我们正在考虑的主题常被描述为“对称群”的研究，因为这些群可能作为由空间 M 的变换作用的元素群出现，并保持某种特定结构（因此，是一种“对称变换”）。不过，我们想强调，所考虑的变换并不必须保持任何特定结构。在物理学的应用中，“对称”一词最好限于群以保持运动方程的方式作用于物理系统的情况（例如，在经典力学系统的情况下保持哈密顿算子函数不变）。对于这类对称变换的群，利用群的表示理论来推导对量子力学系统行为的蕴含，是该理论的一项重要应用。然而我们将看到，表示理论在量子力学中的作用远比这更为深刻，因为该理论的整体结构由并非对称（即不保持哈密顿算子）的群作用所决定。