为总结 的情况，我们发现
不可约表示 是一维的，并由其在单位元处的导数 刻画。若 ，则 可以是任意复数。若 ，周期性要求 必须是 ，因此不可约表示由一个整数标记。
- 的任意表示 都具有以下形式
其中 是一个矩阵，其特征值是一组整数 。对于一个量子系统， 是对应于系统上 群作用的自伴可观测量，并被称为该群作用的“生成元”。
- 若 ，则 群作为“对称性”作用在状态空间上。在这种情况下， 将是“守恒量”，即刻画量子态的数，且不随时间演化而改变。
注意，到目前为止我们仅关注有限维表示。在 11.1 节中，我们将考虑一个重要的无限维情形，即圆上函数的表示，这本质上是傅里叶级数理论。它来自 通过旋转在圆上的作用，并由方程 1.3 给出函数上的诱导表示。