一形式

本书暂定概念：尚未进入正式概念库。下面是本书给出的定义原文。

定义 · 5.2 流形上的微积分

由于 $T_{p}M$ 是向量空间，故存在 $T_{p}M$ 的对偶向量空间，其中的元素是从 $T_{p}M$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性函数，见section 2.2。这个对偶空间称为 $p$ 处的余切空间(cotangent space)，记作 $T_p^{\ast }M$。$T_p^{\ast }M$ 中的元素 $\omega :T_{p}M\to \mathbb{R}$ 称为对偶向量(dual vector)、余切向量(cotangent vector)，或在微分形式的语境下称为一形式(one-form)。一形式最简单的例子是函数 $f\in \mathcal{F}(M)$ 的微分 $\mathrm{d}f$。向量 $V$ 对 $f$ 的作用为 $V[f]=V^{\mu }\partial f/\partial x^{\mu }\in \mathbb{R}$。于是 $\mathrm{d}f\in T_p^{\ast }M$ 对 $V\in T_{p}M$ 的作用定义为

$$⟨\mathrm{d}f,V⟩\equiv V[f]=V^{\mu }\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(5.24)}$$

英文原文

Since $T_{p}M$ is a vector space, there exists a dual vector space to $T_{p}M$ , whose element is a linear function from $T_{p}M$ to $\mathbb{R}$ , see section 2.2. The dual space is called the cotangent space at $p$ , denoted by $T_p^{\ast }M$ . An element $\omega :T_{p}M\to \mathbb{R}$ of $T_p^{\ast }M$ is called a dual vector, cotangent vector or, in the context of differential forms, a one-form. The simplest example of a one-form is the differential $\mathrm{d}f$ of a function $f\in \mathcal{F}(M)$ . The action of a vector $V$ on $f$ is $V[f]=V^{\mu }\partial f/\partial x^{\mu }\in \mathbb{R}$ . Then the action of $\mathrm{d}f\in T_p^{\ast }M$ on $V\in T_{p}M$ is defined by

$$⟨\mathrm{d}f,V⟩\equiv V[f]=V^{\mu }\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(5.24)}$$

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