5.1 李代数

对照

若一个李群 $G$ 被定义为带有群律的可微流形，则可考虑单位元处的切空间，该切空间将成为 $G$ 的李代数。然而，我们主要感兴趣的是 $G$ 为矩阵群的情形，在此类情形下，李代数可以更具体地定义：

定义 · 李代数

定义（李代数）。对于 $G$ 是一个由 $n$ 乘 $n$ 可逆矩阵构成的李群，$G$ 的 李代数（记作 $Lie(G)$ 或 $\mathfrak{g}$）是满足对 $t\in \mathbf{R}$ 有 $e^{tX}\in G$ 的 $n$ 乘 $n$ 矩阵 $X$ 构成的空间。

这里矩阵的指数由通常的指数幂级数公式给出

$$e^A=1+A+\frac{1}{2}{A}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{A}^n+\dots$$

可以证明其对任意矩阵 $A$ 收敛（如同通常的指数函数）。虽然这个定义比将李代数定义为切空间更具体，但它没有使李代数的一些一般性质变得显而易见，特别是李代数是一个实向量空间（见 [42] 的定理 3.20）。我们的主要兴趣在于用它来识别对应于特定李群的某些特定李代数。

注意，虽然群 $G$ 决定了李代数 $\mathfrak{g}$，但李代数并不决定群。例如，$O(n)$ 与 $SO(n)$ 在单位元处具有相同的切空间，因而具有相同的李代数，但 $O(n)$ 中不在单位元分支内的元素（即行列式为 $-1$ 的元素）不能写成 $e^{tX}$ 的形式（因为那样的话，就可以通过将 $t$ 收缩到零，构造出一条矩阵路径，把这样的元素与单位元连接起来）。

还要注意，对于给定的 $X$，不同的 $t$ 值可能给出相同的群元素，而且对于共享同一李代数的不同群，这种情况可能以不同方式发生。例如，考虑 $G=U(1)$ 和 $G=\mathbf{R}$，它们都具有相同的李代数 $\mathfrak{g}=\mathbf{R}$。在第一种情形中，无穷多个 $t$ 值给出相同的群元素；在第二种情形中，只有一个值如此。在第 6 章中，我们将看到一个更微妙的例子：$SU(2)$ 和 $SO(3)$ 是具有相同李代数的不同群。

设有 $G\subset GL(n,\mathbf{C})$，以及 $X\in M(n,\mathbf{C})$，即 $n$ 乘 $n$ 复矩阵的空间。对于所有 $t\in \mathbf{R}$，指数 $e^{tX}$ 是可逆矩阵（其逆为 $e^{-tX}$），因此在 $GL(n,\mathbf{C})$ 中。对于每个 $X$，我们因此有一条 $GL(n,\mathbf{C})$ 中元素的路径，在 $t=0$ 处经过单位矩阵，其速度向量为

$$\frac{d}{dt}{e}^{tX}=X{e}^{tX}$$

其在$t=0:$处取值$X$

$$\frac{d}{dt}(e^{tX}{)}_{|t=0}=X$$

为计算此导数，请使用指数函数的幂级数展开，并逐项求导。

对于 $G=GL(n,\mathbf{C})$ 的情形，我们有 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$，它是一个维数恰当的线性空间，可作为 $G$ 在单位元处的切空间，因此这一定义与我们的一般动机一致。对于由某种条件（例如保持一个内积）给出的子群 $G\subset GL(n,\mathbf{C})$，我们需要找出 $X\in M(n,\mathbf{C})$ 上的相应条件，并验证它定义了一个线性空间。

这样的线性空间 $\mathfrak{g}\subset M(n,\mathbf{C})$ 的存在将为我们提供一个实向量空间上的特殊表示，称为“伴随表示”：

定义 · 伴随表示

定义（伴随表示）。伴随表示 $(Ad,\mathfrak{g})$ 由同态给出

$$Ad:g\in G\to Ad(g)\in GL(\mathfrak{g})$$

其中 $Ad(g)$ 通过 $X\in \mathfrak{g}$ 作用

$$(Ad(g))(X)=gX{g}^{-1}$$

为说明这是良定义的，需要验证当 $X\in \mathfrak{g}$ 时 $gX{g}^{-1}\in \mathfrak{g}$，但这可以利用恒等式来证明

$$e^{tgX{g}^{-1}}=g{e}^{tX}{g}^{-1}$$

这意味着 $e^{tgX{g}^{-1}}\in G\mathrm{if}{e}^{tX}\in G$。为验证此恒等式，展开指数函数并使用

$$(gX{g}^{-1}{)}^k=(gX{g}^{-1})(gX{g}^{-1})\dots (gX{g}^{-1})=g{X}^k{g}^{-1}$$

也很容易验证这是一个同态，其中

$$Ad(g_1)Ad(g_2)=Ad(g_1{g}_2)$$

李代数 $\mathfrak{g}$ 不仅仅是一个实向量空间，而且在该向量空间上还带有一种额外的结构：

定义 · 李括号

定义（李括号）。$\mathfrak{g}$ 上的李括号运算是通过矩阵的对易子给出的双线性反对称映射

$$[\cdot ,\cdot ]:(X,Y)\in \mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to [X,Y]=XY-YX\in \mathfrak{g}$$

我们需要验证这是良定义的，即其取值落在$\mathfrak{g}$中。

定理

定理。若 $X,Y\in \mathfrak{g}$，则 $[X,Y]=XY-YX\in \mathfrak{g}$。

证明

证明。由于$X\in \mathfrak{g}$，我们有$e^{tX}\in G$，并且可以通过伴随表示作用于$Y\in \mathfrak{g}$

$$Ad(e^{tX})Y=e^{tX}Y{e}^{-tX}\in \mathfrak{g}$$

当$t$变化时，这在$\mathfrak{g}$中给出了一条参数曲线。其速度向量也将在$\mathfrak{g}$中，因此

$$\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX})\in \mathfrak{g}$$

由乘积法则（在此情形下易于证明其适用）可得

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX})& =\left(\frac{d}{dt}(e^{tX})\right)Y{e}^{-tX}+e^{tX}Y\left(\frac{d}{dt}{e}^{-tX}\right)\\ & =X{e}^{tX}Y{e}^{-tX}-e^{tX}YX{e}^{-tX}\end{array}$$

在$t=0$处求值得到

$$XY-YX$$

因此，根据定义，这被证明属于$\mathfrak{g}$。

关系

$$\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX}{)}_{|t=0}=[X,Y]\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

本证明中所使用的概念，将持续有助于关联李群与李代数。

为了对李代数进行计算，可以选取向量空间 $\mathfrak{g}$ 的一组基 $X_1,X_2,\dots ,X_n$，并利用李括号可以按这组基写成

$$[X_j,X_k]=\sum _{l=1}^n{c}_{jkl}{X}_l\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

其中 $c_{jkl}$ 是一组称为李代数“结构常数”的常数集合。例如，在 $\mathfrak{su}(2)$ 的情形中，$SU(2)$ 的李代数具有一个基 $X_1,X_2,X_3$，满足

$$[X_j,X_k]=\sum _{l=1}^3{ϵ}_{jkl}{X}_l$$

(见方程 3.5) 因此 $\mathfrak{su}(2)$ 的结构常数是完全反对称的 ${ϵ}_{jkl}$。

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上一节：5 李代数与李代数表示 · 下一节：5.2 正交群与酉群的李代数

附录：约定与记号

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对；译稿已修改，待复核

原书 PDF · 印刷页 48、49、50

来源版本：2025-10-20