3.2 泡利矩阵的对易关系

对照

泡利矩阵所满足的一组重要关系是它们的对易关系：

$$[{\sigma }_j,{\sigma }_k]\equiv {\sigma }_j{\sigma }_k-{\sigma }_k{\sigma }_j=2i\sum _{l=1}^3{ϵ}_{jkl}{\sigma }_l\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

其中 ${ϵ}_{jkl}$ 满足 ${ϵ}_{123}=1$，在其两个下标置换下是反对称的，并且当两个下标取相同值时为零。更明确地说，这表示：

$$[{\sigma }_1,{\sigma }_2]=2i{\sigma }_3,[{\sigma }_2,{\sigma }_3]=2i{\sigma }_1,[{\sigma }_3,{\sigma }_1]=2i{\sigma }_2$$

这些关系可以通过显式地用矩阵计算来轻松验证。将方程3.2和3.4结合起来，就给出了两个泡利矩阵乘积的公式：

$${\sigma }_j{\sigma }_k={\delta }_{jk}1+i\sum _{l=1}^3{ϵ}_{jkl}{\sigma }_l$$

虽然物理学家更倾向于使用自伴的泡利矩阵及其实特征值，但反自伴矩阵

$$X_j=-i\frac{{\sigma }_j}{2}$$

可以改用。这些满足稍微更简单的交换关系

$$[X_j,X_k]=\sum _{l=1}^3{ϵ}_{jkl}{X}_l$$

或更明确地说

$$[X_1,X_2]=X_3,[X_2,X_3]=X_1,[X_3,X_1]=X_2\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

对易子的非平凡性反映了群的非交换性。接近单位元的群元素 $U\in SU(2)$ 满足

$$U\simeq 1+{ϵ}_1{X}_1+{ϵ}_2{X}_2+{ϵ}_3{X}_3$$

对于小的实 ${ϵ}_j$，正如接近恒等元的群元素 $z\in U(1)$ 满足

$$z\simeq 1+iϵ$$

$X_j$ 及其对易关系可视为完整群及其群乘法律的无穷小版本，在单位元附近成立。就流形的几何而言，回忆 $SU(2)$ 是空间 $S^3$。$X_j$ 给出 $SU(2)$ 单位元处切空间 ${\mathbf{R}}^3$ 的一组基，正如 $i$ 给出 $U(1)$ 单位元处切空间的一组基。

图 3.1：比较 $U(1)$ 作为 $S^1$ 的几何与 $SU(2)$ 作为 $S^3$ 的几何。

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附录：约定与记号

来源与版本

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原书 PDF · 印刷页 30、31

来源版本：2025-10-20