回忆群表示的定义：
定义 · 群表示
这只是一组由 乘 矩阵构成的集合，每个群元素对应一个矩阵，且满足群元素的乘法规则。 称为该表示的维数。
我们主要感兴趣的是为李群的情形，此时是某个维数的可微流形。在这种情况下，我们将只关注由可微映射给出的表示。作为空间，是所有乘复矩阵构成的空间，并去掉不可逆（行列式为零）元素构成的轨迹。在上选取局部坐标将由上的个实函数给出，而是可微流形这一条件意味着的导数被一致地定义。我们的重点不是一般情形，而是研究量子力学中具有核心意义的某些特定李群和表示。对于这些表示，人们将能够容易地看出映射是可微的。
为了理解群 的表示，首先要确定其不可约表示：
定义 · 不可约表示
一个表示 称为不可约的，如果它没有子表示，即不存在非零真子空间 使得 是一个表示。确实具有这种子表示的表示称为可约的。
给定两个表示，它们的直和定义为：
定义 · 直和表示
给定维数分别为 和 的表示 和 ，存在一个维数为 的表示，称为这两个表示的直和，记作 。该表示由同态给出
换言之，直和的表示矩阵是分块对角矩阵，其中 和 给出各分块。对于酉表示
定理
证明
证明。若不是不可约的，则存在一个非零的，使得是一个表示，并且
这里 是 在 中的正交补（关于 上的厄米内积）。 是一个子表示，因为由酉性，表示矩阵保持厄米内积。同样的论证可应用于 和 ，并继续直到 分解为不可约表示的直和。□
注意，非酉表示未必能按这种方式分解。举一个简单的例子，考虑上三角 2 乘 2 矩阵构成的群作用在 上。与 成比例的向量构成的子空间 是一个子表示，但在 中不存在 的补空间同时也是子表示（该表示不是酉的，因此没有正交补子表示）。
将任意酉表示分解为不可约分量可能是一个非常不平凡的问题。回忆一下，只有当为 选定一组基时，才能得到表示 的 的显式矩阵。要判断该表示是否可约，不能仅仅看 是否全都处于块对角形式。人们需要查明是否存在 的某一组基，使得它们全都处于这种形式，而仅从矩阵本身来看，这一点非常不明显。
以下定理给出了一个表示成为不可约表示所必须满足的判据：
定理
定理（舒尔引理）。若复表示 不可约，则与所有 交换的线性映射 只有 ，即乘以标量 。
证明
证明。假设 与所有 交换。我们要证明 不可约蕴含 。由于我们是在域 上工作（这对 不成立），我们总能求解特征值方程
求 的特征值 。特征子空间
是 的非零向量子空间，也可以描述为 ，即算符 的核。由于这个算符与所有 对易，我们有
因此 是 的一个表示。如果 是不可约的，则我们必须有 或 。由于 是一个特征值，，所以 ，从而作为 上的线性算符有 。□
更具体地说，舒尔引理指出，对于不可约表示，若一个矩阵 与所有表示矩阵 对易，则 必为单位矩阵的标量倍。注意，该证明关键地使用了特征值存在这一事实。一般而言，只有当人们在 上工作并因而处理复表示时，这一点才成立。对于实向量空间上的表示理论，舒尔引理不再成立。
舒尔引理的一个重要推论是以下对 的不可约表示的刻画，其中 是交换的。
定理
证明