3.1 二态量子系统

3.1.1 泡利矩阵：二态量子系统的可观测量

对于具有二维状态空间 $H = C^{2}$ 的量子系统，可观测量是 $C^{2}$ 上的自伴线性算符。相对于 $C^{2}$ 的一个选定基，这些是满足条件 $M = M^{†}$ 的 2 乘 2 复矩阵 $M$ （ $M$ ^† 是 $M)$ 的共轭转置）。任何这样的矩阵都将是四个矩阵的（实）线性组合：

M = c_{0} 1 + c_{1} σ_{1} + c_{2} σ_{2} + c_{3} σ_{3}

其中 $c_{j} \in R$ ，且基元素的标准选择由下式给出

1 = (1001), σ_{1} = (0110), σ_{2} = (0 i - i 0), σ_{3} = (10 0 - 1)

其中 $σ_{j}$ 被称为“泡利矩阵”。这种基的选择是一种约定，该约定的一个方面是取 3- 方向上的基元素为对角矩阵。在常见的物理情形和约定中，第三个方向是空间中特殊的“上-下”方向，因此当需要在 $R^{3}$ 中选取一个特殊方向时，常选择该方向。

回忆一下，量子理论中测量如何运作的基本原则指出，对于这四个可观测量具有确定值的态只能是这些矩阵的特征向量，其中该值就是特征值；由于算符是自伴的，所以特征值为实数。第一个矩阵给出一个平凡可观测量（对每个态都是恒等），而最后一个， $σ_{3}$ ，有两个特征向量

σ_{3} (0 1) = (0 1)

和

σ_{3} (1 0) = - (1 0)

特征值为 $+ 1$ 和 $- 1$ 。在量子信息论中，这里对应的是量子比特系统，由于与经典信息比特的类比，这两个本征态被标记为 $∣0 ⟩$ 和 $∣1 ⟩$ 。当我们进入第 7 章的自旋理论时，我们将看到可观测量 $\frac{1}{2} σ_{3}$ 对应（以一种非平凡的方式）于绕第三空间轴的旋转群 $S O (2) = U (1)$ 的作用，而该算符的特征值 $- \frac{1}{2}, + \frac{1}{2}$ 将被用来标记这两个本征态，因此

+ \frac{1}{2} ⟩ = (0 1) and - \frac{1}{2} ⟩ = (1 0)

这样的本征态 $∣ + \frac{1}{2} ⟩$ 和 $∣ - \frac{1}{2} ⟩$ 构成 $C^{2}$ 的一组基，因此 $H$ 中的任意向量都可以写成

∣ ψ ⟩ = α ∣ + \frac{1}{2} ⟩ + β ∣ - \frac{1}{2} ⟩

对于 $α, β \in C$ 。仅当 $α$ 或 $β$ 为 0 时，可观测量 $σ_{3}$ 才对应一个刻画该状态且可被测量的良定义数。这个数要么是 $\frac{1}{2}$ （若 $β = 0$ ，因此该状态是特征向量 $∣ + \frac{1}{2} ⟩$ ），要么是 $- \frac{1}{2}$ （若 $α = 0$ ，因此该状态是特征向量 $∣ - \frac{1}{2} ⟩$ ）。

一个容易验证的事实是， $∣ + \frac{1}{2} ⟩$ 和 $∣ - \frac{1}{2} ⟩$ 不是算符 $σ_{1}$ 和 $σ_{2}$ 的特征向量。人们还可以验证，三个 $σ_{j}$ 中没有一对对易，这意味着不存在同时为多于一个 $σ_{j}$ 的特征向量的向量。算符的这种不对易性导致了量子可观测量的典型悖论性质：存在一些态，对于其中一个可观测量 $σ_{j}$ 的测量值具有确定的数，但这样的态对于另外两个不对易的可观测量的测量值却不具有确定的数。

这一现象在该系统实现为自旋 $\frac{1}{2}$ 粒子时的物理描述是：如果制备在 $j$ 方向具有确定自旋分量的态，则自旋的另外两个分量在这样的态中不能被赋予数值。任何试图制备同时具有对应于 $σ_{j}$ 的 3 个可观测量的特定选定数值的态的努力都注定失败。任何同时测量这些数值的努力也是如此：如果测量某个特定可观测量 $σ_{j}$ 的值，那么继续测量另外两个之一将确保第一次测量不再有效（重复它不一定给出相同的结果）。量子系统测量理论中有许多微妙之处，但这个简单的二态例子已经显示了可观量的行为与经典物理的行为相当不同的某些主要特征。

当基向量 $(0 1)$ 和 $(1 0)$ 是 $σ_{3}, σ_{1}$ 的特征向量时， $σ_{2}$ 将这些基向量变为基向量的非平凡线性组合。事实证明， $σ_{1}$ 和 $σ_{2}$ 的两个特定线性组合对基向量做了非常简单的事情。由于

(σ_{1} + i σ_{2}) = (0020) and (σ_{1} - i σ_{2}) = (0200)

我们有

(σ_{1} + i σ_{2}) (1 0) = 2 (0 1) (σ_{1} + i σ_{2}) (0 1) = (0 0)

和

(σ_{1} - i σ_{2}) (0 1) = 2 (1 0) (σ_{1} - i σ_{2}) (1 0) = (0 0)

$(σ_{1} + i σ_{2})$ 称为“升算符”：在 $σ_{3}$ 的特征向量上，它要么将特征值增加 2，要么将向量湮灭。 $(σ_{1} - i σ_{2})$ 称为“降算符”：在 $σ_{3}$ 的特征向量上，它要么将特征值减少 2，要么将向量湮灭。注意，这些线性组合不是自伴的，也不是可观测量， $(σ_{1} + i σ_{2})$ 是 $(σ_{1} - i σ_{2})$ 的伴随，反之亦然。

3.1.2 泡利矩阵的指数：二态系统的酉变换

我们在第 2 章看到，在 $U (1)$ 情形下，知道 $H$ 上的可观测量算符 $Q$ 就确定了 $U (1)$ 的表示，其表示矩阵通过对 $i θ Q$ 取指数得到。这里我们将以类似方式对可观测量取指数，从而找出对应于二态系统可观测量的表示。

先取单位矩阵，乘以 $i θ$ 并取指数，得到对角酉矩阵

e^{i θ 1} = (e^{i θ} 0 0 e^{i θ})

这正是第2章所研究的情形，即一个 $U (1)$ 群作用在 $H = C^{2}$ 上，且

Q = (1001)

该矩阵与任何其他 2 乘 2 矩阵交换，因此我们可以独立于 $σ_{j}$ 的作用来处理它对 $H$ 的作用

转向可观测量空间的另外三个基元素，即泡利矩阵，结果表明，由于所有 $σ_{j}$ 都满足 $σ_{j}^{2} = 1$ ，它们的指数也取简单形式。

e^{i θ σ_{j}} = 1 + i θ σ_{j} + \frac{1}{2} (i θ)^{2} σ_{j}^{2} + \frac{1}{3 !} (i θ)^{3} σ_{j}^{3} + \dots = 1 + i θ σ_{j} - \frac{1}{2} θ^{2} 1 - i \frac{1}{3 !} θ^{3} σ_{j} + \dots = (1 - \frac{1}{2 !} θ^{2} + \dots) 1 + i (θ - \frac{1}{3 !} θ^{3} + \dots) σ_{j} = (cos θ) 1 + i σ_{j} (sin θ) (3.1)

当 $θ$ 从 $θ = 0$ 变到 $θ = 2 π$ 时，这个指数在酉的 2 乘 2 矩阵空间中描出一个圆，起点和终点都在单位矩阵。这个圆是一个群，同构于 $U (1)$ 。于是，我们找到了三个不同的 $U (1)$

酉的2乘2矩阵内部的子群，但其中只有一个（情形 $j = 3$ ）会对 $H$ 起对角作用，其 $U (1)$ 表示由

Q = (10 0 - 1)

对于另外两种情形 $j = 1$ 和 $j = 2$ ，通过基变换，二者之一都可以化为相同的对角形式，但对 $j$ 的某一个值这样做会使另外两者不再对角。要理解 $S U (2)$ 在 $H .$ 上的作用，不仅需要考虑 $U (1)$ 子群，还需要考虑通过将泡利矩阵的一般线性组合指数化而得到的完整三维 $S U (2)$ 群。

为计算此类指数，可以验证这些矩阵满足以下关系，这些关系在一般情况下对于用它们进行计算很有用，而不必显式地乘出2乘2矩阵：

[σ_{j}, σ_{k}]_{+} \equiv σ_{j} σ_{k} + σ_{k} σ_{j} = 2 δ_{j k} 1 (3.2)

这里 $[\cdot, \cdot]_{+}$ 称为反交换子。该关系表明，所有 $σ_{j}$ 都满足 $σ_{j}^{2} = 1$ ，且不同的 $σ_{j}$ 反交换（例如，对于 $j \neq = k$ ，有 $σ_{j} σ_{k} = - σ_{k} σ_{j}$ ）。

注意，反对易关系意味着，如果我们取一个向量 $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in R^{3}$ 并按下式定义一个 2 乘 2 矩阵

v \cdot σ = v_{1} σ_{1} + v_{2} σ_{2} + v_{3} σ_{3} = (v_{3} v_{1} + i v_{2} v_{1} - i v_{2} - v_{3})

然后取该矩阵的幂，我们得到

(v \cdot σ)^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}) 1 = ∣ v ∣^{2} 1

若 $v$ 是单位向量，则我们有

(v \cdot σ)^{n} = {1 v \cdot σ n even n odd

将 $σ_{j}$ 替换为 $v \cdot σ$ 后，与方程3.1相同的计算给出（对于单位向量 $v$ ）

e^{i θ v \cdot σ} = (cos θ) 1 + i (sin θ) v \cdot σ (3.3)

注意，这个矩阵的逆可以通过将 $θ$ 变为 $- θ$ 来轻松计算。

(e^{i θ v \cdot σ})^{- 1} = (cos θ) 1 - i (sin θ) v \cdot σ

我们将在第4章回顾线性代数以及酉矩阵的概念，但矩阵 $M$ 为酉矩阵的条件的一种形式是

M^{†} = M^{- 1}

因此， $σ_{j}$ 的自伴性蕴含 $e^{i θ v \cdot σ}$ 的酉性，因为

(e^{i θ v \cdot σ})^{†} = ((cos θ) 1 + i (sin θ) v \cdot σ)^{†} = ((cos θ) 1 - i (sin θ) v \cdot σ^{†}) = ((cos θ) 1 - i (sin θ) v \cdot σ) = (e^{i θ v \cdot σ})^{- 1}

$e^{i θ v \cdot σ}$ 的行列式也可以很容易地计算出来

det (e^{i θ v \cdot σ}) = det ((cos θ) 1 + i (sin θ) v \cdot σ) = det (cos θ + i (sin θ) v_{3} i (sin θ) (v_{1} + i v_{2}) i (sin θ) (v_{1} - i v_{2}) cos θ - i (sin θ) v_{3}) = cos^{2} θ + (sin^{2} θ) (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}) = 1

因此，我们看到，通过对 $i$ 倍自伴泡利矩阵（它们全都有零迹）的线性组合取指数，我们得到行列式为 1 的酉矩阵。这些矩阵是可逆的，并构成名为 $S U (2)$ 的群，即行列式为 1 的 2 乘 2 酉矩阵之群。如果我们不仅对 $i θ v \cdot σ .$ 取指数，而是对某个实常数 $ϕ$ 的 $i (ϕ 1 + θ v \cdot σ)$ 取指数（除非 $ϕ = 0$ ，否则这样的矩阵不会有零迹），我们就会得到一个行列式为 $e^{i 2 ϕ}$ 的酉矩阵。所有 2 乘 2 酉矩阵构成的群称为 $U (2)$ 。它包含 $S U (2)$ 以及本节开头描述的 $U (1)$ 作为子群。 $U (2)$ 与这两个子群的乘积略有不同，因为该群元素

(- 1 0 0 - 1)

同时属于两个子群。在第4章中，我们将遇到向 $S U (n)$ 和 $U (n)$ 的推广，即由 $n$ 复矩阵构成的酉 $n$ 群。

为了更深入地了解群 $S U (2)$ 的结构，考虑一个任意的 2 乘 2 复矩阵

(α γ β δ)

酉性意味着各行是正交归一的。这源于矩阵与其共轭转置的乘积为单位矩阵这一条件

(α γ β δ) (\overline{α} \overline{β} \overline{γ} \overline{δ}) = (1001)

两行的正交性给出了该关系

γ \overline{α} + δ \overline{β} = 0 ⟹ δ = - \frac{γ α}{β}

第一行长度为1的条件给出

α \overline{α} + β \overline{β} = ∣ α ∣^{2} + ∣ β ∣^{2} = 1

利用这两个关系并计算行列式（其值必须为1），可得

α δ - β γ = - \frac{α α γ}{β} - β γ = - \frac{γ}{β} (α \overline{α} + β \overline{β}) = - \frac{γ}{β} = 1

因此必须有

γ = - \overline{β}, δ = \overline{α}

而一个 $S U (2)$ 矩阵将具有形式

(α - \overline{β} β \overline{α})

其中 $(α, β) \in C^{2}$ 且

∣ α ∣^{2} + ∣ β ∣^{2} = 1

因此， $S U (2)$ 的元素由两个复数参数化，且它们的长度平方和等于一。将 $C^{2} = R^{4}$ 等同起来，这些就是 $R^{4}$ 中长度为 1 的向量。正如 $U (1)$ 可以等同于 $C = R^{2}$ 中的单位圆 $S^{1}$ 所构成的空间， $S U (2)$ 可以等同于 $R^{4}$ 中的单位三维球面 $S^{3}$ 。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 25、26、27、28、29、30

来源版本：2025-10-20

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