1.7 狄拉克场的量子化

自由狄拉克场 $\psi$ 的拉格朗日量为

$${\mathcal{L}}_0=\bar{\psi }(\mathrm{i}/\partial -m)\psi ,\text{\hspace{1em}(1.233)}$$

其中 $\mathcal{J}={\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }$。一般地，$A\equiv {\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }$。对 $\bar{\psi }$ 作变分即得狄拉克方程

$$\left(\mathrm{i}/\partial -m\right)\psi =0.\text{\hspace{1em}(1.234)}$$

在正则量子化中，狄拉克场满足反对易关系

$$\{\bar{\psi }\left(x^0,x\right),\psi \left(x^0,y\right)\}=\delta (x-y).\text{\hspace{1em}(1.235)}$$

因此，在路径积分中它被表示为一个格拉斯曼数函数。生成泛函为

$$Z_0[\bar{\eta },\eta ]=\int \mathcal{D}\bar{\psi }\mathcal{D}\psi \exp \left[i\int dx(\bar{\psi }(i/\partial -m)\psi +\bar{\psi }\eta +\bar{\eta }\psi )\right]\text{\hspace{1em}(1.236)}$$

其中 $\eta ,\bar{\eta }$ 是格拉斯曼源。

传播子由对源的泛函导数给出，

$$\begin{array}{rl}S(x-y)& =-\frac{{\delta }^2{Z}_0[\bar{\eta },\eta ]}{\delta \bar{\eta }(x)\delta \eta (y)}\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^d}\int {\mathrm{d}}^{d}k\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}}{k-m-\mathrm{i}\epsilon }=(\mathrm{i}/\partial +m+\mathrm{i}\epsilon )\Delta (x-y)\end{array}\text{\hspace{1em}(1.237)}$$

其中 $\Delta (x-y)$ 是标量场传播子。

利用狄拉克方程

$$\left(\mathrm{i}/\partial -m\right)\psi =-\eta \bar{\psi }(\mathrm{i}\overleftrightarrow{\partial }+m)=\bar{\eta }\text{\hspace{1em}(1.238)}$$

生成泛函便可写成如下形式

$$Z_0[\bar{\eta },\eta ]=Z_0[0,0]\exp \left[-\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\mathrm{d}y\bar{\eta }(x)S(x-y)\eta (y)\right].\text{\hspace{1em}(1.239)}$$

作 Wick 转动 $\tau =\mathrm{i}{x}^0$ 之后，归一化因子为

$$Z_0[0,0]=\mathrm{Det}(\mathrm{i}/\partial -m)=\prod _i{\lambda }_i\text{\hspace{1em}(1.240)}$$

其中 ${\lambda }_i$ 是狄拉克算符 $\mathrm{i}/\partial -m$ 的第 $i$ 个特征值

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：8c33e7312557304fc46913094d3704413d4bac1629e3ef8616321bbbdf82ab15