12.9 超对称量子力学

下一节我们将给出物理学家对指标定理在最简单情形下的证明。该证明在很大程度上依赖于超对称量子力学（SUSYQM）的路径积分表述，本节将对此作一概述。

我们已经研究过玻色子与费米子的路径积分量子化。若把这些粒子组合在一起，就会出现一种新的对称性，称为超对称。稍后我们将引入一类特殊的SUSYQM，它在指标定理的证明中起着关键作用。

本节与下一节可以脱离前面各节单独阅读。为使这两节自成体系，必要的工具都已给出。我们的叙述依照 Alvarez（1995）与 Nakahara（1998），原始文献为 Alvarez-Gaume L（1983）以及 Friedman 与 Windey（1984, 1985）。

12.9.1 克利福德代数与费米子

我们先只考虑在 ${\mathbb{R}}^3$ 中运动的粒子，更一般的情形留待以后讨论。设 $\{{\psi }_i\}=\{{\psi }_1,{\psi }_2,{\psi }_3\}$ 为实格拉斯曼变量，其中 $i=1,2,3$ 标记坐标指标。这些格拉斯曼变量满足代数关系

$$\{{\psi }_i,{\psi }_j\}=0$$

我们来考虑拉格朗日量

$$L=\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_i{\dot{\psi }}_i-\frac{\mathrm{i}}{2}{ϵ}_{ijk}{B}_i{\psi }_j{\psi }_k\text{\hspace{1em}(12.130)}$$

其中 $B_i$ 是实数。与 ${\psi }_i$ 对应的正则共轭动量为

$${\pi }_i\equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{\psi }}_i}=-\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_i.$$

$$H=-{\dot{\psi }}_i\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_i-L=\frac{\mathrm{i}}{2}{ϵ}_{ijk}{B}_i{\psi }_j{\psi }_k.\text{\hspace{1em}(12.131)}$$

$$\theta =\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_i\mathrm{d}{\psi }_i.\text{\hspace{1em}(12.132)}$$

$$\omega =\mathrm{d}\theta =\frac{\mathrm{i}}{2}\mathrm{d}{\psi }_i\wedge \mathrm{d}{\psi }_i\text{\hspace{1em}(12.133)}$$

$$[{\psi }_j,\mathrm{i}{\psi }_k{]}_{\mathrm{PB}}=\mathrm{i}{\delta }_{jk}.\text{\hspace{1em}(12.134)}$$

$$\left\{{\psi }_j,{\psi }_k\right\}={\delta }_{jk}.\text{\hspace{1em}(12.135)}$$

$$\{{\sigma }_j,{\sigma }_k\}=2{\delta }_{jk}$$

$$H=-\frac{1}{2}\mathbf{B}\cdot \mathbf{\sigma }.\text{\hspace{1em}(12.136)}$$

12.9.2 平坦空间中的超对称量子力学

$$L=\frac{1}{2}{\dot{x}}_k{\dot{x}}_k+\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_k{\dot{\psi }}_k.\text{\hspace{1em}(12.137)}$$

于是哈密顿量为 该系统的庞加莱一形式为 相应的辛二形式为 由此得到泊松括号 把该泊松括号替换为反交换关系，即实现了系统的量子化： 这一反交换关系称为 ${\mathbb{R}}^3$ 上的克利福德代数(Clifford algebra)。设 ${\sigma }_i$ 为泡利矩阵的第 $i$ 个分量。由观察 容易验证，${\psi }_i={\sigma }_i/\sqrt{2}$ 是克利福德代数的二维表示。众所周知，克利福德代数的有限维不可约表示（在共轭变换的意义下）是唯一的。因此，该系统的希尔伯特空间为 $\mathcal{H}={\mathbb{C}}^2$。用泡利矩阵改写哈密顿量，得 这一哈密顿量称为泡利哈密顿量(Pauli Hamiltonian)，它描述处于磁场中的自旋。 类似地，在 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 与 ${\mathbb{R}}^{2n+1}$ 上定义的克利福德代数作用于希尔伯特空间 $\mathcal{H}={\mathbb{C}}^{2^n}$。 泡利哈密顿量只由自旋坐标 ${\psi }_i$ 构成，与空间坐标 $x_k$ 无关。因此，它无法描述运动的自旋。现在修改哈密顿量，使自旋可以在空间中运动。这可以通过在哈密顿量中加上一个动能项来实现。考虑 ${\mathbb{R}}^d$ 中的自旋，并令 $B=0$，得到哈密顿量

这个拉格朗日量的系数是经过选取的，使得该系统具有后面将要定义的超对称(supersymmetry)。其正则共轭动量为 $p_k={\dot{x}}_k$ 与 ${\pi }_k=-\mathrm{i}{\psi }_k/2$，由此得到该系统的泊松括号

$$[x_j,x_k{]}_{\mathrm{PB}}=[p_j,p_k{]}_{\mathrm{PB}}=0[x_j,p_k{]}_{\mathrm{PB}}=[{\psi }_j,{\psi }_k{]}_{\mathrm{PB}}={\delta }_{jk}.$$

由这些泊松括号容易导出（反）对易关系。正则（反）对易关系为

$$\left[x_j,x_k\right]=\left[p_j,p_k\right]=0\left[x_j,p_k\right]=\left\{{\psi }_j,{\psi }_k\right\}={\delta }_{jk}.\text{\hspace{1em}(12.138)}$$

哈密顿量为

$$H={\dot{x}}_j{p}_j-{\dot{\psi }}_j\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_j-L=\frac{1}{2}{p}^2=-\frac{1}{2}\Delta \text{\hspace{1em}(12.139)}$$

其中 $\Delta ={\sum }_{k=1}^d{\partial }_k^2$ 是 $d$ 维的拉普拉斯算符。$H$ 所作用的希尔伯特空间为 $L^2({\mathbb{R}}^d)\otimes {\mathbb{C}}^{2^n}$，其中 $L^2({\mathbb{R}}^d)$ 表示 ${\mathbb{R}}^d$ 上的平方可积函数之集，而 $n\equiv [d/2]$ 是 $d/2$ 的整数部分。

对拉格朗日量作变分，得到

$$\delta L={\dot{x}}_j\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta x_j+\frac{\mathrm{i}}{2}\delta {\psi }_j{\dot{\psi }}_j+\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_j\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta {\psi }_j.$$

下面我们来验证拉格朗日量在如下超对称变换下保持不变

$$\delta x_j=\mathrm{i}ϵ{\psi }_j\delta {\psi }_j=-ϵ{\dot{x}}_j\text{\hspace{1em}(12.140)}$$

其中 $ϵ$ 是一个“无穷小”的实格拉斯曼常数。事实上，

$$\begin{array}{rl}\delta L& =\mathrm{i}{\dot{x}}_jϵ{\dot{\psi }}_j-\frac{\mathrm{i}}{2}ϵ{\dot{x}}_j{\dot{\psi }}_j-\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_jϵ{\ddot{x}}_j\\ & =\mathrm{i}{\dot{x}}_jϵ{\dot{\psi }}_j-\frac{\mathrm{i}}{2}ϵ{\dot{x}}_j{\dot{\psi }}_j-\frac{\mathrm{i}}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\psi }_jϵ{\dot{x}}_j)+\frac{\mathrm{i}}{2}{\dot{\psi }}_jϵ{\dot{x}}_j\\ & =-\frac{\mathrm{i}}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\psi }_jϵ{\dot{x}}_j\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(12.141)}$$

于是作用量 $S=\int L\mathrm{d}t$ 保持不变。相应的守恒荷（即生成元）称为超荷(supercharge)，它由Noether定理定义为⁴

$$ϵQ\equiv \mathrm{i}ϵp_j{\psi }_j=\mathrm{i}ϵ{\psi }_j{p}_j=\mathrm{i}ϵ{\psi }_j{\dot{x}}_j.\text{\hspace{1em}(12.142)}$$

练习 12.8

证明

$$\delta x_j=\left[x_j,ϵQ\right]\text{\hspace{1em}(12.143)}$$

$$\delta {\psi }_j=\left\{{\psi }_j,ϵQ\right\}.\text{\hspace{1em}(12.144)}$$

4 注意粒子的质量已取为单位值，因此有 $p_j={\dot{x}}_j$。

这些式子表明，$Q$ 是超对称变换的生成元。

下面设 $d=2n$ 为偶数，并对系统进行量子化。我们引入矩阵表示 ${\psi }_j={\gamma }_j/\sqrt{2}$，它是上一小节中引入的二维表示的推广。这里 ${\gamma }_j$ 是 $d$ 维的狄拉克矩阵，它们满足克利福德代数

$$\left\{{\gamma }_j,{\gamma }_k\right\}=2{\delta }_{ij}.\text{\hspace{1em}(12.145)}$$

哈密顿量作用在希尔伯特空间

$$\mathcal{H}=L_2({\mathbb{R}}^{2n})\otimes {\mathbb{C}}^{2^n}.$$

将坐标对角化后，超荷取如下形式：

$$Q=\mathrm{i}{\psi }_j{p}_j=\frac{1}{\sqrt{2}}{\gamma }_j\frac{\partial }{\partial x_j}.\text{\hspace{1em}(12.146)}$$

算符

$$\partial /{\gamma }_j\frac{\partial }{\partial x_j}\text{\hspace{1em}(12.147)}$$

正是欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 中的狄拉克算符，它在指标定理的证明中起着重要作用。

在超对称变换 (12.140) 下，超荷 $Q$ 的变换方式很有意思：

$$\begin{array}{rl}\delta Q& =\mathrm{i}(\delta {\psi }_j){\dot{x}}_j+i{\psi }_j\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta x_j=\mathrm{i}(-ϵ{\dot{x}}_j){\dot{x}}_j+\mathrm{i}{\psi }_j(\mathrm{i}ϵ{\dot{\psi }}_j)\\ & =-\mathrm{i}ϵ{\dot{x}}_j{\dot{x}}_j+ϵ{\psi }_j{\dot{\psi }}_j=-2\mathrm{i}ϵ\left(\frac{1}{2}{\dot{x}}_j{\dot{x}}_j+\frac{\mathrm{i}}{2}{\psi }_j{\dot{\psi }}_j\right)\\ & =-2\mathrm{i}ϵL.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.148)}$$

也就是说，超荷在无穷小超对称变换下的变分恰好就是拉格朗日量！

接下来我们考虑超荷与系统哈密顿量之间的关系。考虑以格拉斯曼参数 ${ϵ}_1$ 和 ${ϵ}_2$ 相继进行的两次超对称变换。若先施行参数为 ${ϵ}_1$ 的变换，再施行参数为 ${ϵ}_2$ 的变换，则得到

$$x_j\stackrel{{ϵ}_1}{\to }{x}_j+\mathrm{i}{ϵ}_1{\psi }_j\stackrel{{ϵ}_2}{\to }{x}_j+\mathrm{i}({ϵ}_1+{ϵ}_2){\psi }_j-\mathrm{i}{ϵ}_1{ϵ}_2{\dot{x}}_j$$

$${\psi }_j\stackrel{{ϵ}_1}{\to }{\psi }_j-{ϵ}_1{\dot{x}}_j\stackrel{{ϵ}_2}{\to }{\psi }_j-({ϵ}_1+{ϵ}_2){\dot{x}}_j-\mathrm{i}{ϵ}_1{ϵ}_2{\dot{\psi }}_j$$

而若把两次超对称变换的次序颠倒，则得到

$$\begin{array}{rl}& x_j\to x_j+\mathrm{i}({ϵ}_1+{ϵ}_2){\psi }_j-\mathrm{i}{ϵ}_2{ϵ}_1{\dot{x}}_j\\ & {\psi }_j\to {\psi }_j-({ϵ}_1+{ϵ}_2){\dot{x}}_j-\mathrm{i}{ϵ}_2{ϵ}_1{\dot{\psi }}_j.\end{array}$$

由这些结果可得超对称变分的对易关系：

$$\left[{\delta }_{{ϵ}_2},{\delta }_{{ϵ}_1}\right]={\delta }_{{ϵ}_2}{\delta }_{{ϵ}_1}-{\delta }_{{ϵ}_1}{\delta }_{{ϵ}_2}=-2\mathrm{i}{ϵ}_1{ϵ}_2\frac{\partial }{\partial t}.\text{\hspace{1em}(12.149)}$$

两次超对称变换的对易关系是一个时间导数，即哈密顿量，这一观察提示：作为超对称变换生成元的超荷，其反对易关系也应给出哈密顿量。事实上，

$$\begin{array}{rl}\{Q,Q\}& =2Q^2=2(\mathrm{i}{p}_j{\psi }_j)(\mathrm{i}{p}_k{\psi }_k)\\ & =-p_j{p}_k\left({\psi }_j{\psi }_k+{\psi }_k{\psi }_j\right)=-p_j{p}_k{\delta }_{jk}\\ & =-2H.\end{array}$$

总之，超对称代数归结为

$$Q^2=-H.\text{\hspace{1em}(12.150)}$$

由于 $Q$ 是反厄米的，哈密顿量是一个厄米算符，其谱非负。

总之，我们在 式 (12.148) 和 (12.141) 中证明了

$$\delta Q=-2\mathrm{i}ϵL\delta L=\frac{1}{2}ϵ\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}.\text{\hspace{1em}(12.151)}$$

若把这些式子与坐标 $x_j$ 和 ${\psi }_j$ 的超对称变换 (12.140) 相比较，我们立刻注意到，玻色型量（$(x_j$ 和 $L$）与费米型量（$({\psi }_j$ 和 $Q$）所起的作用互换了。注意，(12.151) 中超荷 $Q$ 的变分总是拉格朗日量 $L$ 的时间导数。这一观察对于由超荷 $Q$ 构造超对称不变的拉格朗日量至关重要。

12.9.3 一般流形上的超对称量子力学

设 $M$ 是一个黎曼流形，且 $\dim M=2n$。其黎曼度量为

$$\mathrm{d}{s}^2=g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }$$

而两个向量 $X$ 与 $Y$ 关于该度量的内积记作

$$⟨X,Y⟩=g_{\mu \nu }{X}^{\mu }{Y}^{\nu }.$$

向量 ${\psi }^{\mu }(t)$ 在每一时刻 $t$ 都属于 $T{M}_{x(t)}$。因此，${\psi }^{\mu }(t)$ 在坐标变换 $x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\prime \mu }(x^{\nu })$ 下服从通常的向量变换规律：

$${\psi }^{\mu }\to {\psi }^{\prime \mu }=\frac{\partial x^{\prime \mu }}{\partial x^v}{\psi }^v.\text{\hspace{1em}(12.152)}$$

于是，在超对称变换 $\delta \equiv {\delta }_{ϵ}$ 下，坐标的变换为

$$\delta x^{\prime \mu }=\frac{\partial x^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }}\delta x^{\nu }=\frac{\partial x^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }}\mathrm{i}ϵ{\psi }^{\nu }=\mathrm{i}ϵ{\psi }^{\prime \mu }$$

以及

$$\begin{array}{rl}\delta {\psi }^{\prime \mu }& =\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }\partial x^{\lambda }}\delta x^{\lambda }{\psi }^{\nu }+\frac{\partial x^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }}\delta {\psi }^{\nu }\\ & =\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }\partial x^{\lambda }}\mathrm{i}ϵ{\psi }^{\lambda }{\psi }^{\nu }+\frac{\partial x^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }}(-\mathrm{i}ϵ{\dot{x}}^{\nu })=-ϵ{\dot{x}}^{\prime \mu }\end{array}$$

其中利用了格拉斯曼数的反交换关系来得到最后一个等式。这些变换规则表明，超对称变换在坐标变换 $x^{\mu }\to x^{\prime \mu }$ 下是协变的。

上一小节中引入的超荷 $Q$ 应在流形 $M$ 上推广为

$$Q=\mathrm{i}⟨\dot{x},\psi ⟩=\mathrm{i}{g}_{\mu v}(x){\dot{x}}^{\mu }{\psi }^v.\text{\hspace{1em}(12.153)}$$

$M$ 上的超对称不变拉格朗日量由该 $Q$ 的超对称变分构造而成，即

$$\begin{array}{rl}\delta Q& =\mathrm{i}{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }\delta x^{\lambda }{\dot{x}}^{\mu }{\psi }^{\nu }+\mathrm{i}{g}_{\mu \nu }\delta {\dot{x}}^{\mu }{\psi }^{\nu }+\mathrm{i}{g}_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }\delta {\psi }^{\nu }\\ & =\mathrm{i}{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }\mathrm{i}ϵ{\psi }^{\lambda }{\dot{x}}^{\mu }{\psi }^{\nu }+\mathrm{i}{g}_{\mu \nu }(\mathrm{i}ϵ{\dot{\psi }}^{\mu }){\psi }^{\nu }+\mathrm{i}{g}_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }(-ϵ{\dot{x}}^{\nu })\\ & =-2\mathrm{i}ϵ[\frac{1}{2}{g}_{\mu v}{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^v+\frac{\mathrm{i}}{2}{g}_{\mu v}{\psi }^v{\dot{\psi }}^{\mu }\\ & -\frac{\mathrm{i}}{2}{\dot{x}}^{\mu }\frac{1}{2}\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }-{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \lambda }-{\partial }_{\mu }{g}_{\lambda \nu }\right){\psi }^{\lambda }{\psi }^{\nu }]\\ & =-2\mathrm{i}ϵ\left(\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }+\frac{\mathrm{i}}{2}{g}_{\mu \nu }{\psi }^{\nu }{\dot{\psi }}^{\mu }+\frac{\mathrm{i}}{2}{\dot{x}}^{\mu }{g}_{\lambda \rho }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }{\psi }^{\lambda }{\psi }^{\nu }\right)\end{array}$$

其中

$${\Gamma }_{\lambda \mu }^v=\frac{1}{2}{g}^{v\rho }\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\rho \mu }+{\partial }_{\mu }{g}_{\lambda \rho }-{\partial }_{\rho }{g}_{\lambda v}\right)$$

是与列维-奇维塔联络相伴的克里斯托费尔符号。注意其对称性 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }={\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }$。将这里的 $\delta Q$ 与 (12.151) 相比较，即可读出拉格朗日量：

$$\begin{array}{rl}L& =\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }(x){\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }+\frac{\mathrm{i}}{2}{g}_{\mu \nu }(x){\psi }^{\mu }\left(\frac{\mathrm{d}{\psi }^{\nu }}{\mathrm{d}t}+{\dot{x}}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\nu }(x){\psi }^{\kappa }\right)\\ & =\frac{1}{2}⟨\dot{x},\dot{x}⟩+\frac{\mathrm{i}}{2}⟨\psi ,\frac{D\psi }{Dt}⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.154)}$$

这里 $D\psi /Dt$ 是 $\psi$ 沿曲线 $x(t)$ 的协变导数。

练习 12.9

证明拉格朗日量的超对称变分正比于超荷的时间导数，

$$\delta L=\frac{1}{2}ϵ\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}.\text{\hspace{1em}(12.155)}$$

超荷的量子版本为

$$Q\sim g_{\mu v}{p}^{\mu }{\gamma }^v\text{\hspace{1em}(12.156)}$$

也就是 $M$ 上的狄拉克算符 $/\partial$。

下面我们定义一些将在下一节中用到的符号。联络一形式为

$${\Gamma }_v^{\mu }=\mathrm{d}{x}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda v}^{\mu }\text{\hspace{1em}(12.157)}$$

而黎曼曲率二形式为

$${\mathcal{R}}_{\nu }^{\mu }=\mathrm{d}{\Gamma }_{\nu }^{\mu }+{\Gamma }_{\sigma }^{\mu }\wedge {\Gamma }_{\nu }^{\sigma }.\text{\hspace{1em}(12.158)}$$

将黎曼曲率二形式按 ${\mathrm{dx}}^{\rho }\wedge {\mathrm{dx}}^{\sigma }$ 展开，得到

$${\mathcal{R}}_{\nu }^{\mu }=\frac{1}{2}{R}_{\nu \rho \sigma }^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\rho }\wedge \mathrm{d}{x}^{\sigma }\text{\hspace{1em}(12.159)}$$

其分量就是通常的黎曼曲率张量。该分量也可以用联络 ${\nabla }_{\mu }$ 写成

$$\begin{array}{rl}{R}_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }& =⟨\mathrm{d}{x}^{\kappa },{\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}-{\nabla }_{\nu }{\nabla }_{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}⟩\\ & ={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\kappa }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\kappa }+{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\eta }{\Gamma }_{\mu \eta }^{\kappa }-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\eta }{\Gamma }_{\nu \eta }^{\kappa }.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.160)}$$

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