如当 $a>0$ 时 $a\infty =\infty$，但最好避免乘积 $0\infty$，除非能够采用明确的约定。由开区间 $(a,b)$ 生成的 $\mathbb{R}$ 上的自然序拓扑可容易地扩展到 $\overline{\mathbb{R}}$。

随文练习

证明 $\overline{\mathbb{R}}$ 关于序拓扑是一个紧拓扑空间。

本章目录

• 11.1 可测空间与可测函数
• 11.2 测度空间
• 11.3 勒贝格积分