3.3 二态系统的动力学

回忆一下，量子力学中态的时间依赖性由薛定谔方程给出

\frac{d}{d t} ∣ ψ (t)⟩ = - i H ∣ ψ (t)⟩

其中 $H$ 是 $H$ 上的一个特定的自伴线性算符，即哈密顿算符。考虑 $H$ 不随时间变化的情形， $C^{2}$ 上最一般的这种算符 $H$ 将由下式给出

H = h_{0} 1 + h_{1} σ_{1} + h_{2} σ_{2} + h_{3} σ_{3}

对于四个实参数 $h_{0}, h_{1}, h_{2}, h_{3}$ 。薛定谔方程的解则由指数化给出：

∣ ψ (t)⟩ = U (t) ∣ ψ (0)⟩

其中

U (t) = e^{- i t H}

$H$ 中的 $h_{0} 1$ 项贡献一个整体相位因子 $e^{- i h_{0} t}$ ，而剩余因子 $U (t)$ 是群 $S U (2)$ 的元素，而不是所有 2 乘 2 酉算子构成的更大群 $U (2)$ 的元素。

利用我们的方程3.3（对单位向量 $v$ 成立），我们的 $U (t)$ 由取 $h = (h_{1}, h_{2}, h_{3})$ 、 $v = \frac{h}{∣ h ∣}$ 和 $θ = - t ∣ h ∣$ 给出，因此我们得到

U (t) = e^{- i h_{0} t} (cos (- t ∣ h ∣) 1 + i sin (- t ∣ h ∣) \frac{h _{1} σ _{1} + h _{2} σ _{2} + h _{3} σ _{3}}{∣ h ∣}) = e^{- i h_{0} t} (cos (t ∣ h ∣) 1 - i sin (t ∣ h ∣) \frac{h _{1} σ _{1} + h _{2} σ _{2} + h _{3} σ _{3}}{∣ h ∣}) = e^{- i h_{0} t} (cos (t ∣ h ∣) - i \frac{h _{3}}{∣ h ∣} sin (t ∣ h ∣) - i sin (t ∣ h ∣) \frac{h _{1} + i h _{2}}{∣ h ∣} - i sin (t ∣ h ∣) \frac{h _{1} - i h _{2}}{∣ h ∣} cos (t ∣ h ∣) + i \frac{h _{3}}{∣ h ∣} sin (t ∣ h ∣))

在特殊情况 $h = (0, 0, h_{3})$ 下，我们有

U (t) = (e^{- i t (h_{0} + h_{3})} 0 0 e^{- i t (h_{0} - h_{3})})

因此，如果我们的初始状态是

∣ ψ (0)⟩ = α ∣ + \frac{1}{2} ⟩ + β ∣ - \frac{1}{2} ⟩

对于 $α, β \in C$ ，在之后时刻状态将为

∣ ψ (t)⟩ = α e^{- i t (h_{0} + h_{3})} ∣ + \frac{1}{2} ⟩ + β e^{- i t (h_{0} - h_{3})} ∣ - \frac{1}{2} ⟩

在这种特殊情况下，哈密顿算子的特征值是 $h_{0} \pm h_{3}$

在由自旋为 $\frac{1}{2}$ 的粒子（忽略其空间运动）对该系统的物理实现中，哈密顿算子由下式给出

H = \frac{g e}{4 m c} (B_{1} σ_{1} + B_{2} σ_{2} + B_{3} σ_{3}) (3.6)

其中 $B_{j}$ 是磁场的分量，物理常数分别是旋磁比 $(g)$ 、电荷 $(e)$ 、质量 $(m)$ 和光速 $(c)$ 。通过计算上面的 $U (t)$ ，我们解决了求这类系统时间演化的问题，并令 $h_{j} = \frac{g e}{4 m c} B_{j}$ 。对于磁场沿 3 方向的特殊情形 $(B_{1} = B_{2} = 0)$ ，我们看到两个具有确定能量的不同状态（ $∣ + \frac{1}{2} ⟩$ 和 $∣ - \frac{1}{2} ⟩$ ，回忆能量是哈密顿算子的特征值）之间的能量差为

2 h_{3} = \frac{g e}{2 m c} B_{3}

这被称为塞曼效应，在置于磁场中的原子光谱里很容易观察到。我们将在第7章更详细地考察这个例子，看看 $R^{3}$ 的旋转群如何进入这一图景。很久以后，在第45章中，我们将从电磁场如何与自旋 $\frac{1}{2}$ 粒子耦合的一般原理出发，推导出哈密顿算子3.6。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

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原书 PDF · 印刷页 32、33

来源版本：2025-10-20

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