2.2 向量空间

2.2.1 向量与向量空间

域 $K$ 上的向量空间(vector space)（或称线性空间(linear space)）$V$ 是一个集合，在其中定义了两种运算：加法，以及与 $K$ 中元素（称为标量(scalar)）的乘法。（本书主要关注 $K=\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 两种情形。）$V$ 中的元素（称为向量）满足以下公理：

(i) $u+v=v+u$。
(ii) $(u+v)+w=u+(v+w).$
(iii) 存在零向量 $0$，使得 $v+0=v$。
(iv) 对任意 $u$，存在 $-u$，使得 $u+(-u)=0$。
(v) $c(u+v)=cu+cv$
(vi) $(c+d)u=cu+du$
(vii) $(cd)u=c(du)$
(viii) $1u=u$

其中 $u,v,w\in V$，$c,d\in K$，而 1 是 $K$ 的单位元。

设 $\{v_i\}$ 是由 $k(>0)$ 个向量组成的集合。若方程

$$x_1{\mathbf{v}}_1+x_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +x_k{\mathbf{v}}_k=0\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

有非平凡解，即对某个 $i$ 有 $x_i\ne 0$，则称向量组 $\{v_j\}$ 线性相关；反之，若 (2.6) 只有平凡解，即对任意 $i$ 都有 $x_i=0$，则称 $\{v_i\}$ 线性无关(linearly independent)。若这些向量中至少有一个是零向量 $0$，则该向量组总是线性相关的。

若线性无关向量组 $\{e_i\}$ 满足：任意元素 $v\in V$ 都能唯一地写成 $\{e_i\}$ 的线性组合，则称该向量组为 $V$ 的一个基：

$$\mathbf{v}=v^1{\mathbf{e}}_1+v^2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v^n{\mathbf{e}}_n.\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

数 $v^i\in K$ 称为 $\mathbf{v}$ 关于基 $\{e_j\}$ 的分量。若基中含有 $n$ 个元素，则 $V$ 的维数为 $n$，记作 $\dim V=n$。通常把 $K$ 上的 $n$ 维向量空间记作 $V(n,K)$（若由上下文已明确 $n$ 与 $K$，则简记为 $V$）。我们假定 $n$ 是有限的。

2.2.2 线性映射、像与核

给定两个向量空间 $V$ 与 $W$，若映射 $f:V\to W$ 对任意 $a_1,a_2\in K$ 和 $v_1,v_2\in V$ 都满足 $f(a_1{v}_1+a_2{v}_2)=a_{1}f(v_1)+a_{2}f(v_2)$，则称它为线性映射。线性映射是保持向量加法与标量乘法的同态的一个例子。$f$ 的像为 $f(V)\subset W$，$f$ 的核为 $\{v\in V|f(v)=0\}$，二者分别记作 $\mathrm{im}f$ 和 $\ker f$。由于 $f(0)$ 恒为 $0$，故 $\ker f$ 不可能是空集。若 $W$ 就是域 $K$ 本身，则称 $f$ 为线性函数。若 $f$ 是同构，则称 $V$ 与 $W$ 同构，反之亦然，记作 $V\cong W$。由此可得 $\dim V=\dim W$。事实上，所有 $n$ 维向量空间都与 $K^n$ 同构，因而被视为同一个向量空间。向量空间之间的同构是 $\mathrm{GL}(n,K)$ 的一个元素。

定理 2.1

若 $f:V\to W$ 是线性映射，则

$$\dim V=\dim (\ker f)+\dim (\mathrm{im}f).\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

证明

由于 $f$ 是线性映射，可知 $\ker f$ 与 $\mathrm{im}f$ 都是向量空间，见练习 2.8。设 $\ker f$ 的基为 $\{g_1,\dots ,g_r\}$，$\mathrm{im}f$ 的基为 $\{h_1^{\prime },\dots ,h_s^{\prime }\}$。对每个 $i$（$1\le i\le s$），取 $h_i\in V$ 使得 $f(h_i)=h_i^{\prime }$，并考虑向量集合 $\{g_1,\dots ,g_r,h_1,\dots ,h_s\}$。

下面我们证明这些向量构成 $V$ 的一组线性无关的基。任取向量 $v\in V$。由于 $f(v)\in \mathrm{im}f$，它可以展开为 $f(v)=c^i{h}_i^{\prime }=c^{i}f(h_i)$。再由 $f$ 的线性性可得 $f(v-c^i{h}_i)=0$，即 $v-c^i{h}_i\in \ker f$。这表明任意向量 $v$ 都是 $\{g_1,\dots ,g_r,h_1,\dots ,h_s\}$ 的线性组合。因此，$V$ 由 $r+s$ 个向量张成。接下来我们

假设 $a^i{g}_i+b^i{h}_i=0$。于是 $0=f(0)=f(a^i{g}_i+b^i{h}_i)=b^{i}f(h_i)=b^i{h}_i^{\prime }$，这意味着 $b^i=0$。再由 $a^i{g}_i=0$ 可得 $a^i=0$，从而集合 $\{g_1,\dots ,g_r,h_1,\dots ,h_s\}$ 在 $V$ 中线性无关。最后我们得到 $\dim V=r+s=\dim (\ker f)+\dim (\mathrm{im}f)$。

[注：由 $\{h_1,\dots ,h_s\}$ 张成的向量空间称为 $\ker f$ 的正交补(orthogonal complement)，记作 $(\ker f{)}^{\perp }$。]

练习 2.8

(1) 设 $f:V\to W$ 为线性映射。证明 $\ker f$ 与 $\mathrm{im}f$ 都是向量空间。

(2) 证明线性映射 $f:V\to V$ 是同构，当且仅当 $\ker f=\{0\}$。

2.2.3 对偶向量空间

在量子力学的语境中，1.2 节已经介绍过对偶向量空间。这里的论述更为数学化，是对那里所讲内容的补充。

设$f:V\to K$是域$K$上的向量空间$V(n,K)$上的一个线性函数。取一组基$\{e_i\}$以及任意向量$v=v^1{e}_1+\cdots +v^n{e}_n$。由$f$的线性性可得$f(v)=v^{1}f(e_1)+\cdots +v^{n}f(e_n)$。因此，只要知道了所有$i$对应的$f(e_i)$，也就知道了$f$作用于任意向量的结果。值得注意的是，线性函数的集合可以构成一个向量空间，也就是说，两个线性函数的线性组合仍是线性函数。

$$\left(a_1{f}_1+a_2{f}_2\right)(\mathbf{v})=a_1{f}_1(\mathbf{v})+a_2{f}_2(\mathbf{v})\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

这个线性空间称为$V(n,K)$的对偶向量空间，记作$V^{\ast }(n,K)$，或简记为$V^{\ast }$。若$\dim V$有限，则$\dim V^{\ast }$等于$\dim V$。下面在$V^{\ast }$中引入一组基$\{e^{\ast i}\}$。由于$e^{\ast i}$是线性函数，只要给出所有$j$对应的$e^{\ast i}(e_j)$，它就完全确定了。我们选取对偶基，

$$e^{\ast i}\left({\mathbf{e}}_j\right)={\delta }_j^i.\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

任何线性函数$f$（在此语境下称为对偶向量）都可用$\{e^{\ast i}\}$展开，

$$f=f_i{e}^{\ast i}.\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

$f$ 作用于 $v$ 的结果，可以解释为一个列向量与一个行向量之间的内积，

$$f(\mathbf{v})=f_i{e}^{\ast i}\left(v^j{\mathbf{e}}_j\right)=f_i{v}^j{e}^{\ast i}\left({\mathbf{e}}_j\right)=f_i{v}^i.\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

我们有时用记号 $⟨,⟩:V^{\ast }\times V\to K$ 来表示内积。

设 $V$ 与 $W$ 是向量空间，$f:V\to W$ 是线性映射，而 $g:W\to K$ 是 $W$ 上的线性函数（$g\in W^{\ast }$）。容易看出，

复合映射 $g\circ f$ 是 $V$ 上的线性函数。因此，由 $f$ 与 $g$ 便得到元素 $h\in V^{\ast }$，其定义为

$$h(\mathbf{v})\equiv g(f(\mathbf{v}))\mathbf{v}\in V.\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

给定 $g\in W^{\ast }$，映射 $f:V\to W$ 便诱导出一个映射 $h\in V^{\ast }$。相应地，我们得到一个诱导映射 $f^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$，其定义为 $f^{\ast }:g\mapsto h=f^{\ast }(g)$，如图 2.9所示。映射 $h$ 称为 $g$ 在 $f^{\ast }$ 下的拉回。

图 2.9　函数 $g$ 的拉回是一个函数 $f^{\ast }(g)=g\circ f$。

由于 $\dim V^{\ast }=\dim V$，$V$ 与 $V^{\ast }$ 之间存在同构。然而，这个同构并非典范的；要定义 $V$ 与 $V^{\ast }$ 之间的同构（以及反向的同构），我们必须在 $V$ 中指定一个内积，详见下一节。向量空间与其对偶向量空间的这种等价性，在后续内容中会反复出现。

练习 2.9

设 $\{f_j\}$ 是 $V$ 的另一组基，$\{f^{\ast i}\}$ 为其对偶基。用旧基表示，$f_i$ 可写成 $f_i=A_i^j{e}_j$，其中 $A\in \mathrm{GL}(n,K)$。证明两组对偶基满足关系 $e^{\ast i}=f^{\ast j}{A}_j^i$。

2.2.4　内积与伴随

设 $V=V(m,K)$ 是一个带有基 $\{e_i\}$ 的向量空间，并设 $g$ 是一个向量空间同构 $g:V\to V^{\ast }$，其中 $g$ 是 $\mathrm{GL}(m,K)$ 的任意元素。$g$ 的分量表示为

$$g:v^j\to g_{ij}{v}^j.\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

一旦给定了这个同构，我们就可以把两个向量 $v_1,v_2\in V$ 的内积定义为

$$g\left({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\right)\equiv ⟨g{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2⟩.\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

为确定起见，我们假定域 $K$ 是实数域 $\mathbb{R}$。于是式 (2.15)有分量表达式，

$$g\left({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\right)=v_1^i{g}_{ji}{v}_2^j.\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

我们要求矩阵 $(g_{ij})$ 是正定的，从而使内积 $g(v,v)$ 具有向量 $v$ 的范数平方的意义。我们还要求度量是对称的，即 $g_{ij}=g_{ji}$，从而 $g(v_1,v_2)=g(v_2,v_1)$。

其次，设 $W=W(n,\mathbb{R})$ 是一个带有基 $\{f_{\alpha }\}$ 和向量空间同构 $G:W\to W^{\ast }$ 的向量空间。给定映射 $f:V\to W$，我们可以定义 $f$ 的伴随，记作 $\tilde{f}$，其定义为

$$G(\mathbf{w},f\mathbf{v})=g(\mathbf{v},\tilde{f}\mathbf{w})\text{\hspace{1em}(2.17)}$$

其中 $v\in V$，$w\in W$。容易看出 $(\tilde{f})=f$。式 (2.17) 的分量表达式为

$$w^{\alpha }{G}_{\alpha \beta }{f}_i^{\beta }{v}^i=v^i{g}_{ij}{\tilde{f}}_{\alpha }^j{w}^{\alpha }\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

其中 $f_i^{\beta }$ 与 ${\tilde{f}}_{\alpha }^j$ 分别是 $f$ 与 $\tilde{f}$ 的矩阵表示。若 $g_{ij}={\delta }_{ij}$ 且 $G_{\alpha \beta }={\delta }_{\alpha \beta }$，则伴随 $\tilde{f}$ 退化为矩阵 $f$ 的转置 $f^{\mathrm{t}}$。

下面我们来证明 $\dim \mathrm{im}f=\dim \mathrm{im}\tilde{f}$。由于对任意 $v\in V$ 与 $w\in W$ 都有 (2.18) 成立，故有 $G_{\alpha \beta }{f}_i^{\beta }=g_{ij}{\tilde{f}}_{\alpha }^j$，即

$$\tilde{f}=g^{-1}{f}^{\mathrm{t}}{G}^{\mathrm{t}}.\text{\hspace{1em}(2.19)}$$

利用下面习题的结果，可得 $\mathrm{rank}f=\mathrm{rank}\tilde{f}$，其中映射的秩由相应矩阵的秩来定义（注意 $g\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 且 $G\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$）。显然，$\dim \mathrm{im}f$ 就是表示映射 $f$ 的矩阵的秩，于是我们得出结论 $\dim \mathrm{im}f=\dim \mathrm{im}\tilde{f}$。

练习 2.10

习题 2.10. 设 $V=V(m,\mathbb{R})$，$W=W(n,\mathbb{R})$，并设 $f$ 是从 $V$ 到 $W$ 的线性映射所对应的矩阵。验证 $\mathrm{rank}f=\mathrm{rank}{f}^{\mathrm{t}}=\mathrm{rank}(M{f}^{\mathrm{t}}N)$，其中 $M\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$，$N\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$。

练习 2.11

习题 2.11. 设 $V$ 是 $\mathbb{C}$ 上的向量空间。两个向量 $v_1$ 与 $v_2$ 的内积(inner product)定义为

$$g\left({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\right)={\bar{v}}_1^i{g}_{ij}{v}_2^j\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

其中 $\bar{\cdot }$ 表示复共轭。由内积的正定性与对称性 $g(v_1,v_2)=\overline{g(v_2,v_1)}$ 可知，向量空间同构 $g:V\to V^{\ast }$ 须为正定的埃尔米特矩阵。设 $f:V\to W$ 为（复）线性映射，$G:W\to W^{\ast }$ 为向量空间同构。$f$ 的伴随由 $g(v,\tilde{f}w)=\overline{G(w,fv)}$ 定义。重复上述分析，证明

(a) $\tilde{f}=g^{-1}{f}^{†}{G}^{†}$，其中 $†$ 表示埃尔米特共轭，以及
(b) $\dim \mathrm{im}f=\dim \mathrm{im}\tilde{f}$

定理 2.2 · 玩具指标定理

设 $V$ 与 $W$ 是域 $K$ 上的有限维向量空间，$f:V\to W$ 是线性映射。则

$$\dim \ker f-\dim \ker \tilde{f}=\dim V-\dim W.\text{\hspace{1em}(2.21)}$$

证明

由定理 2.1可知

$$\dim V=\dim \ker f+\dim \mathrm{im}f$$

而若将其应用于 $\tilde{f}:W\to V$，则

$$\dim W=\dim \ker \tilde{f}+\dim \mathrm{im}\tilde{f}.$$

前面我们已经看到 $\dim \mathrm{im}f=\dim \mathrm{im}\tilde{f}$，由此得到

$$\dim V-\dim \ker f=\dim W-\dim \ker \tilde{f}.$$

注意在(2.21)中，左端的每一项都依赖于映射 $f$ 的具体细节。然而右端表明，这两项之差与 $f$ 无关！这可以看作是指标定理的有限维类比，参见第 12 章。

2.2.5 张量

对偶向量是一种线性对象，它把向量映射为标量。这一概念可以推广为多重线性对象，即张量，它把若干个向量和对偶向量映射为一个标量。类型为 $(p,q)$ 的张量 $T$ 是一个多重线性映射，它把 $p$ 个对偶向量和 $q$ 个向量映射到 $\mathbb{R}$，

$$T:\stackrel{p}{⨂}{V}^{\ast }\stackrel{q}{⨂}V\to \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

例如，类型为 $(0,1)$ 的张量把一个向量映射为实数，因而等同于一个对偶向量。类似地，类型为 $(1,0)$ 的张量就是一个向量。若 $\omega$ 把 1 个对偶向量和 2 个向量映射为标量，即 $\omega :V^{\ast }\times V\times V\to \mathbb{R}$，则 $\omega$ 的类型为 $(1,2)$。

所有类型为 $(p,q)$ 的张量构成的集合称为类型为 $(p,q)$ 的张量空间(tensor space)，记作 ${\mathfrak{T}}_q^p$。张量积 $\tau =\mu \otimes \nu \in {\mathfrak{T}}_q^p\otimes {\mathfrak{T}}_{q^{\prime }}^{p^{\prime }}$ 是 ${\mathfrak{T}}_{q+q^{\prime }}^{p+p^{\prime }}$ 中的一个元素，其定义为

$$\begin{array}{rl}& \tau \left({\omega }_1,\dots ,{\omega }_p,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_{p^{\prime }};u_1,\dots ,u_q,v_1,\dots ,v_{q^{\prime }}\right)\\ & =\mu \left({\omega }_1,\dots ,{\omega }_p;u_1,\dots ,u_q\right)v\left({\xi }_1,\dots ,{\xi }_{p^{\prime }};v_1,\dots ,v_{q^{\prime }}\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(2.23)}$$

张量空间中的另一种运算是缩并(contraction)，它是从类型为 $(p,q)$ 的张量空间到类型为 $(p-1,q-1)$ 的映射，定义为

$$\tau (\dots ,e^{\ast i},\dots ;\dots ,e_i,\dots )\text{\hspace{1em}(2.24)}$$

其中 $\{e_i\}$ 与 $\{e^{\ast i}\}$ 是对偶基。

练习 2.12

设 $V$ 与 $W$ 是向量空间，$f:V\to W$ 是线性映射。证明 $f$ 是 (1, 1) 型张量。

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