7.5 和乐

设 $(M,g)$ 是 $m$ 维的黎曼流形，其上带有仿射联络(affine connection) $\nabla$。该联络自然地在每个切空间 $T_{p}M$ 上定义了一个变换群，具体如下。

定义 7.3 和乐群

设 $p$ 是 $(M,g)$ 中的一点，考虑 $p$ 处的闭回路之集 $\{c(t)|0\le t\le 1,c(0)=c(1)=p\}$。取向量 $X\in T_{p}M$，沿曲线 $c(t)$ 对 $X$ 作平行移动。沿 $c(t)$ 走完一圈后，我们得到一个新向量 $X_c\in T_{p}M$。于是，回路 $c(t)$ 与联络 $\nabla$ 诱导出一个线性变换

$$P_c:T_{p}M\to T_{p}M.\text{\hspace{1em}(7.90)}$$

这些变换构成的集合记作 $H(p)$，称为 $p$ 处的和乐群(holonomy group)。

我们假定 $H(p)$ 从右作用在 $T_{p}M$ 上，即 $P_{c}X=Xh$（$h\in H(p)$）。写成分量形式便是 $P_{c}X=X^{\mu }{h}_{\mu }^{\nu }{e}_{\nu }$，其中 $\{e_{\nu }\}$ 是 $T_{p}M$ 的基。容易看出 $H(p)$ 构成一个群。乘积 $P_{c^{\prime }}{P}_c$ 对应于先沿 $c$、再沿 $c^{\prime }$ 的平行移动。若记 $P_d=P_{c^{\prime }}{P}_c$，则回路 $d$ 由下式给出

$$d(t)=\{\begin{array}{ll}c(2t)& 0\le t\le \frac{1}{2}\\ c^{\prime }(2t-1)& \frac{1}{2}\le t\le 1.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.91)}$$

单位元对应于常值映射 $c_p(t)=p$（$0\le t\le 1$），而 $P_c$ 的逆由 $P_{c^{-1}}$ 给出，其中 $c^{-1}(t)=c(1-t)$。注意 $H(p)$ 是 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 的子群，后者是可能的最大和乐群。$H(p)$ 平凡当且仅当黎曼张量为零。特别地，若 $(M,g)$ 可平行化（见例 7.2），我们就能使 $H(p)$ 成为平凡的。

若 $M$ 是（弧）连通的，则任意两点 $p,q\in M$ 都可由一条曲线 $a$ 相连。曲线 $a$ 通过把 $T_{p}M$ 中的向量沿 $a$ 平行移动到 $T_{q}M$，定义了一个映射 ${\tau }_a:T_{p}M\to T_{q}M$。于是和乐群 $H(p)$ 与 $H(q)$ 之间满足

$$H(q)={\tau }_a^{-1}H(p){\tau }_a\text{\hspace{1em}(7.92)}$$

从而 $H(q)$ 与 $H(p)$ 同构。

一般地，和乐群是 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 的子群。若 $\nabla$ 是度量联络，则 $\nabla$ 保持向量的长度不变，即对 $X\in T_{p}M$ 有 $g_p(P_c(X),P_c(X))=g_p(X,X)$。此时，若 $(M,g)$ 是可定向的黎曼流形，和乐群必为 $\mathrm{SO}(m)$ 的子群；若它是可定向的洛伦兹流形，则必为 $\mathrm{SO}(m-1,1)$ 的子群。

例 7.7

我们来计算 $S^2$ 上带有度量 $g=\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi$ 的列维-奇维塔联络的和乐群。非零的联络系数为 ${\Gamma }_{\varphi \varphi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta$ 和 ${\Gamma }_{\varphi \theta }^{\varphi }={\Gamma }_{\theta \varphi }^{\varphi }=\cot \theta$。为简单起见，我们在点 $({\theta }_0,0)$ 处取一个向量 $e_{\theta }=\partial /\partial \theta$，并沿圆周 $\theta ={\theta }_0$（$0\le \varphi \le 2\pi$）对它作平行移动。设 $X$ 是 $e_{\theta }$ 沿该圆周平行移动后所得的向量。向量 $X=X^{\theta }{e}_{\theta }+X^{\varphi }{e}_{\varphi }$ 满足

$${\partial }_{\varphi }{X}^{\theta }-\sin {\theta }_0\cos {\theta }_0{X}^{\varphi }=0\text{\hspace{1em}(7.93a)}$$

$${\partial }_{\varphi }{X}^{\varphi }+\cot {\theta }_0{X}^{\theta }=0.\text{\hspace{1em}(7.93b)}$$

式 (7.93a) 与 (7.93b) 表示简谐振动。事实上，若对 (7.93a) 求 $\varphi$ 的导数并利用 (7.93b)，便得到

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{X}^{\theta }}{\mathrm{d}{\varphi }^2}-\sin {\theta }_0\cos {\theta }_0\frac{\mathrm{d}{X}^{\varphi }}{\mathrm{d}\varphi }=\frac{{\mathrm{d}}^2{X}^{\theta }}{\mathrm{d}{\varphi }^2}-{\cos }^2{\theta }_0{X}^{\theta }=0.\text{\hspace{1em}(7.94)}$$

其通解为 $X^{\theta }=A\cos (C_0\varphi )+B\sin (C_0\varphi )$，其中 $C_0\equiv \cos {\theta }_0$。由于在 $\varphi =0$ 处有 $X^{\theta }=1$，故有

$$X^{\theta }=\cos (C_0\varphi )X^{\varphi }=-\frac{\sin (C_0\varphi )}{\sin {\theta }_0}.$$

沿该圆周平行移动之后，我们最终得到

$$X(\varphi =2\pi )=\cos (2\pi C_0)e_{\theta }-\frac{\sin (2\pi C_0\varphi )}{\sin {\theta }_0}{e}_{\varphi }.\text{\hspace{1em}(7.95)}$$

现在该向量旋转了 $\Theta =2\pi$ cos ${\theta }_0$，而其长度保持不变。若取一点 $p\in S^2$ 以及 $S^2$ 上过 $p$ 的一个圆周，我们总能找到这样的坐标系，使该圆周由 $\theta ={\theta }_0$（$0\le \theta <\pi$）给出，从而可以套用前面的计算。旋转角为 $-2\pi \le \Theta <2\pi$，于是我们发现 $p\in S^2$ 处的和乐群是 SO(2)。

一般地，$S^m$（$m\ge 2$）具有和乐群 $\mathrm{SO}(m)$。乘积流形具有更受限的和乐群。下面的例子取自 Horowitz (1986)。考虑由带标准度量的球面构成的六维流形，例如 $S^6$、$S^3\times S^3$、$S^2\times S^2\times S^2$、$T^6=S^1\times \cdots \times S^1$。它们的和乐群分别为：

(i) $S^6:H(p)=\mathrm{SO}(6)$
(ii) $S^3\times S^3:H(p)=\mathrm{SO}(3)\times \mathrm{SO}(3).$
(iii) $S^2\times S^2\times S^2:H(p)=\mathrm{SO}(2)\times \mathrm{SO}(2)\times \mathrm{SO}(2).$
(iv) $T^6$：由于黎曼张量为零，$H(p)$ 是平凡的。

练习 7.14

证明：例 7.6中给出的庞加莱度量的列维-奇维塔联络，其和乐群为 SO(2)。

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