12.2 阿蒂亚-辛格指标定理

12.2.1 定理的陈述

定理 12.2 · 阿蒂亚-辛格指标定理

设 $(E,D)$ 为 $m$ 维无边紧流形 $M$ 上的椭圆复形，则该复形的指标由下式给出：

$$\mathrm{ind}(E,D)=(-1{)}^{m(m+1)/2}{\int }_M\mathrm{ch}\left(\underset{r}{⨁}(-1{)}^r{E}_r\right)\frac{\mathrm{Td}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)}{e(TM)}{|}_{\text{v o l}}.\text{\hspace{1em}(12.33)}$$

右端（RHS）的被积式中只取 $m$ 次形式，因此积分才有意义。[注：除以 $e(TM)$ 在形式层面上确实可以进行。若 $m$ 为奇数，则指标恒为零，见下文。原始文献为 Atiyah and Singer (1968a, b)、Atiyah and Segal (1968)。]

定理 12.2 的证明可参见 Shanahan (1978)、Palais (1965) 与 Gilkey (1984)。那里的证明基于 $K$ 理论或热

核方法。在 13.2 节 中，我们给出了阿蒂亚-辛格（AS）指标定理关于自旋复形的最简版本的证明。近来物理学家利用超对称给出了该定理的另一种证明，这一证明概述于 12.9 节 与 12.10 中。感兴趣的读者可参阅 Alvarez-Gaume (1983) 以及 Friedman and Windey (1984, 1985) 以了解详情。

下面的推论是 定理 12.2 的直接结果。

推论 12.1

设 $\Gamma (M,E)\stackrel{D}{\to }\Gamma (M,F)$ 为两项椭圆复形，则 $D$ 的指标由下式给出

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}D& =\dim \ker D-\dim \ker D^{†}\\ & =(-1{)}^{m(m+1)/2}{\int }_M(\mathrm{ch}E-\mathrm{ch}F)\frac{\mathrm{Td}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)}{e(TM)}{|}_{\text{v o l}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.34)}$$

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