路径积分 (path integral)

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Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§35.3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§35.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

然而，还有一种截然不同的方法将经典理论与量子理论联系起来，它完全绕过了哈密顿形式，仅使用拉格朗日量。这就是路径积分(path integral)形式，它基于一种计算时间演化算符的矩阵元的方法

§35.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

There is however a very different approach to relating classical and quantum theories, which completely bypasses the Hamiltonian formalism, just using the Lagrangian. This is the path integral formalism, which is based upon a method for calculating matrix elements of the time evolution operator

已登记作者陈述

Schwartz 第14章 · 用式(14.6)计算短时间矩阵元 · 使用。非相对论二次动量哈密顿量与时间片近似。
woit-qtgr §35.3 zh-CN · 路径积分 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
Schwartz 第14章 · 式(14.14) 路径积分前的时间片乘积 · 使用。依赖已求得的短时间矩阵元；还未取连续极限。
Schwartz 第14章 · §14.2.2 路径积分表达式 (14.15) · 推导。 $ℏ = 1$ ；端点固定；归一化 N 的形式发散及消去按作者保留。
Schwartz 第14章 · 式(14.10) 时间切片 · 推导。平滑时间依赖及无穷小区间近似。
Schwartz 第14章 · §14 路径积分的引入 · 引入。引入不是正式定义；后续量子力学推导与场论推广分开。
woit-qtgr §35.3 en · 路径积分 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
Schwartz 第14章 · 式(14.6) 一维高斯积分结果 · 推导。复参数延拓与收敛条件不由此记录补充证明。

已登记依赖

保持原有来源与审阅状态，不由术语共同出现推断。

用式(14.6)计算短时间矩阵元 → 式(14.6) 一维高斯积分结果 · explicit-author-reference
式(14.14) 路径积分前的时间片乘积 → 用式(14.6)计算短时间矩阵元 · explicit-author-reference
式(14.14) 路径积分前的时间片乘积 → 式(14.10) 时间切片 · explicit-author-reference

编辑导读与作者比较

既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。

Woit 把路径积分介绍为一种绕开哈密顿形式、从拉格朗日量处理量子理论的方式：在一维情形，将时间演化算符的固定位置端点矩阵元表示为路径空间上的积分。 woit-qtgr §35.3 en · 路径积分 · 已登记discussion；woit-qtgr §35.3 zh-CN · 路径积分 · 已登记discussion

Schwartz 将演化振幅分成许多短时间片，并用高斯积分

\int_{- \infty}^{\infty} d p e^{- \frac{1}{2} a p^{2} + J p} = \frac{2 π}{a} e^{\frac{J ^{2}}{2 a}} . (14.6)

求得短时矩阵元

⟨ x_{j + 1} ∣ e^{- i H δ t} ∣ x_{j} ⟩ = N e^{- iV (x_{j}, t_{j}) δ t} e^{i \frac{m}{2} δ t \frac{( x _{j + 1} - x _{j} ) ^{2}}{( δ t ) ^{2}}} = N e^{i L (x, \overset{x}{˙}) δ t}, (14.12)

；代回时间片乘积后再取连续极限。 Schwartz 第14章 · 用式(14.6)计算短时间矩阵元；Schwartz 第14章 · 式(14.6) 一维高斯积分结果

连续极限给出固定端点的路径积分表达式

⟨ f ∣ i ⟩ = N \int_{x (t_{i}) = x_{i}}^{x (t_{f}) = x_{f}} D x (t) e^{i S [x]}, (14.15)

，其中作用量为 $S [x] = \int d t L [x (t), \overset{x}{˙} (t)]$ 。Schwartz 在式 (14.15) 中将被积因子写作 $e^{i S [x]}$ ，该式未显式写出 $ℏ$ ；归一化 $N$ 经重定义后形式上发散、但会从物理量中消去；该段给出物理推导表达，并未展开测度存在性的论证。 Schwartz 第14章 · §14.2.2 路径积分表达式 (14.15)

Woit · 作者条件与约定

Woit §35.3 介绍路径积分，用拉格朗日量处理时间演化矩阵元，并将该处限制在 $d = 1$ 。

条件：本段的路径积分说明针对一维情形；矩阵元带有显式 $ℏ$ ，并使用位置端点 $q_{0}, q_{T}$ 。

记号： $⟨ q_{T} ∣ e^{- i H T /ℏ} ∣ q_{0} ⟩$ 。

woit-qtgr §35.3 en · 路径积分 · 已登记discussion

Schwartz · 作者条件与约定

Schwartz 从短时间演化矩阵元出发，经高斯积分与时间切片极限写出固定端点路径积分及作用量；随后将路径积分形式用于场论。

条件：式 (14.15) 将被积因子写作 $e^{i S [x]}$ ，该式未显式写出 $ℏ$ ；固定端点为 $x (t_{i}) = x_{i}$ 、 $x (t_{f}) = x_{f}$ ； $N$ 在极限中重新定义并形式上发散。

记号： $D x (t)$ 表示满足边界条件的路径求和； $S [x] = \int d t L [x (t), \overset{x}{˙} (t)]$ 。

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

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永久身份：urn:uuid:d8842a51-427e-436c-8476-372fb5a37bfd。

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