11.2 测度空间

English

给定可测空间 $(X,\mathcal{M})$，$X$ 上的 测度(measure) $\mu$ 是一个函数 $\mu :\mathcal{M}\to \overline{\mathbb{R}}$，使得

(Meas4) 对所有可测集 $\mu (A)\ge 0$，以及 $A,$，均有 $\mu (\varnothing )=0$

(Meas5) 若 $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$ 是任意两两不相交的可测集序列（有限或可数无限），使得 $A_i\cap A_j=\varnothing \mathrm{if}i\ne j$，则

$$\mu (A_1\cup A_2\cup A_3\cup \dots )=\sum _i\mu (A_i).$$

满足性质 (Meas5) 的函数 $\mu$ 通常称为 可数可加(countably additive)。若右端的级数不收敛，则赋予其值 $\infty$。一个 测度空间(measure space) 是由可测空间 $(X,\mathcal{M})$ 与测度 $\mu .$ 组成的三元组 $(X,\mathcal{M},\mu )$。

随文练习

证明：若 $B\subset A$ 是可测集，则 $\mu B\le \mu A$

例 11.4

定义在集合 $X$ 上的西格玛代数上，一个偶尔有用的测度是 狄拉克测度(Dirac measure)。设 $a$ 为 $X,$ 的任意固定点，并令

$${\delta }_a(A)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }a\in A,\\ 0& \text{ if }a\notin A.\end{array}$$

(Meas4) 对 $\mu ={\delta }_a$ 显然成立，而 (Meas5) 则可由以下明显事实推出：一个不相交集合族 $\left\{A_i\right\}$ 的并集能包含 $a$，当且仅当 $a\in A_j$ 恰好对一个成员 $A_j$ 成立。该测度在分布理论中有应用，见第 12 章。

例 11.5

数学中称为概率论的分支最好用测度论来表述。一个 概率空间(probability space) 是一个测度空间 $(\Omega ,\mathcal{M},P)$，其中 $P(\Omega )=1$。集合 $A\in \Omega$ 称为 事件(event)，而 $\Omega$ 有时被称为全集。这个“全集”通常被视为某个特定实验的所有可能结果的集合。注意，事件不是实验的结果，而是可能结果的集合。测度函数 $P$ 称为 $\Omega ,$ 上的 概率测度(probability measure)，而 $P(A)$ 是事件 $A$ 的概率。所有事件的概率都在范围 $0\le P(A)\le 1$ 内。元素 $\varnothing$ 的概率为 0，即 $P(\varnothing )=0$，并称为不可能事件。整个空间 $\Omega$ 的概率为 1；它可以被视为必然事件。

事件 $A\cup B$ 称为 $A$ 或 $B$，而 $A\cap B$ 是 $A$ 和 $B$。由于 $P$ 在不相交集合上具有可加性且 $A\cup B=(A-(A\cap B))\cup (B-(A\cap B))\cup (A\cap B)$，因此概率满足关系

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

若 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，则称这两个事件为 独立事件(independent events)。情况绝非总是如此。

我们将已知 $A$ 已发生之后事件 $B$ 的概率视为 条件概率(conditional probability) $P(B|A)$，其定义为

$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$$

事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，当且仅当 $P(B|A)=P(B)-$，换言之，$B$ 的概率完全不依赖于 $A$ 的发生。

对于有限或可数无限的不相交事件集合 $H_1,H_2,\dots$，若其划分 $\Omega$（有时称为一个假设），$\Omega ={\bigcup }_i{H}_i$，则对任意事件 $B$，我们有

$$B=\bigcup _{i=1}^{\infty }(H_i\cap B).$$

由于这个可数并集中的集合两两不相交，$B$ 的概率为

$$P(B)=\sum _{i=1}^{\infty }P(H_i\cap B)=\sum _{i=1}^{\infty }P(B|H_i)P(H_i).$$

这导出了在结果事件 $B$ 给定的条件下，假设 $H_i$ 的条件概率的贝叶斯公式，

$$\begin{array}{c}P(H_i|B)=\frac{P(B\cap H_i)}{P(B)}\\ =\frac{P(H_i)P(B|H_i)}{P(B)}\\ =\frac{P(H_i)P(B|H_i)}{{\sum }_{k=1}^{\infty }P(B|H_k)P(H_k)}.\end{array}$$

定理 11.3 · 测度对递增集合列的连续性 (Continuity of measure from below)

设 $E_1,E_2,...$ 为一列可测集，且按如下意义递增：对所有 $n=1,2,\dots$，均有 $E_n\subset E_{n+1}$。则

$$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n\in \mathcal{M}and\mu E=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu E_n.$$

证明

$E$ 由条件 (Meas3) 可测。集合

$$F_1=E_1,F_2=E_2-E_1,\dots ,F_n=E_n-E_{n-1},\dots .$$

集合 $F_n$ 均为可测且不相交，若 $n\ne m$ 则 $F_n\cap F_m=\varnothing$。由于 $E_n=F_1\cup$ $F_2\cup \cdots \cup F_n$，由 (Meas5) 可得

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\mu E_n=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (F_n)=\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }{F}_k\right)=\mu (E).$$

勒贝格测度

实数轴上的每个开集 $U$ 都是可数个不相交开区间的并集。这源于以下事实：每个有理点 $r\in U$ 都包含在一个极大开区间 $(a,b)\subseteq U$ 中，其中 $a<r<b$。这些区间必定不相交，否则它们就不会是极大的；并且它们有可数多个，因为有理数是可数无限的。在实数轴上，对于所有开区间 $I=(a,b)$，定义集合 $\mu (I)=b-a$ 为 $\mathbb{R}$。通过可数可加性（Meas5），这唯一地延拓到 $\mathbb{R}$ 的所有开集上。由有限可加性，$\mu$ 必须在所有区间——开的、闭的或半开的——上取值 $b-a$。例如，对于任意 $ϵ>0$

$$(a-ϵ,b)=(a-ϵ,a)\cup [a,b),$$

而右端是两个不相交博雷尔集的并集，因此我们有

$$b-a+ϵ=a-a+ϵ+\mu ([a,b)).$$

因此，左闭区间$[a,b)$的测度为

$$\mu ([a,b))=b-a.$$

使用

$$[a,b)=\{a\}\cup (a,b)$$

我们看到每个单元素集的测度为零，$\mu (\{a\})=0$，并且

$$(a,b]=(a,b)\cup \{b\},[a,b]=(a,b)\cup \{a\}\cup \{b\}⟹\mu ((a,b])=\mu ([a,b])=b-a.$$

随文练习

证明：若 $A\subset \mathbb{R}$ 是可数集合，则 $\mu (A)=0$

随文练习

证明左闭区间的有限并集构成的集合 $[a,b)$ 关于取集合差这一运算封闭。

对任意集合 $A\subset \mathbb{R}$，我们定义其 外测度(outer measure)

$${\mu }^{\ast }(A)=\inf \{\mu (U)\mid U\text{ is an open set in }\mathbb{R}\text{ and }A\subseteq U\}.\text{\hspace{1em}(11.1)}$$

尽管外测度可以对任意实数集合 $A$ 定义，但它实际上根本不是一种测度，因为它不满足可数可加性质 (Meas5)。我们所能得到的最好结果是一个称为 可数次可加性(countable subadditivity) 的性质：如果 $A_1,A_2,\dots \in 2^X$ 是任意两两不相交的集合序列，那么

$${\mu }^{\ast }\left(\bigcup _i{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(A_i).\text{\hspace{1em}(11.2)}$$

证明

设 $ϵ>0$。对每个 $n=1,2,\dots$，存在一个开集 $U_n\supseteq A_n$，使得

$$\mu (U_n)\le {\mu }^{\ast }(A_n)+\frac{ϵ}{2^n}.$$

由于 $U=U_1\cup U_2\cup ..$ 覆盖 $A=A_1\cup A_2\cup \dots$

$${\mu }^{\ast }(A)\le \mu (U)\le \mu (U_1)+\mu (U_2)+\cdots \le \sum _{i=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(A_n)+ϵ.$$

由于这对任意的 $ϵ>0$ 都成立，不等式 Eq. (11.2) 立即得证。

随文练习

证明外测度满足 $(\mathrm{Meas}4),{\mu }^{\ast }(\varnothing )=0$

随文练习

对于开区间 $I=(a,b)$，证明 ${\mu }^{\ast }(I)=\mu (I)=b-a$

随文练习

证明

$$A\subseteq B⟹{\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(B).\text{\hspace{1em}(11.3)}$$

按照卡拉泰奥多里的定义，若对于任意开区间 $I=(a,b)$，集合 $E$ 都称为 勒贝格可测集(Lebesgue measurable set)

$$\mu (I)={\mu }^{\ast }(I\cap E)+{\mu }^{\ast }(I\cap E^c).\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

乍一看，这似乎并不是一个非常直观的概念。

它所表达的是，当我们试图用开区间覆盖彼此不相交的集合 $I\cap E$ 与 $I-E=I\cap E^c$ 时，这两组区间的重叠部分可以变得“任意小”（见图 11.2）。从现在起，我们将经常把勒贝格可测集简称为可测集。

图 11.2 勒贝格可测集

定理 11.4 · 可测集的外测度分割性质 (Splitting outer measure by a measurable set)

若 $E$ 可测，则对任意集合 $A$，无论其是否可测，

$${\mu }^{\ast }(A)={\mu }^{\ast }(A\cap E)+{\mu }^{\ast }(A\cap E^c).$$

证明

给定 $ϵ>0.$，设 $U$ 为一个开集，使得 $A\subseteq U$ 且

$$\mu (U)<{\mu }^{\ast }(A)+ϵ.\text{\hspace{1em}(11.5)}$$

由于 $A=(A\cap E)\cup (A\cap E^c)$ 是两个不相交集合的并集，式 (11.2) 给出

$${\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(A\cap E)+{\mu }^{\ast }(A\cap E^c).$$

令 $U={\bigcup }_n{I}_n$，其中 $I_n$ 是有限或可数个不相交开区间构成的集合，则由式 (11.3) 可得

$$\begin{array}{l}{\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(U\cap E)+{\mu }^{\ast }(U\cap E^c)\\ \le {\sum }_n{\mu }^{\ast }(I_n\cap E)+{\mu }^{\ast }(I_n\cap E^c)\\ ={\sum }_n{\mu }^{\ast }(I_n)\text{ since }E\text{ is measurable. }\end{array}$$

利用不等式式 (11.5)

$${\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(U\cap E)+{\mu }^{\ast }(U\cap E^c)<{\mu }^{\ast }(A)+ϵ$$

对于任意的$ϵ>0$。这证明了所需结果

推论 11.5 · 不交可测集的外测度分割 (Splitting outer measure over disjoint measurable sets)

若 $E_1,E_2,\dots ,E_n$ 是任意一族不相交的可测集，则

$${\mu }^{\ast }(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n)=\sum _{i=1}^n{\mu }^{\ast }(E_i).$$

证明

若 $E$ 与 $F$ 是不相交可测集，则在式 (11.4) 中令 $A=E\cup F$，得到

$${\mu }^{\ast }(E\cup F)={\mu }^{\ast }((E\cup F)\cap E)+{\mu }^{\ast }((E\cup F)\cap E^c)={\mu }^{\ast }(E)+{\mu }^{\ast }(F).$$

结果通过对 $n$ 的归纳法得出。

定理 11.6 · 勒贝格可测集与勒贝格测度 (Lebesgue measurable sets and Lebesgue measure)

所有勒贝格可测集构成的集合 $\mathcal{L}$ 是一个西格玛代数，且 ${\mu }^{\ast }$ 是 $\mathcal{L}.$ 上的一个测度

证明

空集是勒贝格可测的，因为对于任意开区间 $I$，

$${\mu }^{\ast }(I\cap \varnothing )+{\mu }^{\ast }(I\cap \mathbb{R})={\mu }^{\ast }(\varnothing )+{\mu }^{\ast }(I)={\mu }^{\ast }(I)=\mu (I).$$

若 $E$ 是可测集，则 $E^c$ 也是可测集，将其代入式 (11.4) 并利用 $(E^c{)}^c=$ $E$ 即可。因此条件 (Meas1) 和 (Meas2) 得到满足。我们分几个阶段证明 (Meas3)。

首先，若 $E$ 与 $F$ 是可测集，则 $E\cup F$ 是可测集。因为 $I=(I\cap E\cup$ $F))\cup \left(I\cap (E\cup F{)}^c\right)$，且利用式 (11.2) 可得

$${\mu }^{\ast }(I)\le {\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F))+{\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F{)}^c).\text{\hspace{1em}(11.6)}$$

右侧两个自变量中的集合可分解为

$$I\cap (E\cup F)=((I\cap F)\cap E)\cup ((I\cap F)\cap E^c)\cup ((I\cap F^c)\cap E)$$

和

$$I\cap (E\cup F{)}^c=I\cap (E^c\cap F^c)=(I\cap F^c)\cap E^c.$$

再次使用式 (11.2) 可得

$$\begin{array}{l}{\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F))+{\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F{)}^c)\\ \le {\mu }^{\ast }((I\cap F)\cap E)+{\mu }^{\ast }((I\cap F)\cap E^c)+{\mu }^{\ast }((I\cap F^c)\cap E)+{\mu }^{\ast }((I\cap F^c)\cap E^c)\end{array}$$

在定理 11.4 中分别令 $A=I\cap F$ 和 $A=I\cap F^c$，我们得到

$${\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F))+{\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F{)}^c)\le {\mu }^{\ast }(I\cap F)+{\mu }^{\ast }(I\cap F^c)={\mu }^{\ast }(I),$$

由于 $F$ 是可测的。将此与不等式 Eq. (11.6) 结合，我们得出：对于所有区间 $I$

$${\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F))+{\mu }^{\ast }(I\cap (E\cup F{)}^c)={\mu }^{\ast }(I)=\mu (I),$$

这表明 $E\cup F$ 是可测集。顺便还可推出，交集 $E\cap F=(E^c\cup F^c{)}^c$ 与差集 $F-E=F\cap E^c$ 也是可测集。简单的归纳法表明，可测集 $E_1\cup E_2\cup \dots \cup E_n$ 的任意有限并集是可测集。

设 $E_1,E_2,\dots$ 为任意一列不相交的可测集。令

$$S_n=\bigcup _{i=1}^n{E}_i\text{ and }S=\bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i.$$

由次可加性式 (11.2)，

$${\mu }^{\ast }(S)\le \sum _{i=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(E_i)$$

并且由于 $S\supset S_n$，利用推论 11.5，我们有

$${\mu }^{\ast }(S)\ge {\mu }^{\ast }(S_n)=\sum _{i=1}^n{\mu }^{\ast }(E_i).$$

由于这对所有整数 $n$ 均成立，且右端为单调递增级数，

$${\mu }^{\ast }(S)=\sum _{i=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(E_i).\text{\hspace{1em}(11.7)}$$

若级数不收敛，则右端被赋予值 $\infty$。

由于 $E_i$ 是不相交集合，因此集合 $I\cap E_i$ 也不相交。此外，由推论 11.5

$$\sum _{i=1}^n{\mu }^{\ast }(I\cap E_i)={\mu }^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^n(I\cap E_i)\right)={\mu }^{\ast }\left(I\cap \bigcup _{i=1}^n{E}_i\right)\le {\mu }^{\ast }(I).$$

因此级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(I\cap E_i)$ 收敛，并且对任意 $ϵ>0$，存在整数 $n$，使得

$$\sum _{i=n}^{\infty }{\mu }^{\ast }(I\cap E_i)<ϵ.$$

现在，由于 $S_n\subset S$

$$I\cap S=I\cap \left(S_n\cup (S-S_n)\right)=(I\cap S_n)\cup \left(I\cap (S-S_n)\right)$$

而由次加性式 (11.2)，

$$\begin{array}{l}\mu (I)={\mu }^{\ast }((I\cap S)\cup (I\cap S^c))\\ \le {\mu }^{\ast }(I\cap S)+{\mu }^{\ast }(I\cap S^c)\\ \le {\mu }^{\ast }((I\cap S_n))+{\mu }^{\ast }(I\cap (S-S_n))+{\mu }^{\ast }(I\cap (S_n{)}^c)\\ =\mu (I)+{\mu }^{\ast }(I\cap {\bigcup }_{i=n+1}^{\infty }{E}_i)\\ =\mu (I)+{\sum }_{i=n+1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(I\cap E_i)\\ <\mu (I)+ϵ.\end{array}$$

由于 $ϵ>0$ 是任意的

$$\mu (I)={\mu }^{\ast }(I\cap S)+{\mu }^{\ast }(I\cap S^c),$$

这就证明了$S$是可测的。

若 $E_1,E_2,\dots$ 是一列可测集，未必不相交，则

$$F_1=E_1,F_2=E_2-E_1,\dots ,F_n=E_n-(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_{n-1}),\dots$$

这些集合都是可测且不相交的，并且

$$\bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i=\bigcup _{i=1}^{\infty }{F}_i.$$

任意可数个可测集构成的集合族 $\{E_n\}$ 的并集因此是可测的，这证明了 $\mathcal{L}$ 是一个西格玛代数。外测度 ${\mu }^{\ast }$ 是 $\mathcal{L}$ 上的一个测度，因为它满足 ${\mu }^{\ast }(\varnothing )=0$，并且由式 (11.7) 可知它是可数可加的。

定理 11.6 表明 $(\mathbb{R},\mathcal{L},\mu ={\mu }^{\ast }{|}_{\mathcal{L}})$ 是一个测度空间。勒贝格测度的记号 $\mu$ 与先前在开区间上的约定 $\mu ((a,b))=b-a$ 一致。所有开集都是可测的，因为它们是不相交开区间的并集。由于博雷尔集构成由所有开集生成的西格玛代数，它们包含在 $\mathcal{L}.$ 中。因此每个博雷尔集都是勒贝格可测集。然而，并非每个勒贝格可测集都是博雷尔集。

若一个性质除在一个测度为零的集合上之外处处成立，则称该性质几乎处处(almost everywhere)，通常缩写为 a.e.。例如，若使$f(x)\ne g(x)$的点集是测度为零的集合，则称两个函数$f$与$g$几乎处处相等。只要该集合的外测度为零，${\mu }^{\ast }(A)=0$，就足以使其测度为零（见习题11.8）。

勒贝格测度以类似方式定义在笛卡尔积空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上。我们给出 $n=2$ 的构造。我们已经看到，乘积空间 ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 上的可测集西格玛代数定义为由可测集的乘积 $E\times E^{\prime }$ 生成的西格玛代数，其中 $E$ 和 $E^{\prime }$ 在 $\mathbb{R}$ 上是勒贝格可测的。任意集合 $A\subset {\mathbb{R}}^2$ 的外测度定义为

$${\mu }^{\ast }(A)=\sup \sum _i\mu (I_i)\mu (I_i^{\prime })$$

其中 $I_i$ 与 $I_i^{\prime }$ 是 $\mathbb{R}$ 的任意有限或可数开区间族，使得并集 ${\bigcup }_i{I}_i\times I_i^{\prime }$ 覆盖 $A.$。任何开区间乘积的外测度显然等于它们测度的乘积，${\mu }^{\ast }(I\times I^{\prime })=\mu (I)\mu (I^{\prime })$）。若对任意一对开区间 $I,I^{\prime }$，集合 $E\subset {\mathbb{R}}^2$ 称为勒贝格可测的

$$\mu (I)\mu (I^{\prime })={\mu }^{\ast }((I\times I^{\prime })\cap E)+{\mu }^{\ast }((I\times I^{\prime })\cap E^c).$$

与实数轴的情形一样，外测度 ${\mu }^{\ast }$ 此时是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的测度。高维乘积 ${\mathbb{R}}^n$ 上的勒贝格测度完全类似。我们有时将此测度记作 ${\mu }^n$

例 11.6

康托尔集，即例 1.11，是闭集，因为它由一列开区间的补集构成。因此它是博雷尔集，并且是勒贝格可测的。康托尔集是一个测度为 0 的不可数集，因为在其构造的第 $n$ 步之后剩余的长度为

$$1-\frac{1}{3}-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-\cdots -2^{n-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0.$$

它的补集是[0, 1]的一个开子集，测度为1——也就是说，在其各分量开区间之间“没有空隙”。

例 11.7

并非每个集合都是勒贝格可测的，但不可测的集合具有非构造性的特征，并且总是用到选择公理。一个经典的例子如下。对任意一对实数 $x$、$y\in I=(0,1)$，当且仅当 $x-y$ 是有理数时，令 $xQy$。这是 $I$ 上的一个等价关系，它将该集合划分为不相交的等价类 $Q_x=\{y\mid y-x=r\in \mathbb{Q}\}$，其中 $\mathbb{Q}$ 是有理数集。假设选择公理成立，则存在一个集合 $T$，它恰好由每个等价类 $Q_x$ 中的一个代表元组成。假设其勒贝格测度为 $\mu (T)$。对每个有理数 $r\in (-1,1)$，令 $T_r=\{x+r\mid x\in T\}$。每个实数 $y\in I$ 都属于某个 $T_r$，因为它与 $T$ 的某个元素相差一个有理数 $r$。因此，由于对每个这样的 $T_r$ 都有 $|r|<1$，我们必须有

$$(-1,2)\supset \bigcup _r{T}_r\supset (0,1).$$

集合 $T_r$ 两两不相交，且其测度均等于 $\mu (T)$ )。若将有理数排列成序列 $r_1,r_2,...$ ，则

$$3\ge \mu (T_1)+\mu (T_2)+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }\mu (T)\ge 1.$$

这要么对 $\mu (T)=0\mathrm{or}\mu (T)>0;$ 产生矛盾；在第一种情形中，和为 $0,$，在第二种情形中则为 。

习题

习题 11.5

证明 $\mathbb{R}$ 的每个可数子集都是可测的，并且其勒贝格测度为零。

习题 11.6

证明：一列勒贝格测度为零的集合的并集是勒贝格测度为零的集合。

习题 11.7

若 ${\mu }^{\ast }(N)=0$，证明对任意集合 $E$，有 ${\mu }^{\ast }(E\cup N)={\mu }^{\ast }(E-N)={\mu }^{\ast }(E)$。由此证明 $E\cup N$ 与 $E-N$ 为勒贝格可测当且仅当 $E$ 可测。

习题 11.8

若一个测度满足：每个测度为零的集合的每个子集都是可测的，则称该测度为 完备测度(complete measure)。证明：若 $A\subset \mathbb{R}$ 是一个外测度为零的集合，${\mu }^{\ast }(A)=0$，则 $A$ 是勒贝格可测的且测度为零。由此证明勒贝格测度是完备的。

习题 11.9

证明：若对所有的 $ϵ>0$，都存在一个开集 $U\supset E$ 使得 ${\mu }^{\ast }(U-E)<ϵ$，则 $\mathbb{R}$ 的子集 $E$ 是可测的。

习题 11.10

若 $E$ 有界，且存在区间 $I\supset E$ 使得

$${\mu }^{\ast }(I)={\mu }^{\ast }(I\cap E)+{\mu }^{\ast }(I-E)$$

于是这对所有区间都成立，甚至可能包括那些与 $E$ 重叠的区间。

习题 11.11

集合$E$的内测度(inner measure) ${\mu }_{\ast }(E)$定义为$E$的所有可测子集的测度的最小上界。证明${\mu }_{\ast }(E)\le {\mu }^{\ast }(E)$

对任意开集 $U\supset E$，证明

$$\mu (U)={\mu }_{\ast }(U\cap E)+{\mu }^{\ast }(U-E)$$

并且 $E$ 可测且具有有限测度，当且仅当 ${\mu }_{\ast }(E)={\mu }^{\ast }(E)<\infty$