5.2 流形上的微积分

可微流形的意义在于，我们可以使用在 ${\mathbb{R}}^n$ 中建立起来的通常的微积分。坐标变换的光滑性

保证了这种微积分与所选坐标无关。

5.2.1 可微映射

设 $f:M\to N$ 是从 $m$ 维流形 $M$ 到 $n$ 维流形 $N$ 的映射。点 $p\in M$ 被映为点 $f(p)\in N$，即 $f:p\mapsto f(p)$，如图 5.6所示。取 $M$ 上的图卡 $(U,\phi )$ 以及 $N$ 上的图卡 $(V,\psi )$，其中 $p\in U$，$f(p)\in V$。于是 $f$ 具有如下的坐标表示：

图 5.6　映射 $f:M\to N$ 具有坐标表示 $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$。

$$\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n.\text{\hspace{1em}(5.16)}$$

若记 $\phi (p)=\{x^{\mu }\}$，$\psi (f(p))=\{y^{\alpha }\}$，则 $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}$ 不过是 $m$ 个变量的通常的向量值函数 $y=\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}(x)$。当我们知道 $M$ 与 $N$ 上所用的是哪个坐标系时，有时会使用（实际上是滥用！）记号 $y=f(x)$ 或 $y^{\alpha }=f^{\alpha }(x^{\mu })$。若 $y=\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}(x)$（或简记为 $y^{\alpha }=f^{\alpha }(x^{\mu })$）对每个 $x^{\mu }$ 都是 $C^{\infty }$ 的，则称 $f$ 在 $p$ 处可微，或在 $x=\phi (p)$ 处可微。可微映射也称为光滑(smooth)的。注意，我们要求无穷次（$C^{\infty }$）可微，这与过渡函数 ${\psi }_{ij}$ 的光滑性相一致。

$f$ 的可微性(differentiability)与坐标系的选取无关。考虑两个相互重叠的图卡 $(U_1,{\phi }_1)$ 与 $(U_2,{\phi }_2)$。取一点 $p\in U_1\cap U_2$，它在 ${\phi }_1$ 下的坐标为 $\{x_1^{\mu }\}$，而在 ${\phi }_2$ 下的坐标为 $\{x_2^{\nu }\}$。当用 $\{x_1^{\mu }\}$ 表示时，$f$ 取形式 $\psi \circ f\circ {\phi }_1^{-1}$；而在 $\{x_2^{\nu }\}$ 下，$\psi \circ f\circ {\phi }_2^{-1}=$

$\psi \circ f\circ {\phi }_1^{-1}({\phi }_1\circ {\phi }_2^{-1})$。按定义，${\psi }_{12}={\phi }_1\circ {\phi }_2^{-1}$ 是 $C^{\infty }$ 的。在较简单的记号下，它们分别对应于 $y=f(x_1)$ 与 $y=f(x_1(x_2))$。显然，若 $f(x_1)$ 关于 $x_1^{\mu }$ 是 $C^{\infty }$ 的，且 $x_1(x_2)$ 关于 $x_2^{\nu }$ 是 $C^{\infty }$ 的，则 $y=f(x_1(x_2))$ 关于 $x_2^{\nu }$ 也是 $C^{\infty }$ 的。

练习 5.2

证明 $f$ 的可微性同样与 $N$ 中图卡的选取无关。

定义 5.2 微分同胚(diffeomorphism)

设 $f:M\to N$ 是同胚，$\psi$ 与 $\phi$ 为前面定义的坐标函数。若 $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}$ 可逆（即存在映射 $\phi \circ f^{-1}\circ {\psi }^{-1}$），且 $y=\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}(x)$ 与 $x=\phi \circ f^{-1}\circ {\psi }^{-1}(y)$ 都是 $C^{\infty }$，则称 $f$ 为微分同胚(diffeomorphism)，并称 $M$ 与 $N$ 微分同胚（反之亦然），记作 $M\equiv N$。

显然，若 $M\equiv N$，则 $\dim M=\dim N$。在chapter 2中我们指出，同胚按照能否将一个空间连续形变为另一个空间来对空间进行分类。微分同胚则按照能否将一个空间光滑地形变为另一个空间，把空间划分为等价类。两个微分同胚的空间被视为同一个流形。显然，微分同胚是同胚。那么反过来呢？同胚是微分同胚吗？上一节中，我们把可微结构定义为图册的等价类。一个拓扑空间能否带有许多可微结构？要举出”微分同胚意义下不等价的同胚”的例子相当困难，因为已知这只有在高维空间（维数 $M\ge 4$）中才可能发生。1956年以前，人们相信一个拓扑空间只容许一个可微结构。然而，Milnor（1956）指出 $S^7$ 容许 28 个可微结构。数学中最近一项惊人的发现是，${\mathbb{R}}^4$ 容许无穷多个可微结构。感兴趣的读者可参阅 Donaldson（1983）以及 Freed 和 Uhlenbeck（1984）。为简单起见，这里我们假定一个流形只容许唯一一个可微结构。

微分同胚 $f:M\to M$ 的集合构成一个群，记作 $\mathrm{Diff}(M)$。在图卡 $(U,\phi )$ 中取一点 $p$，使得 $\phi (p)=x^{\mu }(p)$。在 $f\in \mathrm{Diff}(M)$ 的作用下，$p$ 被映为 $f(p)$，其坐标为 $\phi (f(p))=y^{\mu }(f(p))$（我们已假定 $f(p)\in U$）。显然 $y$ 是 $x$ 的可微函数；这是坐标变换的主动观点。然而，若 $(U,\phi )$ 与 $(V,\psi )$ 是相互重叠的图卡，则对点 $p\in U\cap V$ 我们有两个坐标值 $x^{\mu }=\phi (p)$ 和 $y^{\mu }=\psi (p)$。由流形的光滑性假设，映射 $x\mapsto y$ 是可微的；这种重参数化是坐标变换的被动观点。我们也把重参数化群记作 $\mathrm{Diff}(M)$。

下面我们来看几类特殊的映射，即曲线(curve)与函数。$m$ 维流形 $M$ 中的开曲线是一个映射 $c:(a,b)\to M$，其中 $(a,b)$ 是开区间，且 $a<0<b$。我们假定曲线不与自身相交（图 5.7）。数 $a(b)$ 可以取 $-\infty (+\infty )$，为方便起见我们已把 0 包含在区间内。若曲线是闭的，则它

图 5.7. $M$ 中的曲线 $c$ 及其坐标表示 $\phi \circ c$。

被视为一个映射 $c:S^1\to M$。在这两种情形下，$c$ 局部上都是从开区间到 $M$ 的映射。在图卡 $(U,\phi )$ 上，曲线 $c(t)$ 的坐标表示为 $x=\phi \circ c:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^m$。

$M$ 上的函数 $f$ 是从 $M$ 到 $\mathbb{R}$ 的光滑映射，见图 5.8。在图卡 $(U,\phi )$ 上，$f$ 的坐标表示由 $f\circ {\phi }^{-1}:{\mathbb{R}}^m\to \mathbb{R}$ 给出，它是 $m$ 个变量的实值函数。我们把 $M$ 上光滑函数的集合记作 $\mathcal{F}(M)$。

图 5.8. 函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 及其坐标表示 $f\circ {\phi }^{-1}$。

5.2.2 向量

既然已经定义了流形上的映射，我们就可以进而定义其他几何对象：向量、对偶向量与张量。一般而言，把向量看作连接某点与原点的箭头的初等图像，在流形上并不适用。[原点在哪里？什么是直线箭头？我们又怎样在地球表面上定义一条连接伦敦与洛杉矶的直线箭头？] 在流形上，向量被定义为 $M$ 中某条曲线的切向量。

首先，我们来看 $xy$ 平面中曲线的切线。若曲线可微，则在 $x_0$ 附近可以用下式近似该曲线：

$$y-y\left(x_0\right)=a\left(x-x_0\right)\text{\hspace{1em}(5.17)}$$

其中 $a=\mathrm{dy}/\mathrm{dx}{|}_{x=x_0}$。流形 $M$ 上的切向量正是对这一切线的推广。为定义切向量，我们需要一条曲线 $c:(a,b)\to M$ 和一个函数 $f:M\to \mathbb{R}$，其中 $(a,b)$ 是包含 $t=0$ 的开区间，如图 5.9所示。我们把 $c(0)$ 处的切向量定义为函数 $f(c(t))$ 沿曲线 $c(t)$ 在 $t=0$ 处的方向导数。$f(c(t))$ 在

图 5.9. 曲线 $c$ 与函数 $f$ 通过方向导数确定了沿该曲线的切向量。

沿曲线在 $t=0$ 处的变化率为

$${\frac{\mathrm{d}f(c(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}.\text{\hspace{1em}(5.18)}$$

用局部坐标表示，这成为

$${\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(c(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}.\text{\hspace{1em}(5.19)}$$

[注意这里记号被滥用了！导数 $\partial f/\partial x^{\mu }$ 实际上指的是 $\partial (f\circ {\phi }^{-1}(x))/\partial x^{\mu }.$ ] 换言之，$\mathrm{d}f(c(t))/\mathrm{d}t$ 在 $t=0$ 处的值，是把微分算子 $X$ 作用于 $f$ 而得到的，其中

$$X=X^{\mu }\left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\right)\left(X^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(c(t))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\right)(5.20)$$

即

$${\frac{\mathrm{d}f(c(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}=X^{\mu }\left(\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\right)\equiv X[f].\text{\hspace{1em}(5.21)}$$

这里最后一个等号定义了 $X[f]$ 。我们正是把 $X=X^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 定义为 $M$ 在 $p=c(0)$ 处沿曲线 $c(t)$ 所给方向的切向量(tangent vector)。

例 5.7

若把 $X$ 作用于坐标函数 $\phi (c(t))=x^{\mu }(t)$，则得到

$$X[x^{\mu }]=\left(\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}t}\right)\left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}\right)={\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}$$

若把 $t$ 理解为时间，这就是速度向量的第 $\mu$ 个分量。

为了更数学化，我们在 $M$ 中引入曲线的等价类。若两条曲线 $c_1(t)$ 与 $c_2(t)$ 满足

(i) $c_1(0)=c_2(0)=p$
(ii) ${\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(c_1(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}={\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(c_2(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}$

则 $c_1(t)$ 与 $c_2(t)$ 在 $p$ 处给出同一个微分算子 $X$，此时我们定义 $c_1(t)\sim c_2(t)$。显然 $\sim$ 是一个等价关系，它确定了各个等价类。我们把切向量 $X$ 与曲线的等价类等同起来

$$[c(t)]=\left\{\tilde{c}(t)\mid \tilde{c}(0)=c(0)\text{a n d}\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(\tilde{c}(t))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(c(t))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\right\}\text{\hspace{1em}(5.22)}$$

而不是与某一条曲线本身等同。

在 $p\in M$ 处的所有曲线等价类，也就是在 $p$ 处的所有切向量，构成一个向量空间，称为 $M$ 在 $p$ 处的切空间，记作 $T_{p}M$。为分析 $T_{p}M$，我们可以使用section 2.2中发展的向量空间理论。显然，$e_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$（$1\le \mu \le m$）是 $T_{p}M$ 的基向量，见(5.20)，并且 $\dim T_{p}M=\dim M$。基 $\{e_{\mu }\}$ 称为坐标基(coordinate basis)。若把向量 $V\in T_{p}M$ 写成 $V=V^{\mu }{e}_{\mu }$，则数 $V^{\mu }$ 称为 $V$ 关于 $e_{\mu }$ 的分量。由构造方式显然可见，向量 $X$ 的存在并不需要指定坐标，见(5.21)。坐标的指定

只是为了方便。向量的这种坐标无关性使我们能够求出向量分量的变换性质。设 $p\in U_i\cap U_j$ 且 $x={\phi }_i(p),y={\phi }_j(p)$。对于 $X\in T_{p}M$，我们有两种表达式，

$$X=X^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}={\tilde{X}}^{\mu }\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}.$$

这表明 $X^{\mu }$ 与 ${\tilde{X}}^{\mu }$ 之间的关系为

$${\tilde{X}}^{\mu }=X^{\nu }\frac{\partial y^{\mu }}{\partial x^{\nu }}.\text{\hspace{1em}(5.23)}$$

再次注意，向量分量的变换方式使得向量本身保持不变。

$T_{p}M$ 的基不必是 $\{e_{\mu }\}$，我们也可以考虑线性组合 ${\hat{e}}_i\equiv A_i^{\mu }{e}_{\mu }$，其中 $A=(A_i^{\mu })\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$。基 $\{{\hat{e}}_i\}$ 称为非坐标基(non-coordinate basis)。

5.2.3 一形式

由于 $T_{p}M$ 是向量空间，故存在 $T_{p}M$ 的对偶向量空间，其中的元素是从 $T_{p}M$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性函数，见section 2.2。这个对偶空间称为 $p$ 处的余切空间(cotangent space)，记作 $T_p^{\ast }M$。$T_p^{\ast }M$ 中的元素 $\omega :T_{p}M\to \mathbb{R}$ 称为对偶向量(dual vector)、余切向量(cotangent vector)，或在微分形式的语境下称为一形式(one-form)。一形式最简单的例子是函数 $f\in \mathcal{F}(M)$ 的微分 $\mathrm{d}f$。向量 $V$ 对 $f$ 的作用为 $V[f]=V^{\mu }\partial f/\partial x^{\mu }\in \mathbb{R}$。于是 $\mathrm{d}f\in T_p^{\ast }M$ 对 $V\in T_{p}M$ 的作用定义为

$$⟨\mathrm{d}f,V⟩\equiv V[f]=V^{\mu }\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(5.24)}$$

显然，$⟨\mathrm{d}f,V⟩$ 对 $V$ 和 $f$ 都是 $\mathbb{R}$-线性的。

注意到 $\mathrm{df}$ 可用坐标 $x=\phi (p)$ 表示为 $\mathrm{df}=(\partial f/\partial x^{\mu }){\mathrm{dx}}^{\mu }$，自然就把 $\{{\mathrm{dx}}^{\mu }\}$ 看作 $T_p^{\ast }M$ 的一组基。而且这是一组对偶基，因为

$$⟨\mathrm{d}{x}^{\mu },\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}⟩=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\mu }}={\delta }_{\mu }^{\nu }.\text{\hspace{1em}(5.25)}$$

任意一形式 $\omega$ 可写成

$$\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\text{\hspace{1em}(5.26)}$$

其中 ${\omega }_{\mu }$ 是 $\omega$ 的分量。取一个向量 $V=V^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 和一个一形式 $\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$，内积 $⟨,⟩:T_p^{\ast }M\times T_{p}M\to \mathbb{R}$ 定义为

$$⟨\omega ,V⟩={\omega }_{\mu }{V}^v⟨\mathrm{d}{x}^{\mu },\frac{\partial }{\partial x^v}⟩={\omega }_{\mu }{V}^v{\delta }_v^{\mu }={\omega }_{\mu }{V}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(5.27)}$$

注意，内积是在一个向量与一个对偶向量之间定义的，而不是在两个向量之间或两个对偶向量之间定义的。

由于 $\omega$ 的定义不依赖于任何坐标系，故对点 $p\in U_i\cap U_j$，有

$$\omega ={\omega }_{\mu }d{x}^{\mu }={\tilde{\omega }}_{v}d{y}^v$$

其中 $x={\phi }_i(p)$，$y={\phi }_j(p)$。由 ${\mathrm{dy}}^{\nu }=(\partial y^{\nu }/\partial x^{\mu }){\mathrm{dx}}^{\mu }$ 可得

$${\tilde{\omega }}_v={\omega }_{\mu }\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^v}.\text{\hspace{1em}(5.28)}$$

5.2.4 张量

$(q,r)$ 型张量是一个多线性对象，它把 $q$ 个 $T_p^{\ast }M$ 的元素与 $r$ 个 $T_{p}M$ 的元素映为一个实数。${\mathfrak{T}}_{r,p}^q(M)$ 表示点 $p\in M$ 处 $(q,r)$ 型张量的集合。${\mathfrak{T}}_{r,p}^q(M)$ 中的元素用前面所述的基写为

$$T=T_{v_1\dots v_r}^{{\mu }_1\dots {\mu }_q}\frac{\partial }{\partial x^{{\mu }_1}}\dots \frac{\partial }{\partial x^{{\mu }_q}}d{x}^{v_1}\dots d{x}^{v_r}.\text{\hspace{1em}(5.29)}$$

显然，这是从

$${\otimes }^q{T}_p^{\ast }M{\otimes }^r{T}_{p}M$$

到 $\mathbb{R}$ 的线性函数。设 $V_i=V_i^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ $(1\le i\le r)$，${\omega }_i={\omega }_{i\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$ $(1\le i\le q)$。$T$ 作用于它们便得到一个数

$$T\left({\omega }_1,\dots ,{\omega }_q;V_1,\dots ,V_r\right)=T_{v_1\dots v_r}^{{\mu }_1\dots {\mu }_q}{\omega }_{1{\mu }_1}\dots {\omega }_{q{\mu }_q}{V}_1^{v_1}\dots V_r^{v_r}.$$

在目前的记号下，内积为 $⟨\omega ,X⟩=\omega (X)$

5.2.5 张量场

若对 $M$ 的每一点都光滑地指定一个向量，则称之为 $M$ 上的向量场(vector field)。换言之，若对任意 $f\in \mathcal{F}(M)$ 都有 $V[f]\in \mathcal{F}(M)$，则 $V$ 是一个向量场。显然，向量场的每个分量都是从 $M$ 到 $\mathbb{R}$ 的光滑函数。$M$ 上向量场的集合记作 $\mathcal{X}(M)$。向量场 $X$ 在 $p\in M$ 处的值记作 $X{|}_p$，它是 $T_{p}M$ 的元素。类似地，若在每一点 $p\in M$ 处光滑地指定 ${\mathfrak{T}}_{r,p}^q(M)$ 的一个元素，就定义了 $(q,r)$ 型张量场。$M$ 上 $(q,r)$ 型张量场的集合记作 ${\mathfrak{T}}_r^q(M)$。例如，${\mathfrak{T}}_1^0(M)$ 是对偶向量场的集合，在微分形式的语境中也记作 ${\Omega }^1(M)$，见5.4 节。类似地，在同一语境中 ${\mathfrak{T}}_0^0(M)=\mathcal{F}(M)$ 记作 ${\Omega }^0(M)$。

5.2.6 诱导映射

光滑映射 $f:M\to N$ 自然地诱导出一个映射 $f_{\ast }$，称为微分映射(differential map)（图 5.10），

图 5.10　映射 $f:M\to N$ 诱导出微分映射 $f_{\ast }:T_{p}M\to T_{f(p)}N$。

$$f_{\ast }:T_{p}M\to T_{f(p)}N.\text{\hspace{1em}(5.30)}$$

$f_{\ast }$ 的具体形式可由切向量作为沿曲线的方向导数的定义得到。若 $g\in \mathcal{F}(N)$，则 $g\circ f\in \mathcal{F}(M)$。向量 $V\in T_{p}M$ 作用于 $g\circ f$ 得到一个数 $V[g\circ f]$。现在我们用下式来定义 $f_{\ast }V\in T_{f(p)}N$：

$$\left(f_{\ast }V\right)[g]\equiv V[g\circ f]\text{\hspace{1em}(5.31)}$$

或者，用 $M$ 上的图卡 $(U,\phi )$ 与 $N$ 上的图卡 $(V.\psi )$ 来表示，

$$\left(f_{\ast }V\right)\left[g\circ {\psi }^{-1}(y)\right]\equiv V\left[g\circ f\circ {\phi }^{-1}(x)\right]\text{\hspace{1em}(5.32)}$$

其中 $x=\phi (p)$，$y=\psi (f(p))$。令 $V=V^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$，$f_{\ast }V=W^{\alpha }\partial /\partial y^{\alpha }$。则由(5.32)可得

$$W^{\alpha }\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}[g\circ {\psi }^{-1}(y)]=V^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}[g\circ f\circ {\phi }^{-1}(x)].$$

若取 $g=y^{\alpha }$，便得到 $W^{\alpha }$ 与 $V^{\mu }$ 之间的关系，

$$W^{\alpha }=V^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}{y}^{\alpha }(x).\text{\hspace{1em}(5.33)}$$

注意，矩阵 $(\partial y^{\alpha }/\partial x^{\mu })$ 正是映射 $f:M\to N$ 的雅可比矩阵。微分映射 $f_{\ast }$ 可自然地推广到 $(q,0)$ 型张量，即 $f_{\ast }:{\mathcal{T}}_{0,p}^q(M)\to {\mathcal{T}}_{0,f(p)}^q(N)$。

例 5.8

设 $(x^1,x^2)$ 与 $(y^1,y^2,y^3)$ 分别是 $M$ 与 $N$ 中的坐标，并设 $V=a\partial /\partial x^1+b\partial /\partial x^2$ 是 $(x^1,x^2)$ 处的一个切向量。

设 $f:M\to N$ 是一个映射，其坐标表示为 $y=(x^1,x^2,\sqrt{1-(x^1{)}^2-(x^2{)}^2})$。则

$$f_{\ast }V=V^{\mu }\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}=a\frac{\partial }{\partial y^1}+b\frac{\partial }{\partial y^2}-\left(a\frac{y^1}{y^3}+b\frac{y^2}{y^3}\right)\frac{\partial }{\partial y^3}.$$

练习 5.3

设 $f:M\to N$，$g:N\to P$。证明复合映射 $g\circ f:M\to P$ 的微分映射为

$$(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ f_{\ast }.\text{\hspace{1em}(5.34)}$$

映射 $f:M\to N$ 还诱导出一个映射

$$f^{\ast }:T_{f(p)}^{\ast }N\to T_p^{\ast }M.\text{\hspace{1em}(5.35)}$$

注意 $f_{\ast }$ 与 $f$ 方向相同，而 $f^{\ast }$ 方向相反，故称之为拉回(pullback)，见section 2.2。若取 $V\in T_{p}M$ 与 $\omega \in T_{f(p)}^{\ast }N$，则 $\omega$ 沿 $f^{\ast }$ 的拉回定义为

$$⟨f^{\ast }\omega ,V⟩=⟨\omega ,f_{\ast }V⟩.\text{\hspace{1em}(5.36)}$$

拉回 $f^{\ast }$ 自然地推广到 $(0,r)$ 型张量，即 $f^{\ast }:{\mathcal{T}}_{r,f(p)}^0(N)\to {\mathcal{T}}_{r,p}^0(M)$。$f^{\ast }$ 的分量表达式由雅可比矩阵 $(\partial y^{\alpha }/\partial x^{\mu })$ 给出，见练习 5.4。

练习 5.4

设 $f:M\to N$ 为光滑映射。证明：对 $\omega ={\omega }_{\alpha }\mathrm{d}{y}^{\alpha }\in T_{f(p)}^{\ast }N$，诱导出的一形式 $f^{\ast }\omega ={\xi }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\in T_p^{\ast }M$ 的分量为

$${\xi }_{\mu }={\omega }_{\alpha }\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}.\text{\hspace{1em}(5.37)}$$

练习 5.5

设 $f$ 与 $g$ 如练习 5.3所示。证明：复合映射 $g\circ f$ 的拉回为

$$(g\circ f{)}^{\ast }=f^{\ast }\circ g^{\ast }.\text{\hspace{1em}(5.38)}$$

对于混合型张量，诱导映射没有自然的推广。只有当 $f:M\to N$ 是微分同胚、从而 $f^{-1}$ 的雅可比矩阵也有定义时，这种推广才可能实现。

练习 5.6

设

$$T_v^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\otimes \mathrm{d}{x}^v$$

是 $M$ 上的 $(1,1)$ 型张量场，并设 $f:M\to N$ 是微分同胚。证明：$N$ 上的诱导张量为

$$f_{\ast }\left(T_v^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\otimes \mathrm{d}{x}^v\right)=T_v^{\mu }\left(\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\right)\left(\frac{\partial x^v}{\partial y^{\beta }}\right)\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}\otimes \mathrm{d}{y}^{\beta }$$

其中 $x^{\mu }$ 与 $y^{\alpha }$ 分别是 $M$ 与 $N$ 中的局部坐标。

5.2.7 子流形

在结束本节之前，我们给出流形的子流形(submanifold)的定义，并在此澄清嵌入的含义。

定义 5.3 浸入(immersion)、嵌入(embedding)、子流形(submanifold) · 浸入、子流形、嵌入

设 $f:M\to N$ 为光滑映射，且 $\dim M\le \dim N$。

(a) 若 $f_{\ast }:T_{p}M\to T_{f(p)}N$ 是单射（一一映射），即 $\mathrm{rank}{f}_{\ast }=\dim M$，则称映射 $f$ 为 $M$ 到 $N$ 的浸入。
(b) 若 $f$ 既是单射又是浸入，则称映射 $f$ 为**嵌入(embedding)。像 $f(M)$ 称为 $N$ 的子流形(submanifold)**。[实际上，如此定义的 $f(M)$ 与 $M$ 微分同胚。]

若 $f$ 是浸入，则由于 $\mathrm{rank}{f}_{\ast }=\dim M$，$f^{\ast }$ 将 $T_{p}M$ 同构地映为 $T_{f(p)}N$ 的一个 $m$ 维向量子空间。由theorem 2.1，我们还得到 $\ker f_{\ast }=\{0\}$。若 $f$ 是嵌入，则 $M$ 与 $f(M)$ 微分同胚。下面的例子将阐明这些颇为技术性的要点。考虑图 5.11(a)中的映射 $f:S^1\to {\mathbb{R}}^2$。它是浸入，因为 $S^1$ 的一维切空间被 $f_{\ast }$ 映为 $T_{f(p)}{\mathbb{R}}^2$ 的子空间。像 $f(S^1)$ 不是 ${\mathbb{R}}^2$ 的子流形，因为 $f$ 不是单射。图 5.11(b)中的映射 $g:S^1\to {\mathbb{R}}^2$ 是嵌入，且 $g(S^1)$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的子流形。显然，嵌入必是浸入，但反之未必成立。在上一节中，我们偶尔提到把 $S^n$ 嵌入 ${\mathbb{R}}^{n+1}$。现在这一含义已经清楚了：若 $S^n$ 由 $f:S^n\to {\mathbb{R}}^{n+1}$ 嵌入，则 $S^n$ 与 $f(S^n)$ 微分同胚。

(a)

(b)

图 5.11　(a) 一个不是嵌入的浸入 $f$。(b) 一个嵌入 $g$ 及子流形 $g(S^1)$。

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