13.2 阿贝尔反常

此后，我们都在一个具有欧几里得号差的偶维流形 $M$（维数 $M=m=2l$）上工作。只要取 $m=4$，便可立即得到四维的结果。我们假定系统是非手征的，即规范场与右旋分量和左旋分量的耦合方式相同。我们的约定是

$$\begin{array}{rl}& {\gamma }^{\mu †}={\gamma }^{\mu }\left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right\}=2{\delta }^{\mu \nu }{\gamma }^{m+1}=(\mathrm{i}{)}^l{\gamma }^1\dots {\gamma }^m\\ & {\gamma }^{m+1†}={\gamma }^{m+1}({\gamma }^{m+1}{)}^2=+I.\end{array}$$

李群生成元 $\{T_{\alpha }\}$ 满足

$$T_{\alpha }^{†}=-T_{\alpha }[T_{\alpha },T_{\beta }]=f_{\alpha \beta }^{\gamma }{T}_{\gamma }\mathrm{tr}(T^{\alpha }{T}^{\beta })=-\frac{1}{2}{\delta }^{\alpha \beta }.$$

13.2.1 藤川方法

在推导反常的若干方法中，藤川的方法（Fujikawa 1979, 1980, 1986）最直接地揭示了该问题的拓扑与几何本质。这一方法等价于相应指标定理的热核证明。

设 $\psi$ 为与外部非阿贝尔规范场 ${\mathcal{A}}_{\mu }$ 相互作用的无质量狄拉克场。有效作用 $W[\mathcal{A}]$ 由下式给出

$${\mathrm{e}}^{-W[\mathcal{A}]}=\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }{\mathrm{e}}^{-\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\bar{\nabla }\psi }\text{\hspace{1em}(13.10)}$$

其中 $\mathrm{i}\overline{\nabla }=\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\nabla }_{\mu }=\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }({\partial }_{\mu }+{\omega }_{\mu }+{\mathcal{A}}_{\mu })$，而 ${\omega }_{\mu }=\frac{1}{2}{\omega }_{\mu \alpha \beta }{\Sigma }^{\alpha \beta }$ 是背景空间的自旋联络。我们对空间作紧致化，使几何（即自旋联络）不起作用。例如，可以把 ${\mathbb{R}}^4$ 紧致化为 $S^4={\mathbb{R}}^4\cup \{\infty \}$，此时狄拉克亏格 $\hat{A}(TM)$ 是平凡的，见例 12.5。在这种情况下，自旋联络无关紧要，可以从 $\mathrm{i}\overline{\nabla }$ 中略去。经典作用量 $\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\overline{\nabla }\psi$ 在手征转动下不变，

$$\psi \to {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\gamma }^{m+1}\alpha }\psi \bar{\psi }\to \bar{\psi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\gamma }^{m+1}\alpha }.\text{\hspace{1em}(13.11)}$$

我们将 $\psi$ 与 $\bar{\psi }$ 展开为

$$\psi =\sum _i{a}_i{\psi }_i\bar{\psi }=\sum _i{\bar{b}}_i{\psi }_i^{†}\text{\hspace{1em}(13.12)}$$

其中 $a_i$ 与 ${\bar{b}}_i$ 是反交换的格拉斯曼变量，

$$\left\{a_i,a_j\right\}=0\left\{{\bar{b}}_i,{\bar{b}}_j\right\}=0\left\{a_i,{\bar{b}}_j\right\}=0$$

而 ${\psi }_i$ 是狄拉克算符的特征向量

$$\mathrm{i}\nabla {\psi }_i={\lambda }_i{\psi }_i.\text{\hspace{1em}(13.13)}$$

由于 $\mathrm{i}\overline{\nabla }$ 是厄米的，${\lambda }_i$ 为实数。由于 $M$ 是紧致的，${\psi }_i$ 可以归一化为

$$⟨{\psi }_i|{\psi }_j⟩=\int \mathrm{d}x{\psi }_i^{†}(x){\psi }_j(x)={\delta }_{ij}.$$

于是，对 $\psi$ 与 $\bar{\psi }$ 的路径积分就换成了对 $a_i$ 与 ${\bar{b}}_i$ 的路径积分。

考虑一个无穷小手征变换，

$$\psi (x)\to \psi (x)+\mathrm{i}\alpha (x){\gamma }^{m+1}\psi (x)\text{\hspace{1em}(13.14a)}$$

$$\bar{\psi }(x)\to \bar{\psi }(x)+\mathrm{i}\bar{\psi }(x)\alpha (x){\gamma }^{m+1}.\text{\hspace{1em}(13.14b)}$$

与通常一样，我们取 $\alpha =\alpha (x)$ 依赖于 $x$。在这一变换下，经典作用量的变换为

$$\begin{array}{rl}& \int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\nabla \psi \to \int \mathrm{d}x(\bar{\psi }+\mathrm{i}\bar{\psi }\alpha {\gamma }^{m+1})\mathrm{i}\nabla (\psi +\mathrm{i}\alpha {\gamma }^{m+1}\psi )\\ & =\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\nabla \psi +\mathrm{i}\int \mathrm{d}x[\alpha \bar{\psi }{\gamma }^{m+1}\mathrm{i}\nabla \psi +\bar{\psi }\mathrm{i}\nabla (\alpha {\gamma }^{m+1}\psi )]\\ & =\int dx\bar{\psi }i\bar{\nabla }\psi -\int dx[\alpha \bar{\psi }{\gamma }^{m+1}{\gamma }^{\mu }({\partial }_{\mu }+{\mathcal{A}}_{\mu })\psi \\ & +\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+{\mathcal{A}}_{\mu }\right)\left(\alpha {\gamma }^{m+1}\psi \right)]\\ & =\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\bar{\nabla }\psi +\int \mathrm{d}x\alpha (x){\partial }_{\mu }{j}_{m+1}^{\mu }(x)\end{array}\text{\hspace{1em}(13.15)}$$

这里我们用了反对易关系 $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{m+1}\}=0$ 以及

$$j_{m+1}^{\mu }(x)\equiv \bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }{\gamma }^{m+1}\psi (x)\text{\hspace{1em}(13.16)}$$

这就是手征流。它是前面定义的 $j_5^{\mu }$ 的高维类比。如果 (13.15) 是 (13.14) 引起的唯一变化，那么朴素地应用Ward-Takahashi 关系就会推出轴流守恒，即 ${\partial }_{\mu }{j}_{m+1}^{\mu }=0$。然而在量子理论中，我们还有另一项变化，即路径积分测度的变化。下面定义手征转动场为

$${\psi }^{\prime }=\psi +\mathrm{i}\alpha {\gamma }^{m+1}\psi =\sum a_i^{\prime }{\psi }_i\text{\hspace{1em}(13.17a)}$$

$${\bar{\psi }}^{\prime }=\bar{\psi }+\mathrm{i}\bar{\psi }\alpha {\gamma }^{m+1}=\sum {\bar{b}}_i^{\prime }{\psi }_i^{†}.\text{\hspace{1em}(13.17b)}$$

此时测度的变化为

$$\int \prod _i\mathrm{d}{a}_i\mathrm{d}{\bar{b}}_i\to \int \prod _i\mathrm{d}{a}_i^{\prime }\mathrm{d}{\bar{b}}_i^{\prime }.\text{\hspace{1em}(13.18)}$$

由 $\{{\psi }_i\}$ 的正交归一性，可得

$$\begin{array}{rl}{a}_i^{\prime }& =⟨{\psi }_i|{\psi }^{\prime }⟩=⟨{\psi }_i|(1+\mathrm{i}\alpha {\gamma }^{m+1})\psi ⟩\\ & =\sum _j⟨{\psi }_i|\left(1+\mathrm{i}\alpha {\gamma }^{m+1}\right){\psi }_j⟩a_j\equiv \sum _j{C}_{ij}{a}_j\end{array}\text{\hspace{1em}(13.19a)}$$

其中

$$C_{ij}=⟨{\psi }_i|\left(1+\mathrm{i}\alpha {\gamma }^{m+1}\right){\psi }_j⟩={\delta }_{ij}+\mathrm{i}\alpha ⟨{\psi }_i\mid {\gamma }^{m+1}{\psi }_j⟩.\text{\hspace{1em}(13.20)}$$

用新变量表示，测度为

$$\begin{array}{rl}\prod \mathrm{d}{a}_j^{\prime }& =[\det C_{ij}{]}^{-1}\prod \mathrm{d}{a}_i=\exp (-\mathrm{tr}\ln C_{ij})\prod \mathrm{d}{a}_i\\ & =\exp \left[-\mathrm{tr}\ln \left(I+\mathrm{i}\alpha ⟨{\psi }_i|{\gamma }^{m+1}{\psi }_j⟩\right)\right]\prod \mathrm{d}{a}_i\\ & \approx \exp (-\mathrm{tr}\mathrm{i}\alpha ⟨{\psi }_i|{\gamma }^{m+1}{\psi }_j⟩)\prod \mathrm{d}{a}_i\\ & =\exp \left(-\mathrm{i}\alpha \sum _i⟨{\psi }_i|{\gamma }^{m+1}{\psi }_i⟩\right)\prod \mathrm{d}{a}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(13.21)}$$

这里出现行列式的逆，是因为 $a_i$ 与 $a_i^{\prime }$ 是格拉斯曼变量，参见 Berezin (1966)。¹ 至于 ${\bar{b}}_i\to {\bar{b}}_i^{\prime }$，我们有

$${\bar{b}}_i^{\prime }=\sum _j{\bar{b}}_j⟨{\psi }_j|\left(1+\mathrm{i}\alpha {\gamma }^{m+1}\right)|{\psi }_i⟩=\sum _j{C}_{ji}{\bar{b}}_j.\text{\hspace{1em}(13.19b)}$$

变换 ${\bar{b}}_i\to {\bar{b}}_i^{\prime }$ 的雅可比行列式与(13.21)一致。因此，测度在手征转动(13.17)下变换为

$$\prod _i\mathrm{d}{a}_i\mathrm{d}{\bar{b}}_i\to \prod _i\mathrm{d}{a}_i^{\prime }\mathrm{d}{\bar{b}}_i^{\prime }\exp \left(-2\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\alpha (x)\sum {\psi }_n^{†}(x){\gamma }^{m+1}{\psi }_n(x)\right).\text{\hspace{1em}(13.22)}$$

现在有效作用有两种表达式：

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{e}}^{-W[\mathcal{A}]}=\int \prod _i\mathrm{d}{a}_i\mathrm{d}{\bar{b}}_i\exp \left(-\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\nabla \psi \right)\\ & =\int \prod _i\mathrm{d}{a}_i^{\prime }\mathrm{d}{\bar{b}}_i^{\prime }\exp (-\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\bar{\mathbb{V}}\psi -\int \mathrm{d}x\alpha (x){\partial }_{\mu }{j}_{m+1}^{\mu }(x)\\ & -2\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\alpha (x)A(x))\end{array}\text{\hspace{1em}(13.23)}$$

其中

$$\mathbf{A}(x)\equiv \sum _i{\psi }_i^{†}(x){\gamma }^{m+1}{\psi }_i(x).\text{\hspace{1em}(13.24)}$$

由于 $\alpha (x)$ 是任意的，我们得到

$${\partial }_{\mu }{j}_{m+1}^{\mu }(x)=-2\mathrm{i}A(x).\text{\hspace{1em}(13.25)}$$

因此，在量子理论中，轴流的朴素守恒并不成立。轴流 $j_{m+1}^{\mu }$ 的这种不守恒称为阿贝尔反常(Abelian anomaly)（或手征反常，或轴反常）。

这与拓扑有什么关系呢？让我们考察(13.22)中的雅可比行列式，并假定 $\alpha (x)$ 与 $x$ 无关。(13.22) 中的积分并没有良好定义，必须加以正则化。我们引入高斯截断（热核正则化）如下：

$$\begin{array}{rl}\int \mathrm{d}xA(x)& =\int \mathrm{d}x\sum _i{\psi }_i^{†}(x){\gamma }^{m+1}{\psi }_i(x)\exp [-({\lambda }_i/M{)}^2]{|}_{M\to \infty }\\ & =\sum ⟨{\psi }_i\mid {\gamma }^{m+1}\exp \left[-(\mathrm{i}\bar{\mathcal{V}}/M{)}^2\right]\mid {\psi }_i⟩{|}_{M\to \infty }.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.26)}$$

在(13.26)中，$1/M^2$对应于上一章中的“时间”参数$t$，而$M\to \infty$意味着$t\to \epsilon$。设$|{\psi }_i⟩$是$\mathrm{i}\overline{\nabla }$的一个本征态，其本征值${\lambda }_i$不为零。在这些本征态中，存在一个本征值为$-{\lambda }_i$的态$|{\psi }_i{⟩}^{\chi }\equiv {\gamma }^{m+1}|\psi ⟩$：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{i}\bar{\nabla }|{\psi }_i{⟩}^{\chi }& =\mathrm{i}\bar{\nabla }{\gamma }^{m+1}|{\psi }_i⟩=-{\gamma }^{m+1}\mathrm{i}\bar{\nabla }|{\psi }_i⟩\\ & =-{\lambda }_i{\gamma }^{m+1}|{\psi }_i⟩=-{\lambda }_i|{\psi }_i{⟩}^{\chi }\end{array}$$

这里用到了反对易关系$\{{\gamma }^{m+1},\mathrm{i}\overline{\mathcal{V}}\}=0$。由于$\mathrm{i}\overline{\mathcal{V}}$是厄米的算符，属于不同本征值的特征向量彼此正交，因此$⟨{\psi }_i|{\psi }_i{⟩}^{\chi }=⟨{\psi }_i|{\gamma }^{m+1}|{\psi }_i⟩=0$。这表明

$$⟨{\psi }_i|{\gamma }^{m+1}\exp [-(\mathrm{i}/\forall /M{)}^2]|{\psi }_i⟩=⟨{\psi }_i|{\gamma }^{m+1}|{\psi }_i⟩\exp [-({\lambda }_i/M{)}^2]=0.$$

因此，(13.26) 右端的贡献只来自零能模。设 $|0,i⟩$ 为 $\mathrm{i}\vec{\nabla }$ 的零能模，$(1\le i\le n_0)$。它们并不构成自旋代数的不可约表示，而应按 ${\gamma }^{m+1}$ 的特征值加以分类。我们记

$${\gamma }^{m+1}|0,i{⟩}_{\pm }=\pm |0,i{⟩}_{\pm }.\text{\hspace{1em}(13.27)}$$

于是，(13.26) 变为

$$\begin{array}{rl}\int \mathrm{d}x\mathbf{A}(x)& =\sum ⟨{\psi }_i|{\gamma }^{m+1}\exp [-(\mathrm{i}\nabla /M{)}^2]|{\psi }_i⟩{|}_{M\to \infty }\\ & =\sum _{i+}⟨0,i|0,i{⟩}_{+}-\sum _{i-}⟨0,i|0,i{⟩}_{-}\\ & =v_{+}-v_{-}=\mathrm{indi}{\nabla }_{+}\end{array}\text{\hspace{1em}(13.28)}$$

其中 ${\nu }_{+}({\nu }_{-})$ 是手性为正（为负）的零能模的数目（$({\nu }_{+}+{\nu }_{-}=n_0)$），而 $\mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{+}$ 由下式定义：

$$\mathrm{i}\vec{\mathbb{V}}=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{-}\\ \mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{+}& 0\end{array}\right)\mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{-}=(\mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{+}{)}^{†}.$$

2 我们考察的是零动量Ward-Takahashi 关系。

现在，阿蒂亚-辛格指标定理进入了这一问题。

为了说明 (13.28) 确实表示相应陈特征的积分，我们首先注意到

$$\begin{array}{rl}(\mathrm{i}\nabla {)}^2& =-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }=-\left\{{\delta }^{\mu \nu }+\frac{1}{2}\left[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right]\right\}\frac{1}{2}\left[\left\{{\nabla }_{\mu },{\nabla }_{\nu }\right\}+{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\right]\\ & =-{\nabla }_{\mu }{\nabla }^{\mu }-\frac{1}{4}\left[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^v\right]{\mathcal{F}}_{\mu v}\end{array}\text{\hspace{1em}(13.29)}$$

这里用到了关系 $[{\nabla }_{\mu },{\nabla }_{\nu }]={\mathcal{F}}_{\mu \nu }$。于是

$$\mathbf{A}(x)=\sum _i⟨{\psi }_i|x⟩⟨x\mid {\gamma }^{m+1}\exp \left[\left({\nabla }^2+\frac{1}{4}\left[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right]{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\right)/M^2\right]\mid {\psi }_i⟩{|}_{M\to \infty }.\text{\hspace{1em}(13.30)}$$

为确定起见，我们取 $m=4$。我们引入平面波基如下：

$$⟨x|{\psi }_i⟩=\int \frac{{\mathrm{d}}^{4}k}{(2\pi {)}^4}⟨x|k⟩⟨k|{\psi }_i⟩.$$

于是，(13.30) 变为

$$\begin{array}{rl}& A(x)=\int \frac{\mathrm{d}k}{(2\pi {)}^4}\int \frac{\mathrm{d}{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^4}\sum _i⟨{\psi }_i|k^{\prime }⟩⟨k^{\prime }|x⟩\\ & \times {\gamma }^{m+1}\exp [({\nabla }^2+\frac{1}{4}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^v]{\mathfrak{F}}_{\mu \nu })/M^2]⟨x|k⟩⟨k|{\psi }_i⟩{|}_{\begin{array}{c}M\to \infty \\ y\to x\end{array}}\\ & =\int \frac{\mathrm{d}k}{(2\pi {)}^4}\mathrm{tr}{\gamma }^{m+1}\exp {\left[\left(-k^2+\frac{1}{4}\left[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right]{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\right)/M^2\right]}_{M\to \infty }\end{array}\text{\hspace{1em}(13.31)}$$

这里用到了完备性性质

$$\sum _i⟨k|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|k^{\prime }⟩=(2\pi {)}^4{\delta }^4(k-k^{\prime }).$$

在(13.31)中，我们把${\nabla }^2$换成了符号$-k^2$，因为含有$\mathcal{A}$的剩余项在$M\to \infty$的极限下并不存活。若令${\tilde{k}}^{\mu }\equiv k^{\mu }/M$，则(13.31)变为

$$\mathbf{A}(x)=\mathrm{tr}[{\gamma }^5\exp (\frac{1}{4}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]{\mathfrak{F}}_{\mu \nu }/M^2)]M^4\int \frac{\mathrm{d}\tilde{k}}{(2\pi {)}^4}\exp (-{\tilde{k}}^2).$$

我们将第一个指数展开，并利用

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{tr}{\gamma }^5=\mathrm{tr}{\gamma }^5{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=0\mathrm{tr}{\gamma }^5{\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=-4{ϵ}^{\kappa \lambda \mu \nu }\\ & \int \mathrm{d}\tilde{k}\exp (-{\tilde{k}}^2)={\pi }^2\end{array}$$

从而得到

$$\begin{array}{rl}A(x)& =\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[{\gamma }^5\frac{1}{4^2}{\left\{\left[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^v\right]{\mathcal{F}}_{\mu v}\right\}}^2\right]\frac{1}{16{\pi }^2}\\ & =\frac{-1}{32{\pi }^2}\mathrm{tr}{ϵ}^{\kappa \lambda \mu \nu }{\mathcal{F}}_{\kappa \lambda }(x){\mathcal{F}}_{\mu \nu }(x).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.32)}$$

注意，指数展开中的高阶项在 $M\to \infty$ 的极限下消失。(13.25) 中的反常守恒定律现在变为

$$\begin{array}{rl}{\partial }_{\mu }{j}_5^{\mu }& =\frac{1}{16{\pi }^2}\mathrm{tr}{ϵ}^{\kappa \lambda \mu \nu }{\mathcal{F}}_{\kappa \lambda }{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\\ & =\frac{1}{4{\pi }^2}\mathrm{tr}\left[{ϵ}^{\kappa \lambda \mu v}{\partial }_{\kappa }\left({\mathcal{A}}_{\lambda }{\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_v+\frac{2}{3}{\mathcal{A}}_{\lambda }{\mathcal{A}}_{\mu }{\mathcal{A}}_v\right)\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(13.33)}$$

这可视为 指标定理 的局部版本。下面我们用场强 $\mathcal{F}=\frac{1}{2}{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$ 来表示 (13.33)。容易验证

$${\nu }_{+}-{\nu }_{-}={\int }_{M}dx{\partial }_{\mu }{j}_{m+1}^{\mu }={\int }_M{\mathrm{ch}}_2(\mathcal{F}).\text{\hspace{1em}(13.34)}$$

这就是背景几何平凡 $(\hat{A}(TM)=1)$ 时扭旋量复形的指标定理。

对于 $\dim M=m=2l$，我们有如下恒等式：

$$v_{+}-v_{-}={\int }_{M}dx{\partial }_{\mu }{j}_{m+1}^{\mu }={\int }_M{\mathrm{ch}}_l(\mathcal{F})={\int }_M\frac{1}{l!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)}^l.\text{\hspace{1em}(13.35)}$$

尾注

来源与版本

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Footnotes

1. 参见1.5 节。例如，我们有$\int a\mathrm{d}a=\int ca\mathrm{d}(ca)=1$、$c\in \mathbb{R}$，而$a$是一个实格拉斯曼数。这表明$\mathrm{d}(ca)=\mathrm{d}a/c$。 ↩