量子力学与表示论之间的基本关系是：每当我们有一个物理量子系统，且有一个群作用于其上时，态空间将承载的一个酉表示（至少在一个相位因子不确定性的意义下）。对于研究量子力学的物理学家而言，这意味着当作用于系统时，表示论提供了关于量子力学态空间的信息。对于研究表示论的数学家而言，这意味着物理学是研究酉表示的一个非常丰富的来源：任何有一个群作用于其上的物理系统都会提供一个酉表示。
对于接近单位元的表示 和群元素 ，可以使用指数映射将 写成
其中 也是一个矩阵，接近于零矩阵。我们将更详细地研究这一情形，并大量处理例子，特别表明如果 是酉的（即，属于子群 ），那么 将是斜伴随的：
其中 是共轭转置矩阵。定义 ，我们发现 是自伴的
因此我们看到，至少在有限维 的情形下，来自 在我们物理系统上的作用的、 在 上的酉表示 ，不仅给出酉矩阵 ，还给出 上相应的自伴算符 。李群作用因此为我们提供了一类量子力学可观测量，而这些算符的自伴性对应于状态空间上表示的酉性。一个引人注目的事实是，对于许多物理系统，以这种方式产生的可观测量类包含最具物理意义的那些可观测量。
在接下来的几章中，我们将看到这一现象的许多例子。我们将详细研究的一个基本例子是时间平移作用。这里群是（带有加法群法则），我们得到在状态空间上的一个酉表示。相应的自伴算符是哈密顿算子（除以），而该表示由下式给出
可以验证，它是从加法群 到酉算符群的一个群同态。这个酉表示给出了理论的动力学，而薛定谔方程 1.1 只是陈述了 是斜伴随算符，将其指数化后得到的酉变换使态 在时间上向前推进 。
构造量子力学态空间的一种方式是将其视为“波函数”，即在时空上取值的复值函数。给定时空上的任意群作用，通过方程1.3的构造，我们在此类波函数的状态空间上得到表示。然而，许多我们感兴趣的表示并不会来自这一构造，我们将在接下来几章中从这类例子开始对本主题的研究，这些例子因是有限维而更为简单。在后续章节中，我们将转向由时空上的群作用诱导的表示，它们将是无限维的。