特征值 (eigenvalue)

别名：eigenvalues

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§4.1 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§4.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§13.5	en · 中文上下文	术语出现
§13.5	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§4.1 · zh-CN · translation · unreviewed

给定算符 $S : V \to V,$ ，若存在非零向量 $v$ 使得，则标量 $λ \in K$ 称为 $S$ 的特征值(eigenvalue)

§13.5 · en · original_transcription · unreviewed

As in Chapter 4 a complex number $α$ is an eigenvalue of a bounded linear operator $A$ : $H \to H$ if there exists a non-zero vector $u \in H$ such that

§13.5 · zh-CN · translation · unreviewed

复数 $α$ 称为其特征值(eigenvalue)， $u$ 称为 $A$ 对应于特征值 $α$ 的特征向量(eigenvector)，这在第四章我们都已经做过了。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§1.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§1.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定理入口环境中
§3.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§3.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§4.7	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§4.7	zh-CN · 英文上下文	术语出现
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§7.5	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§7.5	en · 中文上下文	术语出现
§25.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§1.2 · zh-CN · translation · unreviewed

原理 · 可观测量

若一个态对应的可观测量具有确定数值，则该态是相应自伴算符的特征向量(eigenvector)。该可观测量在此态中的取值是实数，也就是该算符的特征值(eigenvalue)。

§3.1 · zh-CN · translation · unreviewed

回顾量子理论关于测量的基本原理：只有当量子态(quantum state) 是相应矩阵的特征向量(eigenvector) 时，相关可观测量才有确定值；测量值就是相应矩阵的特征值(eigenvalue)。由于算符自伴，特征值为实数。第一个矩阵对应平凡的可观测量（恒等算符，对每个态都取相同值），而最后一个矩阵 $σ_{3}$ 有两个特征向量：

§3.3 · zh-CN · translation · unreviewed

在这一特殊情形下，[哈密顿算符(Hamiltonian)] 的 [特征值(eigenvalue)] 为 $h_{0} \pm h_{3}$ 。

§4.7 · zh-CN · translation · unreviewed

我们已经看到，改变 $V$ 的基会使线性变换 $L$ 的矩阵发生共轭变换(conjugation)。为获得关于 $L$ 的基无关信息，我们考察其矩阵的特征值(eigenvalue)。复矩阵的行为比实矩阵简单得多：在复数域上，特征值方程

§4.7 · zh-CN · translation · unreviewed

给定 $L$ ，其特征值(eigenvalues) $λ_{j}$ 是特征方程 (4.5) 的根；酉矩阵 $U$ 由相应的特征向量(eigenvectors)确定。不同特征值对应的特征向量彼此正交。

§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

量子力学教材有时会指出，希尔伯特空间 $H$ 中物理态的表示方式存在一种歧义，以此解释这一现象：将 $H$ 中的向量乘以一个标量，不会改变算符的特征值(eigenvalue)，也不会改变测得这些特征值的相对概率。因此，上述符号歧义没有物理后果；可以说，物理态应视为模去这一标量歧义的状态。不过，相较于使用射影表示，直接采用更大的群 $Spin (3)$ 似乎更清楚；作者接受它正是描述旋转对三维量子系统作用的恰当群。

§7.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Quantum mechanics texts sometimes address this phenomenon by noting that a physical state in $H$ is specified only up to a scalar: multiplying a vector in $H$ by a scalar does not change the eigenvalues of operators or the relative probabilities of observing those eigenvalues. Consequently, the sign ambiguity above has no physical effect; one can regard states as defined modulo this scalar ambiguity. It seems more straightforward, however, to avoid projective representations and use the larger group $Spin (3)$ , accepting it as the group that correctly describes the action of rotations on three-dimensional quantum systems.

§7.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

一般地，对于反自伴算符（即从酉李代数表示中得到的算符，也是指数化后得到酉算符的算符），我们将通过乘以 $i$ 来关联一个自伴算符。这些自伴算符的特征值(eigenvalue)均为实数（此处为 $\pm \frac{1}{2}$ ），因此物理学家倾向于将它们作为可观测量，因为测量结果是实数。在相反方向上，给定物理学家的可观测量自伴算符，我们将乘以 − $i$ 以得到一个反自伴算符（它可能是某个酉李代数表示的算符）。

§7.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

In general, to a skew-adjoint operator (which is what one gets from a unitary Lie algebra representation and what exponentiates to unitary operators) we will associate a self-adjoint operator by multiplying by $i$ . These self-adjoint operators have real eigenvalues (here, $\pm \frac{1}{2}$ ), so physicists favor them as observables because measurement results are real numbers. In the other direction, given a physicist’s observable self-adjoint operator, we will multiply by − $i$ to get a skew-adjoint operator (which may be an operator for a unitary Lie algebra representation).

§7.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

下标 $H$ 表示采用海森堡绘景来处理时间依赖性。容易看出，两种绘景中可观测量的特征值(eigenvalue)和期望值(expectation value)完全相同：

§7.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

The subscript $H$ indicates the Heisenberg-picture choice for treating time dependence. It is easy to see that the observable quantities—the eigenvalues and expectation values—are identical in the two pictures:

§7.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§7.4 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§7.5 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

对每个 $x \in S^{2}$ ，算符 $σ \cdot x$ 的特征值(eigenvalue)为 $\pm 1$ 。特征值为 $+ 1$ 的特征向量(eigenvector)满足方程

§7.5 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

For each point $x \in S^{2}$ , the operator $σ \cdot x$ has eigenvalues $\pm 1$ . Eigenvectors with eigenvalue $+ 1$ are the solutions to the equation

§25.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

当 $d = 3$ 时，对应的物理系统是各向同性量子谐振子，也是第21章讨论过的中心势问题之一：势能只依赖于

r^{2} = q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2}

经典哈密顿量的旋转不变性意味着量子哈密顿算符与 $S O (3)$ 在波函数上的作用对易，因此能量本征子空间可分解为 $S O (3)$ 的不可约表示之和。

Bargmann–Fock 表示给出 $H_{7} ⋊ M p (6, R)$ 在态空间上的作用，其中有一个与哈密顿算符对易的 $U (3)$ 子群。更准确地说，元辛群给出 $U (3)$ 的双覆盖，而正规序可使表示下降为 $U (3)$ 本身的表示。与哈密顿量对应的 $U (1)$ 特征值(eigenvalue)给出态的能量，每个能量本征子空间都是 $S U (3)$ 不可约表示之和。它们作用于 $H^{n}$ ：三变量中次数为 $n$ 的齐次多项式空间，其维数为

dim H^{n} = \frac{1}{2} (n + 1) (n + 2)

与 $S U (2)$ 的情形不同，这种构造不能得到 $S U (3)$ 的全部不可约表示。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 19；当前可定位出现 19。

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Woit · 2025-10-20

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