11.1 可测空间与可测函数

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可测空间

给定一个集合 $X$，$X$ 上的一个 西格玛代数(sigma-algebra) $\mathcal{M}$ 由一族子集组成，这些子集称为 可测集(measurable set)，并满足

(Meas1) 空集 $\varnothing$ 是可测集，$\varnothing \in \mathcal{M}$

(Meas2) 若 $A$ 可测，则其补集也可测：

$$A\in \mathcal{M}⟹A^c=X-A\in \mathcal{M}.$$

(Meas3) $\mathcal{M}$ 对可数并集封闭：

$$A_1,A_2,A_3,\cdots \in \mathcal{M}⟹\bigcup _i{A}_i\in \mathcal{M}.$$

二元组 $(X,\mathcal{M})$ 称为 可测空间(measurable space)。尽管这些公理与拓扑空间的 (Top1)–(Top3) 有相似之处，但 (Meas2) 明显不同，因为开集的补集是闭集，而闭集很少是开集。由 (Meas1) 和 (Meas2) 可知，整个空间 $X={\varnothing }^c$ 是可测的。任意两个可测集的交集是可测的，因为

$$A\cap B=(A^c\cup B^c{)}^c.$$

此外，$\mathcal{M}$ 对取差运算封闭，

$$A-B=A\cap B^c=(A^c\cup B{)}^c.$$

随文练习

证明可测集的任意可数交集是可测集

例 11.1

给定任意集合 $X$，集合族 $\mathcal{M}=\{\varnothing ,X\}$ 显然是一个西格玛代数。这是可能的最小西格玛代数。相比之下，最大的西格玛代数是所有子集构成的集合 $2^X$。所有有趣的例子都介于这两个极端之间。

显然，任意两个西格玛代数 $\mathcal{M}\cap {\mathcal{M}}^{\prime }$ 的交集仍是西格玛代数——只需验证两个西格玛代数共有的集合满足性质 (Meas1)–(Meas3)。这一结论可推广到任意一族西格玛代数的交集 ${\cap }_{i\in I}{\mathcal{M}}_i$。因此，给定任意子集族 $\mathcal{A}\subset 2^X$，存在唯一的“最小”西格玛代数 $\mathcal{S}\supseteq \mathcal{A}$。它是所有包含 $\mathcal{A}.$ 的西格玛代数的交集。它称为由 $\mathcal{A}.$ 生成的 生成的西格玛代数(generated sigma-algebra)。对于拓扑空间 $X,$，由开集生成的西格玛代数称为 $X$ 上的 博雷尔集(Borel set)。它们包含所有开集和所有闭集，并且一般还包含许多既非开也非闭的集合。

例 11.2

在实数轴的标准拓扑 $\mathbb{R}$ 中，每个开集都是开区间的可数并。因此，博雷尔集由所有开区间构成的集合 $\{(a,b)|a<b\}$ 生成。诸如 $(a,\infty )=(a,a+1)\cup (a,a+2)\cup$ $(a,a+3)\cup ..$ 这样的无限左开区间，由 (Meas3) 可知是博雷尔集，类似地，所有区间 $(-\infty ,a)$ 都是博雷尔集。这些集合的补集是无限右闭或左闭区间 $(-\infty ,a]$ 和 $[a,\infty )$。因此，所有闭区间 $[a,b]=(-\infty ,b]\cap [a,\infty )$ 都是博雷尔集。

随文练习

证明 $\mathbb{R}$ 上的博雷尔集西格玛代数由 (a) 无限左开区间 $(a,\infty )$ 生成，(b) 闭区间 $[a,b]$ 生成。

随文练习

证明所有单元素集 $\{a\}$ 都是 $\mathbb{R}$ 上的博雷尔集

若$(X,\mathcal{M})$与$(Y,\mathcal{N})$是两个可测空间，则我们通过将$X\times Y$上的西格玛代数$\mathcal{M}\otimes \mathcal{N}$定义为由所有形如$A\times B$的集合生成的西格玛代数，其中$A\in \mathcal{M}$且$B\in \mathcal{N}$，来定义积可测空间(product measurable space) $(\mathbf{X}\times \mathbf{Y},\mathcal{M}\otimes \mathcal{N})$。

可测函数

给定两个可测空间 $(X,\mathcal{M})$ 和 $(Y,\mathcal{N})$，若每个可测集的逆像都是可测的，则称映射 $f:X\to Y$ 为 可测函数(measurable function)：

$$A\in \mathcal{N}⟹f^{-1}(A)\in \mathcal{M}.$$

这个定义与拓扑空间中连续函数的定义相对应。

定理 11.1 · 连续函数的博雷尔可测性 (Borel measurability of continuous functions)

若 $X$ 与 $Y$ 是拓扑空间，且 $\mathcal{M}$ 与 $\mathcal{N}$ 是博雷尔集的西格玛代数，则每个连续函数 $f:X\to Y$ 都是博雷尔可测的。

证明

设 ${\mathcal{O}}_X$ 与 ${\mathcal{O}}_Y$ 分别为 $X$ 与 $Y$ 中开集的集合族。对任意集合族 $\mathcal{A}\subseteq 2^Y$，我们采用记号 $f^{-1}(A)\equiv \{f^{-1}(A)|A\in \mathcal{A}\}$。由于 $f$ 连续，故 $f^{-1}({\mathcal{O}}_Y)\subseteq {\mathcal{O}}_X$。这两个空间上博雷尔集的西格玛代数分别为 $\mathcal{M}=\mathcal{S}({\mathcal{O}}_X)$ 与 $\mathcal{N}=\mathcal{S}({\mathcal{O}}_Y)$。为证明 $f$ 是博雷尔可测的，我们必须证明 $f^{-1}(\mathcal{N})\subseteq \mathcal{M}$ 设

$${\mathcal{N}}^{\prime }=\{B\subseteq Y\mid f^{-1}(B)\in \mathcal{M}\}\subset 2^Y.$$

这是 $Y$ 上的一个西格玛代数，对于 $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$ 和

$$f^{-1}\left(B^c\right)=(f^{-1}(B){)}^c,f^{-1}(\bigcup _i{B}_i)=\bigcup _i{f}^{-1}(B_i).$$

因此，对于 $f^{-1}({\mathcal{O}}_Y)\subseteq {\mathcal{O}}_X\subset \mathcal{M}$ 有 ${\mathcal{N}}^{\prime }\supseteq {\mathcal{O}}_Y$。由于 $\mathcal{N}$ 是由 ${\mathcal{O}}_Y$ 生成的西格玛代数，我们必须有 ${\mathcal{N}}^{\prime }\supseteq \mathcal{N}$。因此，如所要求的那样，$f^{-1}(\mathcal{N})\subseteq f^{-1}({\mathcal{N}}^{\prime })\subseteq \mathcal{M}$。

随文练习

若 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to Z$ 是测度空间之间的可测函数，证明复合 $g\circ f:X\to Z$ 是可测函数。

若 $f:X\to \mathbb{R}$ 是可测空间 $(X,\mathcal{M})$ 上的可测实值函数，其中假定 $\mathbb{R}$ 被赋予例 11.2 的博雷尔结构，则可知集合

$$\{x\mid f(x)>a\}=f^{-1}((a,\infty ))$$

在$X$中可测。由于实数轴上的博雷尔集族由区间$(a,\infty )$生成（参见例11.2之后的习题），这实际上可作为可测性的判别准则：$f:X\to \mathbb{R}$是可测函数，当且仅当对任意$a\in \mathbb{R}$，集合$\{x\mid f(x)>a\}$可测。

随文练习

证明该条件的充分性[参见定理 11.1 的证明]。

例 11.3

若$(X,\mathcal{M})$是一个可测空间，则集合$A\subset X$的特征函数${\chi }_A:X\to \mathbb{R}$可测当且仅当$A\in \mathcal{M}$，因为对任意$a\in \mathbb{R}$

$$\{x\mid {\chi }_A(x)>a\}=\{\begin{array}{ll}X& \text{ if }a<0,\\ A& \text{ if }0\le a<1,\\ \varnothing & \text{ if }a\ge 1.\end{array}$$

随文练习

证明：对任意 $a\in R$，集合 $\{x\in X\mid f(x)=a\}$ 是 $X.$ 的可测集

若 $f:X\to \mathbb{R}$ 是可测函数，则其模 $\mid f\mid$ 也是可测函数，因为 $\mathbb{R}$ 上的连续函数 $x\mapsto \left|x\right|$ 必然是博雷尔可测的，而 $|f|$ 是复合函数 $|\cdot |\circ f$ 。类似地，对于 $a>0$ ，函数 $f^a$ 是可测的；并且若对所有 $x\in X$ 都有 $f(x)\ne 0$ ，则 $1/f$ 是可测的。若 $g:X\to \mathbb{R}$ 是另一个可测函数，则函数 $f+g$ 是可测的，因为它可以写成复合 $f=\rho \circ F$ ，其中 $F:X\to {\mathbb{R}}^2=$ $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 和 $\rho :{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 是映射

$$F:x\mapsto (f(x),g(x))\text{ and }\rho (a,b)=a+b.$$

函数 $F$ 是可测的，因为任意区间乘积 $I_1,I_2$ 的像的原像为

$$F^{-1}(I_1\times I_2)=f^{-1}(I_1)\cap g^{-1}(I_2),$$

它是 $X$ 中的可测集，因为假定 $f$ 与 $g$ 是可测函数，而映射 $\rho$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上显然连续

随文练习

证明：对于可测函数 $f,g:X\to \mathbb{R}$ ，函数 $fg$ 是可测的。

一类重要的函数是简单函数(simple function)：仅取有限个广义实数值$a_1,a_2,\dots ,a_n$的可测函数$h:X\to \mathbb{R}$。由于对每个$a_i^{}$，$A_i=h^{-1}(\{a_i\})$都是$X$的可测子集，我们可以将简单函数写成可测特征函数的线性组合

$$h=a_1{\chi }_{A_1}+a_2{\chi }_{A_2}+\cdots +a_n{\chi }_{A_n}\text{ where all }{a}_i\ne 0.$$

有些作者使用术语阶梯函数(step function)来代替简单函数，但通常的约定是将这一术语保留给简单函数$h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，其中每个集合$A_i$都是不相交区间的并集（图11.1）。

图 11.1 简单（阶梯）函数

设 $f$ 与 $g$ 为从 $X$ 到扩展实数 $\overline{R}.$ 的任意一对可测函数。由下式定义的函数 $h=\sup (f,g)$

$$h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{if}f(x)\ge g(x)\\ g(x)& \text{if}g(x)>f(x)\end{array}$$

是可测的，因为

$$\{x\mid h(x)>a\}=\{x\mid f(x)>a\text{ or }g(x)>a\}=\{x\mid f(x)>a\}\cup \{x\mid g(x)>a\}$$

是可测的。类似地，$\inf (f,g)$ 是可测函数。特别地，若 $f$ 是可测函数，则其 正部与负部(positive and negative parts)

$$f^{+}=\sup (f,0)\text{ and }{f}^{-}=-\inf (f,0)$$

是可测函数。

随文练习

证明 $f=f^{+}-f^{-}\mathrm{and}|f|=f^{+}+f^{-}.$

上述论证的一个简单推广表明，对于任意一列可测函数 $f_1,f_2,f_3,\dots$ ，若其取值于扩充实数集 $\overline{\mathbb{R}}.$ ，则 $f_n$ 的上确界是可测函数。我们定义 上极限(limit superior) 为

$$\mathrm{limsup}{f}_n(x)=\underset{n\ge 1}{\inf }{F}_n(x)\text{ where }{F}_n(x)=\underset{k\ge n}{\sup }{f}_k(x).$$

上极限总是存在，因为函数 $F_n$ 处处单调递减，

$$F_1(x)\ge F_2(x)\ge F_3(x)\ge \dots$$

因此，若它们有下界，则存在极限；若下方无界，则趋于$-\infty$。类似地，我们可以定义

$$\mathrm{liminf}{f}_n(x)=\underset{n\ge 1}{\sup }{G}_n(x)\text{ where }{G}_n(x)=\underset{k\ge n}{\inf }{f}_k(x).$$

由此可知，若 $f_n$ 是可测函数序列，则 $\mathrm{limsup}{f}_n$ 与 $\mathrm{liminf}{f}_n$ 也是可测的。根据分析中的标准论证，$f_n(x)$ 是收敛序列当且仅当 $\mathrm{limsup}{f}_n(x)=\mathrm{liminf}{f}_n(x)=\lim f_n(x)$ 。因此，任何收敛的可测函数序列的极限 $f_n(x)\to f(x)$ ) 是可测的。注意，这里的收敛只需是“逐点收敛”，而非黎曼积分中许多定理所要求的一致收敛。

定理 11.2 · 可测函数的简单函数逼近 (Approximation of measurable functions by simple functions)

任何可测函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 都是简单函数序列的极限。该序列可以选为在 $f,$ 的所有正值处单调递增，在负值处单调递减。

证明

设 $f$ 为正且上有界，$0\le f(x)\le M$ 。对每个整数 $n=$ $1,2,\dots$ ，令 $h_n$ 为简单函数

$$h_n=\sum _{k=0}^n\frac{kM}{2^n}{\chi }_{A_k}$$

其中$A_k$是可测集

$$A_k=\left\{x\mid \frac{kM}{2^n}\le f(x)<\frac{k+1}{2^n}\right\}.$$

这些简单函数是递增的，$0\le h_1(x)\le h_2(x)\le ..$。并且$|f(x)-h_n(x)|<$ $M/2^n$。因此，对于所有$x\in X$，$h_n(x)\to f(x)$，因为$n\to \infty$

若 $f$ 是任意正函数，可以无界，则函数 $g_n=\inf (h_n,n)$ 为正且有上界。因此对每个 $n$，存在简单函数 $h_n^{\prime }$，使得 $|g_n-h_n^{\prime }|<1/n$。简单函数序列 $h_n^{\prime }$ 显然处处收敛到 $f(x)$。为得到收敛到 $f,$ 的单调递增简单函数序列，令

$$f_n=\sup (h_1^{\prime },h_2^{\prime },\dots ,h_n^{\prime }).$$

若 $f$ 不为正，则构造逼近其正部与负部的简单函数序列，并利用 $f=f^{+}-f^{-}$ -

习题

习题 11.1

若 $(X,\mathcal{M})$ 与 $(Y,\mathcal{N})$ 为可测空间，证明由 ${\mathsf{pr}}_1(x,y)=x$ 与 ${\mathsf{pr}}_2(x,y)=y$ 定义的投影映射 ${\mathrm{pr}}_1:X\times$ $Y\to X$ 与 ${\mathbf{pr}}_2:X\times Y\to Y$ 均为可测函数。

习题 11.2

求一个阶梯函数 $s$($x$)，使其在 [0, 1] 上一致逼近 $f(x)=x^2$，误差不超过 $\epsilon >0$，即在整个 [0, 1] 上处处有 $|f(x)-s(x)|<\epsilon$。

习题 11.3

设 $f:X\to \mathbb{R}$ 与 $g:X\to \mathbb{R}$ 为可测函数，且 $E\subset X$ 为可测集。证明

$$h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{ if }x\in E\\ g(x)& \text{ if }x\notin E\end{array}$$

是 $X.$ 上的可测函数

习题 11.4

若 $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是博雷尔可测实函数，证明 $h(x,y)=f(x)g(y)$ 是关于 ${\mathbb{R}}^2$ 上乘积测度的可测函数 $h:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$