和乐群

本书暂定概念：尚未进入正式概念库。下面是本书给出的定义原文。

定义 · 定义 7.3

设 $p$ 是 $(M,g)$ 中的一点，考虑 $p$ 处的闭回路之集 $\{c(t)|0\le t\le 1,c(0)=c(1)=p\}$。取向量 $X\in T_{p}M$，沿曲线 $c(t)$ 对 $X$ 作平行移动。沿 $c(t)$ 走完一圈后，我们得到一个新向量 $X_c\in T_{p}M$。于是，回路 $c(t)$ 与联络 $\nabla$ 诱导出一个线性变换

$$P_c:T_{p}M\to T_{p}M.\text{\hspace{1em}(7.90)}$$

这些变换构成的集合记作 $H(p)$，称为 $p$ 处的和乐群(holonomy group)。

我们假定 $H(p)$ 从右作用在 $T_{p}M$ 上，即 $P_{c}X=Xh$（$h\in H(p)$）。写成分量形式便是 $P_{c}X=X^{\mu }{h}_{\mu }^{\nu }{e}_{\nu }$，其中 $\{e_{\nu }\}$ 是 $T_{p}M$ 的基。容易看出 $H(p)$ 构成一个群。乘积 $P_{c^{\prime }}{P}_c$ 对应于先沿 $c$、再沿 $c^{\prime }$ 的平行移动。若记 $P_d=P_{c^{\prime }}{P}_c$，则回路 $d$ 由下式给出

$$d(t)=\{\begin{array}{ll}c(2t)& 0\le t\le \frac{1}{2}\\ c^{\prime }(2t-1)& \frac{1}{2}\le t\le 1.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.91)}$$

单位元对应于常值映射 $c_p(t)=p$（$0\le t\le 1$），而 $P_c$ 的逆由 $P_{c^{-1}}$ 给出，其中 $c^{-1}(t)=c(1-t)$。注意 $H(p)$ 是 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 的子群，后者是可能的最大和乐群。$H(p)$ 平凡当且仅当黎曼张量为零。特别地，若 $(M,g)$ 可平行化（见例 7.2），我们就能使 $H(p)$ 成为平凡的。

若 $M$ 是（弧）连通的，则任意两点 $p,q\in M$ 都可由一条曲线 $a$ 相连。曲线 $a$ 通过把 $T_{p}M$ 中的向量沿 $a$ 平行移动到 $T_{q}M$，定义了一个映射 ${\tau }_a:T_{p}M\to T_{q}M$。于是和乐群 $H(p)$ 与 $H(q)$ 之间满足

$$H(q)={\tau }_a^{-1}H(p){\tau }_a\text{\hspace{1em}(7.92)}$$

从而 $H(q)$ 与 $H(p)$ 同构。

一般地，和乐群是 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 的子群。若 $\nabla$ 是度量联络，则 $\nabla$ 保持向量的长度不变，即对 $X\in T_{p}M$ 有 $g_p(P_c(X),P_c(X))=g_p(X,X)$。此时，若 $(M,g)$ 是可定向的黎曼流形，和乐群必为 $\mathrm{SO}(m)$ 的子群；若它是可定向的洛伦兹流形，则必为 $\mathrm{SO}(m-1,1)$ 的子群。

英文原文

Let $p$ be a point in $(M,g)$ and consider the set of closed loops at $p$ , $\{c(t)|0\le t\le 1,c(0)=c(1)=p\}$ . Take a vector $X\in T_{p}M$ and parallel transport $X$ along a curve $c(t)$ . After a trip along $c(t)$ , we end up with a new vector $X_c\in T_{p}M$ . Thus, the loop $c(t)$ and the connection $\nabla$ induce a linear transformation

$$P_c:T_{p}M\to T_{p}M.\text{\hspace{1em}(7.90)}$$

The set of these transformations is denoted by $H(p)$ and is called the holonomy group at $p$ .

We assume that $H(p)$ acts on $T_{p}M$ from the right, $P_{c}X=Xh$ ( $h\in H(p)$ ). In components, this becomes $P_{c}X=X^{\mu }{h}_{\mu }^{\nu }{e}_{\nu }$ , $\{e_{\nu }\}$ being the basis of $T_{p}M$ . It is easy to see that $H(p)$ is a group. The product $P_{c^{\prime }}{P}_c$ corresponds to parallel transport along $c$ first and then $c^{\prime }$ . If we write $P_d=P_{c^{\prime }}{P}_c$ , the loop $d$ is given by

$$d(t)=\{\begin{array}{ll}c(2t)& 0\le t\le \frac{1}{2}\\ c^{\prime }(2t-1)& \frac{1}{2}\le t\le 1.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.91)}$$

The unit element corresponds to the constant map $c_p(t)=p$ ( $0\le t\le 1$ ) and the inverse of $P_c$ is given by $P_{c^{-1}}$ , where $c^{-1}(t)=c(1-t)$ . Note that $H(p)$ is a subgroup of $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ , which is the maximal holonomy group possible. $H(p)$ is trivial if and only if the Riemann tensor vanishes. In particular, if $(M,g)$ is parallelizable (see example 7.2), we can make $H(p)$ trivial.

If $M$ is (arccwise-)connected, any two points $p,q\in M$ are connected by a curve $a$ . The curve $a$ defines a map ${\tau }_a:T_{p}M\to T_{q}M$ by parallel transporting a vector in $T_{p}M$ to $T_{q}M$ along $a$ . Then the holonomy groups $H(p)$ and $H(q)$ are related by

$$H(q)={\tau }_a^{-1}H(p){\tau }_a\text{\hspace{1em}(7.92)}$$

hence $H(q)$ is isomorphic to $H(p)$ .

In general, the holonomy group is a subgroup of $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ . If $\nabla$ is a metric connection, $\nabla$ preserves the length of a vector, $g_p(P_c(X),P_c(X))=g_p(X,X)$ for $X\in T_{p}M$ . Then the holonomy group must be a subgroup of $\mathrm{SO}(m)$ if $(M,g)$ is orientable and Riemannian and $\mathrm{SO}(m-1,1)$ if it is orientable and Lorentzian.

出处：7.5 和乐 · node a-755b9c201c6bb672ac93d6ee · 源节点 SHA-256 0103bee163476395…