在本章中，我们将引入李代数与李代数表示，它们提供了一种易于处理的线性构造，能够刻画李群与李群表示的许多行为。迄今为止，我们已经看到了 的情形，其李代数是平凡的，并且对 的情形也有所了解，其中出现了第一个非平凡李代数。第 6 章和第 8 章将提供细节，说明一般理论如何适用于 及其表示这些基本例子。本章材料的极度一般性可能使人难以理解，除非已经对只在后面章节中出现的例子有所经验。因此建议读者，不妨先略读本章材料，在以后更具体的语境中先看到这些结构发挥作用之后，再回来更深入地理解和更好地洞察它们。
对于群 ，我们已将复维数为 的有限维向量空间 上的酉表示 定义为同态
回忆一下，在 的情形中（见定理 2.3 的证明），我们可以利用 的同态性质，用其在单位元处的导数来确定 。事实证明，对于李群 而言，这是一个普遍现象：我们可以通过考虑 在单位元处的导数来研究其表示，我们将该导数称为 。由于同态性质，知道 往往就足以刻画它所来自的表示 。 是一个从 在单位元处的切空间到 在单位元处的切空间的线性映射。 在单位元处的切空间将带有一些来自群乘法的额外结构，而带有此结构的这个向量空间将被称为 的李代数。线性映射 将是李代数表示的一个例子。
微分几何这一学科给出了多种等价的方式来定义像这样的流形上一点的切空间，但我们在此并不想一般地进入微分几何这一学科。切空间的标准定义之一，是将其定义为切向量的空间，而切向量则定义为群中参数曲线的可能速度向量。
李群理论的更高级处理发展了这一观点（例如见[99]），它适用于任意李群，无论它们是否为矩阵群。然而在我们的情形中，由于我们感兴趣的是通常明确给出为矩阵群的特定群，在此类情形下我们可以给出一个更具体的定义，即利用矩阵上的指数映射。关于这一主题更详细的阐述，若采用同样以矩阵给出的李代数具体定义，可参见例如[42]或简略的在线版本[40]。
概念索引
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