12.4 海森堡不确定性

我们已经看到，在描述自由粒子于固定时刻的状态时，对应于明确定义的位置（在位置表示中）或明确定义的动量（在动量表示中），有 $δ$ 函数态。但 $Q$ 与 $P$ 不对易，因此既具有明确定义的位置又具有明确定义的动量的态并不存在。一个在 $q = 0$ 处达到峰值的态的例子将由高斯波函数给出

ψ (q) = e^{- α \frac{q ^{2}}{2}}

当 $α$ 很大时，它变得狭窄地尖峰化。根据方程11.6，动量空间表示中的相应态是

\frac{1}{α} e^{- \frac{k ^{2}}{2 α}}

当 $α$ 变大时，它会变得均匀分布。类似地，当 $α$ 趋于零时，在动量空间中会得到一个在 $k = 0$ 处狭窄尖峰的状态，但作为位置空间波函数则均匀分布。

对于 $Q$ 和 $P$ 的期望值等于零的态，该态在位置空间中的宽度可由 $Q^{2}$ 的期望值来量化，而其动量空间中的宽度可由 $P^{2}$ 的期望值来量化。有下述定理，它精确给出了一个态在位置空间和动量空间中同时定域化的极限

定理（海森堡不确定性）

定理（海森堡不确定性）。
$\frac{⟨ ψ ∣ Q ^{2} ∣ ψ ⟩}{⟨ ψ ∣ ψ ⟩} \frac{⟨ ψ ∣ P ^{2} ∣ ψ ⟩}{⟨ ψ ∣ ψ ⟩} \geq \frac{1}{4}$

证明。对于任意实数 $λ$ ，有

⟨(Q + iλ P) ψ ∣ (Q + iλ P) ψ ⟩ \geq 0

但是，利用 $Q$ 和 $P,$ 的自伴性以及关系 $[Q, P] = i$ ，有

⟨(Q + iλ P) ψ ∣ (Q + iλ P) ψ ⟩ = λ^{2} ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ + iλ ⟨ ψ ∣ QP ψ ⟩ - iλ ⟨ ψ ∣ P Q ψ ⟩ + ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩ = λ^{2} ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ + λ (- ⟨ ψ ∣ ψ ⟩) + ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩

对于所有 $λ$ ，这将是非负的，如果

⟨ ψ ∣ ψ ⟩^{2} \leq 4 ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩

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来源版本：2025-10-20

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash

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