7.3 曲率与挠率

7.3.1 定义

由于 $\Gamma$ 不是张量，它不能作为衡量流形弯曲程度的量而具有内在的几何意义。例如，若采用笛卡尔坐标系，例 7.1 中的联络系数便为零，而在极坐标下它们却不为零。作为内在的对象，我们定义挠率张量(torsion tensor)

$T:\mathcal{X}(M)\otimes \mathcal{X}(M)\to \mathcal{X}(M)$ 与黎曼曲率张量(Riemann curvature tensor)（或称黎曼张量(Riemann tensor)）$R:\mathcal{X}(M)\otimes \mathcal{X}(M)\otimes \mathcal{X}(M)\to \mathcal{X}(M)$ 如下：

$$T(X,Y)\equiv {\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]\text{\hspace{1em}(7.36)}$$

$$R(X,Y,Z)\equiv {\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z.\text{\hspace{1em}(7.37)}$$

通常把 $R(X,Y,Z)$ 写成 $R(X,Y)Z$，这样 $R$ 看起来就像是作用在 $Z$ 上的一个算子。显然，它们满足

$$T(X,Y)=-T(Y,X),R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z.\text{\hspace{1em}(7.38)}$$

乍看之下，$T$ 与 $R$ 似乎是微分算子，并不明显是多线性的对象。下面我们证明 $R$ 的张量性质，

$$\begin{array}{rl}& \\ & R(fX,gY)hZ=f{\nabla }_X\left\{g{\nabla }_Y(hZ)\right\}-g{\nabla }_Y\left\{f{\nabla }_X(hZ)\right\}-fX[g]{\nabla }_Y(hZ)\\ & \\ & +gY[f]{\nabla }_X(hZ)-fg{\nabla }_{[X,Y]}(hZ)\\ & =fg{\nabla }_X\{Y[h]Z+h{\nabla }_{Y}Z\}-gf{\nabla }_Y\{X[h]Z+h{\nabla }_{X}Z\}\\ & -fg[X,Y][h]Z-fgh{\nabla }_{[X,Y]}Z\\ & =fgh\left\{{\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z\right\}\\ & =fghR(X,Y)Z.\end{array}$$

现在容易看出，$R$ 满足

$$R(X,Y)Z=X^{\lambda }{Y}^{\mu }{Z}^{\nu }R\left(e_{\lambda },e_{\mu }\right)e_{\nu }\text{\hspace{1em}(7.39)}$$

这就验证了 $R$ 的张量性质。由于 $R$ 把三个向量场映为一个向量场，所以它是一个 (1, 3) 型的张量场。

练习 7.7

证明由(7.36)定义的$T$是多线性的，

$$T(X,Y)=X^{\mu }{Y}^{v}T\left(e_{\mu },e_v\right)\text{\hspace{1em}(7.40)}$$

因而是一个 (1, 2) 型的张量场。

由于$T$和$R$都是张量，只要知道它们对基向量的作用，就能得到它们对向量的作用。相对于坐标基$\{e_{\mu }\}$和对偶基$\{\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$，这些张量的分量由下式给出

$$\begin{array}{rl}{T}_{\mu v}^{\lambda }& =⟨\mathrm{d}{x}^{\lambda },T\left(e_{\mu },e_v\right)⟩=⟨\mathrm{d}{x}^{\lambda },{\nabla }_{\mu }{e}_v-{\nabla }_v{e}_{\mu }⟩\\ & =⟨\mathrm{d}{x}^{\lambda },{\Gamma }_{\mu \nu }^{\eta }{e}_{\eta }-{\Gamma }_{\nu \mu }^{\eta }{e}_{\eta }⟩={\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }\end{array}\text{\hspace{1em}(7.41)}$$

以及

$$\begin{array}{rl}{R}_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }& =⟨\mathrm{d}{x}^{\kappa },R\left(e_{\mu },e_{\nu }\right)e_{\lambda }⟩=⟨\mathrm{d}{x}^{\kappa },{\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }{e}_{\lambda }-{\nabla }_{\nu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\lambda }⟩\\ & =⟨d{x}^{\kappa },{\nabla }_{\mu }\left({\Gamma }_{v\lambda }^{\eta }{e}_{\eta }\right)-{\nabla }_{\nu }\left({\Gamma }_{\mu \nu }^{\eta }{e}_{\eta }\right)⟩\\ & =⟨\mathrm{d}{x}^{\kappa },\left({\partial }_{\mu }{\Gamma }_{v\lambda }^{\eta }\right)e_{\eta }+{\Gamma }_{v\lambda }^{\eta }{\Gamma }_{\mu \eta }^{\xi }{e}_{\xi }-\left({\partial }_v{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\eta }\right)e_{\eta }-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\eta }{\Gamma }_{v\eta }^{\xi }{e}_{\xi }⟩\\ & ={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{v\lambda }^{\kappa }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\kappa }+{\Gamma }_{v\lambda }^{\eta }{\Gamma }_{\mu \eta }^{\kappa }-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\eta }{\Gamma }_{v\eta }^{\kappa }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.42)}$$

我们容易得到（参见(7.38)）

$$T_{\mu \nu }^{\lambda }=-T_{\nu \mu }^{\lambda }{R}_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }=-R_{\lambda \nu \mu }^{\kappa }.\text{\hspace{1em}(7.43)}$$

7.3.2 黎曼张量与挠率张量的几何意义

在进一步讨论之前，我们先考察这些张量的几何意义。先看黎曼张量。一个关键的观察是：若把 $p$ 处的向量 $V$ 沿两条不同的曲线 $C$ 和 $C^{\prime }$ 作平行移动到 $q$，则一般说来在 $q$ 处得到的向量并不相同（图 7.2）。然而，若在欧几里得空间中作平行移动——那里的平行移动按我们通常的意义定义——则所得向量与所沿的路径无关。我们期望，正是平行移动的这种不可积性刻画了内禀的曲率(curvature)概念，而这一概念并不依赖于

图 7.2. 若$V$与大圆的夹角$V$保持不变，则自然地定义$V$沿该大圆作平行移动。若把$p$处的$V$分别沿大圆$C$和$C^{\prime }$作平行移动，则所得的在$q$处的向量指向相反的方向。

所选取的特殊坐标。取一个无穷小平行四边形 $pqs$，其四个顶点的坐标依次为 $\{x^{\mu }\}$、$\{x^{\mu }+{\epsilon }^{\mu }\}$、$\{x^{\mu }+{\epsilon }^{\mu }+{\delta }^{\mu }\}$ 和 $\{x^{\mu }+{\delta }^{\mu }\}$，其中 ${\epsilon }^{\mu }$ 与 ${\delta }^{\mu }$ 都是无穷小量（图 7.3）。若把向量 $V_0\in T_{p}M$ 沿 $C=pqr$ 作平行移动，就得到向量 $V_C(r)\in T_{r}M$。而把向量 $V_0$ 沿 $C$ 平行移动到 $q$，得到的是

图 7.3. $p$处的向量$V_0$沿$C$和$C^{\prime }$作平行移动，在$r$处得到$V_C(r)$和$V_{C^{\prime }}(r)$。曲率度量这两个向量之间的差异。

$$V_C^{\mu }(q)=V_0^{\mu }-V_0^{\kappa }{\Gamma }_{v\kappa }^{\mu }(p){\epsilon }^v.$$

于是 $V_C^{\mu }(r)$ 由下式给出

$$\begin{array}{rl}& V_C^{\mu }(r)=V_C^{\mu }(q)-V_C^{\kappa }(q){\Gamma }_{\nu \kappa }^{\mu }(q){\delta }^{\nu }\\ & =V_0^{\mu }-V_0^{\kappa }{\Gamma }_{v\kappa }^{\mu }{\epsilon }^v-\left[V_0^{\kappa }-V_0^{\rho }{\Gamma }_{\zeta \rho }^{\kappa }(p){\epsilon }^{\zeta }\right]\\ & \times \left[{\Gamma }_{v\kappa }^{\mu }(p)+{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{v\kappa }^{\mu }(p){\epsilon }^{\lambda }\right]{\delta }^{\nu }\\ & \simeq V_0^{\mu }-V_0^{\kappa }{\Gamma }_{v\kappa }^{\mu }(p){\epsilon }^v-V_0^{\kappa }{\Gamma }_{v\kappa }^{\mu }(p){\delta }^v\\ & -V_0^{\kappa }\left[{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\nu \kappa }^{\mu }(p)-{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\rho }(p){\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }(p)\right]{\epsilon }^{\lambda }{\delta }^{\nu }\end{array}$$

这里我们保留了 $\epsilon$ 与 $\delta$ 中直到二阶的项。类似地，把 $V_0$ 沿 $C^{\prime }=psr$ 作平行移动，又得到另一个向量 $V_{C^{\prime }}(r)\in T_{r}M$，它由下式给出

$$\begin{array}{rl}& V_{C^{\prime }}^{\mu }(r)\simeq V_0^{\mu }-V_0^{\kappa }{\Gamma }_{\nu \kappa }^{\mu }(p){\delta }^{\nu }-V_0^{\kappa }{\Gamma }_{\nu \kappa }^{\mu }(p){\epsilon }^{\nu }\\ & -V_0^{\kappa }\left[{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\mu }(p)-{\Gamma }_{\nu \kappa }^{\rho }(p){\Gamma }_{\lambda \rho }^{\mu }(p)\right]{\epsilon }^{\lambda }{\delta }^{\nu }.\end{array}$$

在 $r$ 处的这两个向量之差为

$$\begin{array}{rl}& V_{C^{\prime }}(r)-V_C(r)=V_0^{\kappa }[{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\nu \kappa }^{\mu }(p)-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\mu }(p)\\ & -{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\rho }(p){\Gamma }_{v\rho }^{\mu }(p)+{\Gamma }_{v\kappa }^{\rho }(p){\Gamma }_{\lambda \rho }^{\mu }(p)]{\epsilon }^{\lambda }{\delta }^v\\ & =V_0^{\kappa }{R}_{\kappa \lambda \nu }^{\mu }{\epsilon }^{\lambda }{\delta }^{\nu }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.44)}$$

下面我们来看挠率张量的几何意义。设 $p\in M$ 是一个坐标为 $\{x^{\mu }\}$ 的点，$X={\epsilon }^{\mu }{e}_{\mu }$ 与 $Y={\delta }^{\mu }{e}_{\mu }$ 是 $T_{p}M$ 中的两个无穷小向量。若把这两个向量看作微小的位移，它们就确定了 $p$ 附近的两个点 $q$ 与 $s$，其坐标分别为 $\{x^{\mu }+{\epsilon }^{\mu }\}$ 和 $\{x^{\mu }+{\delta }^{\mu }\}$（图 7.4）。若把 $X$ 沿直线 $ps$ 作平行移动，就得到分量为 ${\epsilon }^{\mu }-{\epsilon }^{\lambda }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }{\delta }^{\nu }$ 的向量 $s{r}_1$。连接 $p$ 与 $r_1$ 的位移向量为

图 7.4　向量 $q{r}_2$（$s{r}_1$）是向量 $ps$（$pq$）平行移动到 $q$（$s$）后所得的向量。一般说来 $r_1\ne r_2$，而挠率就度量了这一差别 $r_2{r}_1$。

$$p{r}_1=ps+s{r}_1={\delta }^{\mu }+{\epsilon }^{\mu }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }{\epsilon }^{\lambda }{\delta }^{\nu }.$$

类似地，把 ${\delta }^{\mu }$ 沿 $pq$ 作平行移动，得到的向量为

$$p{r}_2=pq+q{r}_2={\epsilon }^{\mu }+{\delta }^{\mu }-{\Gamma }_{\lambda \nu }^{\mu }{\epsilon }^{\lambda }{\delta }^{\nu }.$$

一般说来，$r_1$ 与 $r_2$ 并不一致，其差为

$$r_2{r}_1=p{r}_2-p{r}_1=\left({\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }-{\Gamma }_{\lambda \nu }^{\mu }\right){\epsilon }^{\lambda }{\delta }^{\nu }=T_{\nu \lambda }^{\mu }{\epsilon }^{\lambda }{\delta }^{\nu }.\text{\hspace{1em}(7.45)}$$

因此，挠率张量度量的是由这些微小位移向量及其平行移动所构成的平行四边形不能闭合的程度。

例 7.2

假设我们在球面上航行。我们这样定义平行移动：若在航行过程中向量与纬度的夹角保持不变，就称该向量被平行移动了。[注：这一平行移动的定义并非通常的定义。例如，测地线不是大圆，而是墨卡托投影上的直线。见例 7.5。] 假设我们沿由纬线和经线构成的小四边形 $pqs$ 航行（图 7.5(a)）。我们把 $p$ 处的一个向量分别沿 $pqr$ 和 $psr$ 平行移动。按照我们对平行移动的定义，$r$ 处的两个向量应当一致，因此曲率张量为零。为求挠率，我们按图 7.5(b)的方式把点 $p,q,r$ 和 $s$ 参数化。我们按(7.45)的方式计算 $p{r}_1$ 与 $p{r}_2$ 之差，从而求出挠率。若把向量 $pq$ 沿 $ps$ 平行移动，得到向量 $s{r}_1$，其长度为 $R\sin \theta \mathrm{d}\varphi$。然而，把向量 $ps$ 沿 $pq$ 平行移动，得到向量 $q{r}_2=qr$。由于 $sr$ 的长度为 $R\sin (\theta -\mathrm{d}\theta )\mathrm{d}\varphi \simeq R\sin \theta \mathrm{d}\varphi -R\cos \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$，我们发现 $r_1{r}_2$ 的长度为 $R\cos \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$。由于 $r_1{r}_2$ 平行于 $-\partial /\partial \varphi$，可知联络具有挠率 $T_{\theta \varphi }^{\varphi }$，见(7.45)。由 $g_{\varphi \varphi }=R^2{\sin }^2\theta$ 可得 $r_1{r}_2$ 的分量为 $(0,-\cot \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi )$。由于 $r_1{r}_2$ 的 $\varphi$ 分量等于 $T_{\theta \varphi }^{\varphi }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$，我们得到 $T_{\theta \varphi }^{\varphi }=-\cot \theta$。

(a)

图 7.5　(a) 若向量与 $p$ 处经线的夹角为 $\alpha$，则此夹角在平行移动过程中保持不变。(b) 向量 $s{r}_1(q{r}_2)$ 是向量 $pq(ps)$ 平行移动到 $s(q)$ 后所得的向量。挠率不为零。

注意，基 $\{\partial /\partial \theta ,\partial /\partial \varphi \}$ 在两极处没有良好定义。众所周知，球面 $S^2$ 上不存在两个在 $S^2$ 上处处线性无关的向量场。$S^2$ 上的任何向量场都必在 $S^2$ 的某处为零，并且

$$(\theta -\mathrm{d}\theta ,\varphi )(\theta -\mathrm{d}\theta ,\varphi +\mathrm{d}\varphi )$$

(b)

$(\theta ,\varphi )$

$(\theta ,\varphi +\mathsf{d}\varphi )$

因而不能与那里的另一个向量场线性无关。若一个 $m$ 维流形 $M$ 上存在 $m$ 个处处线性无关的向量场，则称 $M$ 是可平行化(parallelizable)的。在可平行化流形上，我们可以用这 $m$ 个向量场在 $M$ 的每一点处定义切空间。若 $V_p$ 在 $T_{p}M$ 处的全部分量都等于 $V_q$ 在 $T_{q}M$ 处的相应分量，就称向量 $V_p\in T_{p}M$ 平行于 $V_q\in T_{q}M$。由于这些向量场在整个 $M$ 上都有定义，这种平行性应当与连接 $p$ 和 $q$ 的路径无关，因此黎曼曲率张量为零，尽管挠率张量一般未必为零。对 $S^m$ 而言，这只有在 $m=1,3$ 和 7 时才可能，而这分别与复数、四元数和八元数的存在密切相关。为确定起见，让我们考虑

$$S^3=\left\{(x^1,x^2,x^3,x^4)|\sum _{i=1}^4(x^i{)}^2=1\right\}$$

嵌入在 $({\mathbb{R}}^4,\delta )$ 中的情形。三个正交归一的向量

$${\mathbf{e}}_1(\mathbf{x})=\left(-x^2,x^1,-x^4,x^3\right)$$

$${\mathbf{e}}_2(\mathbf{x})=\left(-x^3,x^4,x^1,-x^2\right)\text{\hspace{1em}(7.46)}$$

$${\mathbf{e}}_3(\mathbf{x})=\left(-x^4,-x^3,x^2,x^1\right)$$

都与 $x=(x^1,x^2,x^3,x^4)$ 正交，且在 $S^3$ 上处处线性无关，因而定义了切空间 $T_x{S}^3$。两个向量 $V_1(x)$ 和 $V_2(y)$

若 $V_1(x)=\sum c^i{e}_i(x)$ 且 $V_2(y)=\sum c^i{e}_i(y)$，则它们是平行的。联络系数由(7.14)算出。设 $\epsilon e_1(x)$ 为一微小位移，在此位移下 $x=(x^1,x^2,x^3,x^4)$ 变为 $x^{\prime }=x+\epsilon e_1(x)=\{x^1-\epsilon x^2,x^2+\epsilon x^1,x^3-\epsilon x^4,x^4+\epsilon x^3\}$。$x$ 处与 $x^{\prime }$ 处的基向量之差为 $e_2(x^{\prime })-e_2(x)=(-x^3-\epsilon x^4,x^4+\epsilon x^3,x^1-\epsilon x^2,-x^2-\epsilon x^1)-(-x^3,x^4,x^1,-x^2)=-\epsilon e_3(x)=\epsilon {\Gamma }_{12}^{\mu }{e}_{\mu }(x)$，因此 ${\Gamma }_{12}^3=-1,{\Gamma }_{12}^1={\Gamma }_{12}^2=0$。类似地，${\Gamma }_{21}^3=1$，于是我们得到 $T_{12}^3=-2$。读者应完成联络系数的计算，并验证：当 $(\lambda \mu \nu )$ 是 (123) 的偶（奇）排列时 $T_{\mu \nu }^{\lambda }=-2(+2)$，否则为零。

让我们看看 $S^3$ 的这种可平行化性质与四元数的存在有何联系。四元数的乘法法则是

$$\begin{array}{rl}& \left(x^1,x^2,x^3,x^4\right)\cdot \left(y^1,y^2,y^3,y^4\right)\\ & =(x^1{y}^1-x^2{y}^2-x^3{y}^3-x^4{y}^4,x^1{y}^2+x^2{y}^1+x^3{y}^4-x^4{y}^3,\\ & x^1{y}^3-x^2{y}^4+x^3{y}^1+x^4{y}^2,x^1{y}^4+x^2{y}^3-x^3{y}^2+x^4{y}^1).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.47)}$$

$S^3$ 可以由单位四元数的集合来定义

$$S^3=\left\{\left(x^1,x^2,x^3,x^4\right)\mid \mathbf{x}\cdot \bar{\mathbf{x}}=1\right\}$$

其中 $x$ 的共轭四元数定义为 $\bar{x}=(x^1,-x^2,-x^3,-x^4)$。根据(7.46)，$x_0=(1,0,0,0)$ 处的切空间由

$${\mathbf{e}}_1=(0,1,0,0){\mathbf{e}}_2=(0,0,1,0){\mathbf{e}}_3=(0,0,0,1).$$

于是，$\mathbf{x}=(x^1,x^2,x^3,x^4)$ 处切空间的基向量 (7.46) 可表示为四元数乘积

$${\mathbf{e}}_1(\mathbf{x})={\mathbf{e}}_1\cdot \mathbf{x}{\mathbf{e}}_2(\mathbf{x})={\mathbf{e}}_2\cdot \mathbf{x}{\mathbf{e}}_3(\mathbf{x})={\mathbf{e}}_3\cdot \mathbf{x}.\text{\hspace{1em}(7.48)}$$

由于这种代数结构，只要在 $S^3$ 的某一点（例如 $x_0=(1,0,0,0)$）给出一组基向量，就总能在 $S^3$ 的任意一点给出一组基向量。

同样地，李群是可平行化的。若在李群 $G$ 的单位元 $e$ 处给出一组基向量 $\{V_1,\dots ,V_m\}$，则总能通过 $\{V_{\mu }\}$ 的左平移（见5.6 节）求出 $T_{g}G$ 的一组基向量，

$$\left\{V_1,\dots ,V_n\right\}\stackrel{L_{g\ast }}{\to }\left\{X_1{|}_g,\dots ,X_n{|}_g\right\}.\text{\hspace{1em}(7.49)}$$

7.3.3 里奇张量与标量曲率

我们可以由黎曼曲率张量出发，通过缩并指标来构造新的张量。里奇张量(Ricci tensor) $Ric$ 是一个 $(0,2)$ 型张量，其定义为

$$Ric(X,Y)\equiv ⟨\mathrm{d}{x}^{\mu },R\left(e_{\mu },Y\right)X⟩\text{\hspace{1em}(7.50a)}$$

其分量为

$$Ri{c}_{\mu v}=Ric\left(e_{\mu },e_v\right)=R_{\mu \lambda v}^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(7.50b)}$$

再进一步缩并指标，便得到标量曲率(scalar curvature) $\mathcal{R}$，

$$\mathcal{R}\equiv g^{\mu v}Ric\left(e_{\mu },e_v\right)=g^{\mu v}Ri{c}_{\mu v}.\text{\hspace{1em}(7.51)}$$

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